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Funktionentheorie » Integration » Hankelsche Integraldarstellung der Gammafunktion
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Universität/Hochschule Hankelsche Integraldarstellung der Gammafunktion
Distance
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-01-19

\(\begingroup\)
Hallo liebe Community,

momentan beschäftige ich mich mit den Hankelschen Schleifenintegralen für die Gammafunktion und möchte die Formel

<math>\frac {1}{\Gamma(z)}=\frac{1}{2i\pi}\int_C w^{-z}e^wdw</math>, <math>z\in \mathbb{C}</math>

bevorzugt über den Eindeutigkeitssatz von Wielandt zeigen, der wie folgt lautet:

Ist eine Funktion <math>F</math> holomorph in der rechten Halbebene <math>(Re(z)>0)</math>, gilt <math>F(z+1)=F(z)</math> und ist <math>F</math> im Streifen <math>S:\{z\in \mathbb{C}: 1\le Re(z)<2\}</math> beschränkt, dann folgt <math>F=a\Gamma</math> in der rechten Halbebene mit <math>a=F(1)</math>.

Jedoch muss es nicht zwingend über den Eindeutigkeitssatz von Wielandt sein. Ich möchte primär ein Gefühl dafür kriegen, wie ich das lösen kann.

Der Schleifenweg $C$ setzt sich dabei aus drei Kurvenstücken $C_1+\delta + C_2$ zusammen. Der Weg beginnt kurz unterhalb der negativen reellen Achse, verläuft parallel zur rellen Achse bis kurz vor dem Ursprung, macht einen Kreis mit Radius $\delta$ um den Ursprung gegen den Uhrzeigersinn und verläuft oberhalb der reellen Achse wieder entlang der negativen reellen Achse (Grafik).  



Die Eulersche Integraldarstellung ist der Vollständigkeit halber $\Gamma(z):= \int_0^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$ für $Re(z)>0$.
Die Restriktion $Re(z)>0$ kommt in von der Singularität des Integranden für $t=0$. Daher verstehe ich, dass man diese Umlaufen möchte.

Über Tipps und Anregungen zum zeigen dieser Identität würde ich mich freuen und bedanke mich bereits im Voraus :)

Gruß

Distance
\(\endgroup\)


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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-01-19


Hallo Distance,

mir ist nicht klar was Deine Frage ist. Den Beweis (mittels Eindeutigkeitssatz von Wielandt) zu der Identität findest Du im Remmert, Funktionentheorie 2.



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Distance
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Mitteilungen: 17
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-19

\(\begingroup\)
Genau an diesem Beweis von Remmert arbeite ich.

Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie seine Kurvenstücke aussehen. Er gibt für <math> z_2(t)=c-t</math>, <math>t \ge t_0</math>, <math>c\in \partial B_s(0)</math> an. Jedoch ist mir das Intervall von <math>t \in [a,b]</math> nicht klar, also "von wo bis wo das Integral am Ende geht": <math>\int_{z_2} f(z)dz=\int_a^b f(z_2(t))z^{\prime}_2(t)dt</math>.

Weiter verstehe ich seinen Beweis zum Lemma 2.13 nicht, falls du das Buch hast. In dem Nachweis geht es darum, dass $\frac{1}{2i\pi}\int_\gamma w^{-z}e^wdw$, $w\in \mathbb{C}\backslash (-\infty,0]$ kompakt und absolut gegen eine ganze Funktion h konvergiert für die gilt: $h(1)=1$ und $h(-n)=0$, $n \in \mathbb{N}$. Dabei ist $\gamma = \gamma_1+\delta+\gamma_2$, wobei $\delta$ einen Kreis mit Radius $\delta$ um den Ursprung beschreibt. Der Konvergenzbeweis ist für mich insofern nicht klar, da er sagt, dass auf jedem Kompaktum $K \subset \mathbb{C}$ das Integral auf $\gamma_1$ und $\gamma_2$ gleichmäßig und absolut konvergiert und man mit dem Konvergenznachweis gegen eine Funktion $h$ fertig wäre. Jedoch sagt er nichts über das Kurvenstück aus, das den Kreis beschreibt oder braucht er das nicht?

Im selben Lemma sagt er, dass $\int_\sigma w^{-m}e^wdw=0$ für $r \rightarrow \infty$, $m \in \mathbb{Z}$. Das Kurvenstück $\sigma$ sieht im Buch so aus:



Ich verstehe nicht, wieso dieses Kurvenstück $\sigma$ überhaupt relevant ist.
\(\endgroup\)


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-01-19

\(\begingroup\)
Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie seine Kurvenstücke aussehen.

Ich habe eine etwas ältere Auflage, in der dieses auch nicht näher ausgeführt wird. Im wesentlich ist die Skizze die Erklärung. Das Integral über den Weg C ist nur ein uneigentliches Integral. Daher muß nachgerechnet werden, dass dieses auch eine holomorphe Funktion definiert. Dazu schaut man sich die endlichen Integral, die durch Start-/Endpunt von \(\sigma\) definiert sind an und zeigt die Konvergenz für \(r\to\infty\). \(\delta\) spielt dabei keine Rolle, da entsprechende Integral konstant bleibt.

\(\sigma\) wird erst für $h(1)=1$ und $h(-n)=0$ verwendet. Wegen des komplexen Logarithmus ist \(w^{-z}\) im allgemeine nich auf \(\IC\) definiert, für\(z\in\IZ\) aber auf \(\IC\backslash\{0\}\), s.d. \(\int w^{-z}e^wdw\) dann über einen geschlossen Weg ausgerechnet werden kann.

Im selben Lemma sagt er, dass $\int_\sigma w^{-m}e^wdw=0$ für $r \rightarrow \infty$, $m \in \mathbb{Z}$.
Das muß nachgerechnet werden. $h(1)=1$ und $h(-n)=0$ erhält man, indem der Weg \(C+\sigma-\sigma\) geeignet durlaufen wird und das Integral in zwei Teile zerfällt.
\(\endgroup\)


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Buri
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Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-01-20


Hi Distance,
fed-Code einblenden
Die Überlegungen gelten nur für Re(z) < 0, aber durch analytische Fortsetzung ergibt sich die Gültigkeit der Gleichung für alle z, außer für die Polstellen 0,±1,±2,... der Gammsfunktion.
In den Polstellen ist das Integral gleich 0, weil sich der Beitrag von oberen und vom unteren Ufer gegeneinander aufheben. Das stimmt mit dem Grenzwert von fed-Code einblenden in den Polstellen, der ebenfalls gleich 0 ist, überein.
Eine Überlegung, die auf dem Satz von Wielandt beruht, ist mir nicht eingefallen, aber das ist ja in Remmerts Buch zu finden.
Den von mir angegebenen Beweis habe ich in dem Buch von W. I. Smirnow, Lehrgang der höheren Mathematik, Band III/2, § 74, Darstellung von Γ(z) durch ein Kurvenintegral, S. 230-232, gefunden.
Gruß Buri



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