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Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Moduln » Determinante von Endomorphismen endlich präsentierter projektiver Moduln
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Autor
Universität/Hochschule Determinante von Endomorphismen endlich präsentierter projektiver Moduln
KidinK
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-01-18


In einem Kommentar zum Artikel

Martin_Infinite unter article.php?sid=1697 schreibt:

Satz 4 gilt auch über kommutativen Ringen: Hat man eine exakte Sequenz

<math>\begin{tikzcd}0 \ar{r} & U \ar{r} & V \ar{r} & W \ar{r} & 0 \end{tikzcd}</math>

von endlich-erzeugten projektiven Moduln (die ja dann spaltet!), und ein kommutatives Diagramm

<math>\begin{tikzcd} 0 \ar{r} & U \ar{d}{g}\ar{r} & V \ar{d}{f}\ar{r} & W \ar{d}{h}\ar{r} & 0 \\ 0 \ar{r} & U \ar{r} & V \ar{r} & W \ar{r} & 0, \end{tikzcd}</math>

so gilt <math>\det(f)=\det(g) \cdot \det(h)</math>.


Mir ist noch nie die Definition einer Determinante für Endomorphismen eines endlich präsentierten projektiven Moduls untergekommen, auch in Bourbaki oder Lombardi/Quitté z.B. nicht. Wie ist sie definiert?

Liebe Grüße
KidinK



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KidinK
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-18

\(\begingroup\)
Ah, doch: Lombardi/Quitté, Chapter V, §8, Satz und Definition 1.

Dort wird gezeigt: Ist $P$ ein endlich präsentierter projektiver Modul und $P\oplus Q_1$ endlich frei, so ist $\det(\varphi):=\det(\varphi\oplus\mathrm{id}_{Q_1})$ wohldefiniert.

Aber gibt es eine intrinsische Definition von $\det(\varphi)$?

Liebe Grüße
KidinK
\(\endgroup\)


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kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-01-18


Eine Möglichkeit wäre ja die höchste äußere Potenz. Dann kriegt man aber nur ein i.A. nichttriviales Geradenbündel. Also muss man wohl schon eine direkte Summe, die frei ist, nehmen. projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.nmj/1118800587

Edit: Wenn der Grundring ein Integritätsbereich ist, könnte man mit dem Quotientenkörper tensorieren.

Edit 2: Man kann das Geradenbündel mit dem Inversen tensorieren und erhält den Grundring.



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KidinK
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-18


Deine geometrische Sprache hilft mir leider nicht so ganz weiter. Ein Geradenbündel ist wohl ein Modul, der invertierbar bzgl. Tensorprodukt ist. Warum ist klar, dass die höchste äußere Potenz ein Geradenbündel ist? Und wie hilft das dann bei der Definition der Determinante weiter?

Ich kann den Artikel von Goldman leider nicht herunterladen. Klappt es bei dir?

Liebe Grüße
KidinK



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kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-01-18

\(\begingroup\)
Sei $f: M \to M$ ein $R$-Endomorphismus endlich erzeugter projektiver Moduln von konstantem Rang. Dann ist $\wedge^{top}f: \wedge^{top}M \to \wedge^{top}M$ ein $R$-Endomorphismus von projektiven Moduln vom Rang 1 (kann man nach Lokalisieren testen: projektiv = lokal frei homepages.uni-regensburg.de/~stf58529/teaching/sumsofsquares/projektivemoduln.pdf ), also von invertierbaren $R$-Moduln. Tensorieren mit dem Inversen gibt einen $R$-Endomorphismus $R \to R$, also ein Ringelement (das Element, auf das die 1 geschickt wird).

Hilft das?

