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Analysis » Grenzwerte » L'Hospital / Grenzwert: Fall "∞ - ∞"
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Universität/Hochschule L'Hospital / Grenzwert: Fall "∞ - ∞"
Najeb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-01-19


Hallo,
ich habe folgende Aufgabe gegeben:

fed-Code einblenden

Um L'Hospital anzuwenden, muss man ja entweder fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
haben

Diese Aufgabe hat ja den Typ "unendlich - unendlich".

Das heißt ich muss die Gleichung umformen, um entweder auf fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
zu kommen.

Meine Internetrecherche hat ergeben, dass die Umrechnungsformel wie folgt lautet:
g(x) - h(x) = "unendlich - unendlich" = (1/h(x)-1/g(x))/((1)/(h(x)*g(x)))

Ich habe aber eine Lösung (siehe Bild). Warum wurde da die Umrechnungsformel nicht angewandt? Kann mir jemand die Lösung erklären bzw. ist mein Ansatz richtig?



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-01-19


Hey Najeb
2018-01-19 21:02 - Najeb im Themenstart schreibt:

Meine Internetrecherche hat ergeben, dass die Umrechnungsformel wie folgt lautet:
g(x) - h(x) = "unendlich - unendlich" = (1/h(x)-1/g(x))/((1)/(h(x)*g(x)))

Ich habe aber eine Lösung (siehe Bild). Warum wurde da die Umrechnungsformel nicht angewandt?

Weil Umrechnungsformeln aus dem Internet, die nicht in der VL gelehrt werden, oft nicht so viel taugen. Mag sein, dass du mit dieser Formel auf eine Form kommst, bei der du l'Hospital anwenden kannst, ob die entstehenden Ausdrücke i. A. aber besser zu bearbeiten sind, wage ich zu bezweifeln.
In deinem Fall ist ein anderer Ansatz viel schöner und vielversprechender, nämlich die Anwendung der dritten Binomischen Formel (was auch in der von dir geposteten Lösung benutzt wurde). So viel zu erklären gibt es eigentlich nicht, zunächst wurde geschickt erweitert, damit man die dritte Binomische Formel im Zähler anwenden kann. Danach wurde nur umformuliert.
Der Sinn dahinter ist, dass das \(x^2\) im Zähler verschwindet und man schön mit \(x\) kürzen kann, l'Hospital brauchst du hier gar nicht.

Merke: Siehst du Terme der Art \(\sqrt{x^2+ irgendwas} - x\), dann verwende die dritte Binomische Formel



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-01-20


2018-01-19 21:30 - Kampfpudel in Beitrag No. 1 schreibt:
Merke: Siehst du Terme der Art \(\sqrt{x^2+ irgendwas} - x\), dann verwende die dritte Binomische Formel

Dem kann und will ich jetzt natürlich nicht widersprechen! Zu Übungszwecken - oder weil einem gerade fad ist - kann man aber natürlich noch andere Wege beschreiten, z.B.

$\lim\limits_{x \to \infty} (\sqrt{x(x+a)}-x)=\lim\limits_{x \to \infty} x(\sqrt{1+\frac ax}-1)=\lim\limits_{x \to \infty} x((1+\frac a{2x}+O(\frac 1{x^2}))-1)=\lim\limits_{x \to \infty} (\frac a2+O(\frac 1x))=\frac a2$



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-01-20


2018-01-20 08:02 - weird in Beitrag No. 2 schreibt:
Zu Übungszwecken - oder weil einem gerade fad ist - kann man aber natürlich noch andere Wege beschreiten [...]

Und auch die Anwendung von L'Hôpital ist so ein möglicher anderer Weg:

    $\begin{align*}
\lim_{x\to\infty}\sqrt{x(x+a)}-x
&=\lim_{x\to\infty}x\left(\sqrt{1+{a\over x}}-1\right)=\\[1.5ex]
&=\lim_{x\to\infty}{\sqrt{1+{a\over x}}-1\over{1\over x}}=\\[1.5ex]
&=\lim_{x\to\infty}{{-a\over2x^2\sqrt{1+{a\over x}}}
  \over{-1\over x^2}}=\\[1.5ex]
&={{a\over2}\over\lim\limits_{x\to\infty}\sqrt{1+{a\over x}}}={a\over2}
\end{align*}$



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-01-20


Hier dann noch eine neue Aufgabe für Übungszwecke:

\[\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sqrt{n-2\sqrt{n}}-\sqrt{n} \]
Viel Erfolg!

Gruß,

Küstenkind



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Najeb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-21


Vielen Dank, super Forum! :)



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
minusphalbe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-06-05


Hallo Küstenkind! Hallo Matheplanet-Forum!

