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Moderiert von Wally haerter
Mathematik » Differentialgleichungen » Lösung einer Differentialgleichung die ein Minimum enthält
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Autor
Universität/Hochschule J Lösung einer Differentialgleichung die ein Minimum enthält
addi0407
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Dabei seit: 28.10.2015
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-01-19


Hallo zusammen,

prinzipiell komme ich nun mit Differentialgleichungen lösen ganz gut klar, jedoch macht mir nun eine Gleichung ein Problem, in der ein Minimum drin steckt:

fed-Code einblenden

Ich soll nun folgende DGL lösen: m'(t)= -f(m(t))

Mein erster Gedanke war es, das Minimum in zwei Fälle aufzuteilen. Aber die bringt mir ja nicht wirklich viel, da sich ja so unterschiedliche DGL's ergeben würden, also ist das vermutlich nicht zielführend.
Meine zweite Idee war es das Minimum umzuschreiben in:
 min(alpha*m(t),beta)= alpha*m(t)+beta-|alpha*m(t)-beta| (sorry irgendwie hat fedgeo mir das zerhauen, deswegen in Textform).

Aber dann stört mich der Betrag irgendwie.
Gibt es eine Möglichkeit das Minimum eleganter umzuschreiben oder war ich schon auf dem richtigen Weg?



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Phi1
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Dabei seit: 10.12.2005
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Aus: Wien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-01-19

\(\begingroup\)
Hi!

Ich würde mir mal <math>f</math> genauer ansehn. Es ist ja hier im Minimum folgendes verbaut: <math>g(x) = \alpha x</math> und <math>h(x) = \beta</math>. Der Schnittpunkt beider Funktionen liegt bei <math>x_0 := \frac{\beta}{\alpha}</math>.
Wenn ich mich nicht irre, so sollte gelten: <math>f(x)=\alpha x</math> wenn <math>x\in (-\infty,x_0]</math> und <math>f(x)=\beta</math> für <math>(x_0,\infty)</math>, für $\alpha >=0$.
Die restlichen Fälle müsste man auch noch druchspielen.

MfG


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Die Zahl, des Geistes höchste Kraft.
[Aischylos]

Zehn mal zehn ist hundert;
Folgen unabsehbar.
[Thornton Wilder]

Die Maplehilfe ist dein Freund! :)
\(\endgroup\)


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addi0407
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-19


Hallo Phi1,

x0 zu betrachten kam mir noch gar nicht in den Sinn.
Ich werde mich morgen früh mal an die verschiedenen Fälle setzen und mich morgen dann melden, danke! :)



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addi0407
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-21


Sorry, dass ich mich nicht gemeldet hatte es kam was privates dazwischen :(
Ich werde mich morgen erst dransetzen können :/



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addi0407
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-22


So das würde bedeuten wenn ich mich nicht verrechnet habe:



fed-Code einblenden

Sehe ich das richtig?



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haerter
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Dabei seit: 07.11.2008
Mitteilungen: 1449
Aus: Bochum
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-01-23


Hallo,

die Aufgabenstellung "DGL lösen" ist zwar nicht ganz eindeutig, aber vermutlich soll man alle Lösungen oder die Lösung zu einem vorgegebenen Anfangswert <math>m(t_0)=m_0</math> angeben.
Das ist bei Dir noch nicht der Fall.

Abgesehen davon müsste es für <math>x>\dfrac{\alpha}{\beta}</math> nicht <math>m(t)=\beta t</math> sondern <math>m(t)=-\beta t</math> heißen.

Viele Grüße,
haerter


-----------------
"The best way to have a good idea is to have lots of ideas."
 - Linus Pauling



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addi0407
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-23


Hallo haerter,

leider lautet die Aufgabenstellung wirklich so und es wird nichts über einen Anfangswert o.ä. gesagt. Im Wortlaut:

Berechnen sie für die Funktion f(x) die LÖsungen Differnetialgleichung
m'(t)=f-f(m(t))


Aber gesetzt des Falles das mache ich,  inwiefern ändern sich denn die Fälle? Denn wenn ich t0 setze, mache ich ja jetzt nur noch eine Fallunterschiedung ob t0 größer beta/alhpa oder kleiner ist oder sehe ich das falsch?  Damit kann ich dnan einen Eifnluss auf C nochmal nehmen. Womit ich dann aber immer noch die 2 Fälle habe die oben unterschieden wurdne oder?


Mit dem Minus hast du selbstverständlich recht!