Ich kann den Artikel herunterladen. Ich habe nach "determinant of projective modules" gegoogelt.
\(\endgroup\)


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KidinK
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-18


Ok, ich habe mir schon gedacht, dass man noch so etwas wir "konstanter Rang" dazufordern muss. Mir wäre auch wichtig, dass die Definition konstruktiv funktioniert (aber eben trotzdem gerne mit universellen Konstruktionen, oder sonstwie intrinsisch). Also lasse ich die Frage mal weiterhin offen.

Liebe Grüße
KidinK



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kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-01-19


Der Rang eines endlich erzeugten projektiven Moduls ist lokal konstant, also machen verschiedene Ränge kein Problem. Die Zusammenhangskomponenten eines quasi-kompakten Schemas, z.B. affin, sind offen.



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-01-19

\(\begingroup\)
Sei $X$ ein Schema, und sei $\mathcal{F}$ ein lokal freier $\mathcal{O}_X$-Modul von konstantem Rang $n$. Dann ist $\det(\mathcal{F})=\Lambda^n\mathcal{F}$ die Determinante von $\mathcal{F}$, siehe ganz unten auf Seite 198 im Buch von Görtz und Wedhorn. Wenn nun $0 \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}'' \to 0$ eine kurze exakte Sequenz von lokal freien $\mathcal{O}_X$-Moduln von Rang $n'$, $n$, und $n''$ ist (insbesondere gilt dann $n=n'+n''$), dann gibt es einen natürlichen Isomorphismus von $\mathcal{O}_X$-Moduln $\det(\mathcal{F}')\otimes\det(\mathcal{F}'')\cong\det(\mathcal{F})$. Das ist eine "Globalisierung" der entspechenden Tatsache für freie Moduln über einem Ring.
\(\endgroup\)


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kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-01-19


Das stimmt natürlich alles, aber die Frage war nach Determinanten von Endomorphismen, nicht von Vektorbündeln.



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Triceratops
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-01-19


Endlich erzeugt projektiv ist dasselbe wie lokalfrei von endlichem Rang. Weil das hier alles lokale Fragen und Behauptungen sind (auf Spec(R)), kann man sich auf freie Moduln beschränken, und schon ist man im üblichen Setting.

Alternativ: Man sieht ein, dass die üblichen Argumente in jedem Topos funktionieren, und "frei von endlichem Rang" interpretiert in der Sprache des Topos der Garben auf Spec(R) ist gerade das, was man üblicherweise lokalfrei von endlichem Rang nennt.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-01-19


2018-01-19 08:07 - kurtg in Beitrag No. 6 schreibt:
Die Zusammenhangskomponenten eines quasi-kompakten Schemas, z.B. affin, sind offen.

Wirklich?

(Aber man braucht das hier sowieso nicht. Der Ort, wo ein Rang angenommen wird, ist definitiv offen.)



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kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-01-19


Vielleicht nicht, aber ein Noethersches Schema sollte lokal zusammenhängend sein.



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KidinK
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-19

\(\begingroup\)
Ok danke für eure Beteiligung, aber hierdurch wird es wieder weniger intrinsisch, oder? Also lokalfrei bedeutet wohl, dass es $f_1,\dots,f_s\in A$ gibt, sodass $\langle f_1,\dots,f_s\rangle=1$ und sodass $M_{f_i}$ ein freier $A_{f_i}$-Modul vom Rang $r_i$ ist, und diese $f_i$ muss ich ja erst einmal gefunden und gewählt haben, damit ich dann auf jedem $D(f_i)$ die passende äußere Potenz betrachten kann, oder?

Unabhängig davon: Wie finde ich denn solche $f_i$, sagen wir mal, aus einer dualen Basis?