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addi0407
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-23


Aber mal angenommen ich mache das so komme ich auf:

fed-Code einblenden

Aber die Fallunterschiedung hinten ist ja dann abhängig davon, wie m(t) ist, und darüber kann ich doch gar nichts sagen. Aber ich muss doch m(t) betrachten im Minimum und dessen Wert.
Irgendwie habe ich grad ein Brett vor dem Kopf glaube ich.



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Phi1
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Aus: Wien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-01-23

\(\begingroup\)
Hi!

Du bist fast auf dem richtigen Weg.

Betrachten wir nochmals $f$: versuchen wir mal möglichst viel Information über diese Abbildung zu bekommen.

(1) $f(x) = min\{\alpha x,\beta\}\subset[0,\infty)$. Somit muss
    (a) $\alpha x\geq 0$ und
    (b) $\beta\geq 0$ sein.

Aus (a) folgt nun für $\alpha> 0$, dass $x\geq 0$ und für $\alpha <0$, dass $x<0$.

(2) Damit bekommen wir folgende Fälle:

    $\alpha<0$: $f(x)=  \beta$ für $x\le x_0$ und $f(x)= \alpha x$ für $x_0\le x\le 0$,

    $\alpha>0$: $f(x)=  \beta$ für $x_0\le x$ und $f(x)= \alpha x$ für $0\le x\le x_0$,

wobei $x_0=\frac{\beta}{\alpha}$.

Für $\alpha = 0$ gilt $f(x) = min\{0,\beta\} = 0$.

Wenn man nun versucht die Differentialgleichung zu lösen, so würde ich $x(t) = x_0$ als zusätzliche Nebenbedingung sehen und versuchen diese Gleichung nach $t$ zu lösen, so hätte man indirekt eine Anfangsbedingung gefunden.

MfG



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addi0407
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-23


Ich kann dir noch nicht so recht folgen.

Also die Fallunterscheidungen bei f(x) sind mir klar und auch sehr einleuchtend.

Würde dann gelten, dass

fed-Code einblenden

Weil stelle ich die zweite Gleichung die ich für m(t) in vorherigem Post erhalten habe um, erhalte ich was ganz anderes. Und eigentlich müsste ja die "Wechselstelle" gleich sein, wenn mich nicht alles täuscht.

Wie meinst du das mit der indirekten Anfangsbedingung?

Irgendwie werde ich nicht so ganz warm mit der Sache.



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Phi1
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-01-23

\(\begingroup\)
Hi!

Betrachten wir den Fall <math>\alpha <0</math> mal genauer:

Für <math>\beta =0</math> ist nicht viel zu tun. Wenn <math> \beta>0</math> ist, dann haben wir zuerst <math>x^*(t) = -\beta</math> und <math>x(t)\le x_0</math>, also <math>x(t) = -\beta t +C</math>. Nach der zweiten Ungleichung muss nun aber auch <math>-\beta t+C\le x_0</math> gelten, also <math>t\geq -\frac{1}{\alpha}+\frac{C}{\beta}</math>, mit <math>C\in \IR</math>.

Nun setzen wir <math>t_0 := -\frac{1}{\alpha}+\frac{C}{\beta}</math> und erhalten so <math>x(t_0) = -\frac{\beta}{\alpha} = -x_0</math>. Damit haben wir eine Anfangsbedingung für jedes <math>C</math>.

Nun zum zweiten Teil: hier ist <math>x^*(t) = -\alpha x(t)</math> für <math>x_0\le x(t)\le 0</math>. Als allgemeine Lösung erhalten wir <math>\abs{x(t)} = e^D e^{-\alpha t}</math>, mit <math>D\in \IR</math>.
Also gilt auch <math>\frac{\beta}{\alpha}\le e^D e^{-\alpha t} \le 0</math>. Diese Ungleichung kann aber niemals erfüllt werden, wenn $e^D \geq 0$.
Für $e^D<0$ haben wir $-\frac{\beta}{\alpha}\geq x(t) \geq 0$, diese Ungleichung ist erfüllt.

Damit lässt sich eine Lösung auf ganz $\mathbb{R}$ angeben, wenn man $D$ so wählt, dass auch für den zweiten Teil $x(t_0) = -x_0$ wie im ersten Teil gilt.

Die restlichen Fälle für <math>\alpha</math> gehen ähnlich.

MfG


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addi0407
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Hallo Phi1,

jetzt verstehe ich was du meinst. War ja dann doch am Ende einfacher als gedacht.

Vielen vielen Dank für deine Hilfe!



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