Liebe Grüße
KidinK

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Mitteilungen: 3644
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2018-01-19

\(\begingroup\)
Die Determinante eines Endomorphismus $f$ von $M$ ist der Skalar $d$, sodass $f(v_1) \wedge \cdots \wedge  f(v_n) = d \cdot v_1 \wedge \cdots \wedge v_n$ für alle $v_1,\dotsc,v_n \in M$ gilt, wobei $n$ der lokalkonstante Rang von $M$ (eine Funktion auf dem Spektrum) ist. (Am besten stellst du dir die $v_i$ als lokale, nicht nur globale Schnitte von $M$ vor.) Diese Definition hängt von keinen Wahlen ab. Die Existenz und Eindeutigkeit hat kurtg ja schon begründet.
\(\endgroup\)


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KidinK
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-19


Ok danke. Ja das klingt schon sehr nach dem, was ich mir vorgestellt habe. Ist diese Definition konstruktiv gültig? Dann wäre ich vollkommen glücklich.

Liebe Grüße
KidinK



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kurtg
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2018-01-19

\(\begingroup\)
Mit der Bemerkung von Triceratops sollte es noch einfacher gehen: Wenn $M$ auf $D(f_i)$ frei ist, hat man eine Determinante in $R_{f_i}$. Weil die Strukturgarbe eine Garbe ist, und weil die Determinante wegen der Eindeutigkeit mit Lokalisieren verträglich ist, verkleben die Determinanten eindeutig zu einer globalen Determinante in $R$.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.13 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Gockel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2018-01-19


Hallo.

Wenn man die Determinante für freie Moduln schon kennt, dann kann man auch det(f) als dasjenige Element <math>d\in R</math> charakterisieren, welches die Eigenschaft hat, dass <math>\frac{d}{1} \in R_\mathfrak{p}</math> die Determinante der von f auf der Lokalisierung induzierten Abbildung ist.

Dann kann man viel, was man von freien Moduln kennt, direkt übertragen, z.B. <math>\det(f\circ g) =\det(f)\det(g)</math> folgt ganz unmittelbar.

Interessant, weil nicht völlig offensichtlich: Wenn man diese Determinante benutzt, um auch charakteristische Polynome zu definieren, dann ist <math>\chi_0</math> nicht mehr nur ein einzelnes Monom, wie im freien Fall, sondern <math>\chi_0 = \sum_i e_i X^i</math> mit paarweise orthogonalen Idempotenten <math>e_i\in R</math> mit <math>1=\sum_i e_i</math>. Die <math>e_i</math> zerlegen <math>Spec(R)</math> in endlich viele offen-abgeschlossene Mengen, die genau den Fasern der lokal-konstanten Rang-Abbildung entsprechen, d.h. <math>e_i \notin \mathfrak{p} \iff \dim_{R_\mathfrak{p}} M_\mathfrak{p} = i</math>.
Die Koeffizienten von <math>\chi_\phi(X) = \sum_i a_i X^i</math> ganz allgemein sind durch die <math>e_i</math> eingeschränkt: <math>a_i e_j = 0</math> falls <math>j<i</math>. (Was ich allerdings nicht weiß, ist, ob die Umkehrung gilt, d.h. ob ich, wenn ich einen Satz von solchen <math>a_i</math> gegeben habe, auch ein <math>\phi</math> finden kann, dessen char.Poly so aussieht, oder ob es noch andere, mir nicht bekannte Einschränkungen an die Koeffizienten gibt)

Sobald man an das charakteristische Polynom denkt, kann man auch feststellen, dass man eigentlich nur Spuren zu kennen braucht, um charakteristische Polynome definieren zu können und somit Determinanten eigentlich geschenkt bekommt:
<math>\det(1-X\phi)</math> ist genau die graduierte Spur von <math>\wedge^\ast\phi</math>, d.h. die Potenzreihe <math>\sum_{r} \tr(\wedge^r\phi) X^r</math>.
Im Fall <math>M=R^n</math> ist <math>\det(1-X\phi) = X^n\chi_\phi(X^{-1})</math>. Allgemein <math>\det(1-X\phi)=\chi_0\cdot\chi_\phi(X^{-1})</math>.

mfg Gockel.


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"Der Vatikan hat ja bekanntlich zwei Mikropäpste pro Quadratmeter"



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KidinK hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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