Ich habe hier diese Aufgabe entdeckt:

\(\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \sqrt { n-2\sqrt { n }  } -\sqrt { n }  } =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { -2\sqrt { n }  }{ \sqrt { n-2\sqrt { n }  } +\sqrt { n }  }  } =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { -2 }{ \sqrt { 1-\frac { 2 }{ \sqrt { n }  }  } +1 }  } =-1\)

Einverstanden?

Ich habe es auch mit Substitution versucht, um den Term auf die Form eines Differentialquotienten zu bringen (und dann wie gewohnt abzuleiten), bin aber gescheitert. Hier mein Versuch:

Substitution: \(-2\sqrt { n } =\frac { 1 }{ h } \Rightarrow\)

\(\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \sqrt { { \left( \frac { 1 }{ -2h }  \right)  }^{ 2 }+\frac { 1 }{ h }  }  } +\frac { 1 }{ 2h } =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { \sqrt { \frac { 1 }{ 4 } +h } +\frac { 1 }{ 2 }  }{ h }  } =\dots ???\)

Oder geht der Substitutions-Trick hier nicht? (Oder er funktioniert immer, nur ich hab’s immer noch nicht verstanden.)

Ob ich nochmal Hilfe bekommen könnte? Dankeschön!

Viele Grüße,

minusphalbe

PS: hilft mir evtl. das?: \({ \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }={ \left( \pm \sqrt { \frac { 1 }{ 4 }  }  \right)  }^{ 2 }\)



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-06-05


Hallo minusphalbe,

also dein Grenzwert samt Vorgehensweise stimmt.

Ob das mit der Substition hin zu einem Differenzenquotienten hier klappt, wage ich mal zu bezweifeln.

Du darfst diese mathematischen Tricks auch nicht als universelle Allzweckwaffen ansehen. Es braucht Gespür dafür, wann was geht. Und dieses Gespür nennt man auch Erfahrung. 😉

Im Fußball lässt sich auch nicht jedes Problem durch einen Übersteiger lösen...


Gruß, Diophant

PS: eröffnen in solchen Fällen grundsätzlich besser einen eigenen, neuen Thread.



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minusphalbe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-06-05


Hallo Diophant!

Dein herrlicher Vergleich hat mich sofort überzeugt :) (Und daß das Substituieren ein, aber nicht das alleinige Mittel ist, Grenzwerte zu bestimmen.)

Und toll, du hast meine Frage trotzdem gefunden. Denn du hast natürlich auch hier völlig recht, nächstes Mal sollte ich einen neuen Thread eröffnen.

Danke für deine Antwort!

Viele Grüße,

minusphalbe



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-06-05


Huhu minusphalbe,

ich würde \(2\sqrt{n}=\frac{1}{h}\) substituieren. Damit:

\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\sqrt{n-2\sqrt{n}}-\sqrt{n}\right)=\lim_{h\to 0}\left(\sqrt{\left(\frac{1}{2h}\right)^2-\frac{1}{h}}-\frac{1}{2h}\right)=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{1-4h}-1}{2h}=2\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{1-h}-1}{h}=-2\cdot\left(\sqrt{x}\right)'_{x=1}=-2\frac{1}{2\sqrt{1}}=-1\)

Gruß,

Küstenkind

Edit: wünscht noch ein schönes Wochenende!



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minusphalbe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-06-05


Hallo Küstenkind!

Nur so für mich zur Übersetzung für meine (noch)-Schul-Denke: Ist das gegen Ende bei dir so zu verstehen:

\(2\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { \sqrt { 1-h } -1 }{ h } \dashrightarrow  } -2\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { \sqrt { \left( 1-h \right) +h } -\sqrt { 1-h }  }{ h }  }\)

im Sinne von

\(-2\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { \sqrt { x+h } -\sqrt { x }  }{ h }  }\)

bzw.\( \left( 1-h \right) +h\dashrightarrow { x }_{ 0 }+\Delta x\)

(etwas Besseres als diese seltsamen Pfeile habe ich leider nicht gefunden.)

Viele Grüße,

minusphalbe



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-06-05


Huhu,

nein, es wurde nur wieder substituiert. Davor ja auch schon. Ich habe nur die Variable nicht umbenannt. Da diese Substitutionen "offensichtlich" sind, schreibt man sie auch nicht mehr explizit hin.
Ausführlich:

\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\sqrt{n-2\sqrt{n}}-\sqrt{n}\right)=\lim_{h\to 0}\left(\sqrt{\left(\frac{1}{2h}\right)^2-\frac{1}{h}}-\frac{1}{2h}\right)=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{1-4h}-1}{2h}\stackrel{4h=:t}{=}2\lim_{t\to 0}\frac{\sqrt{1-t}-1}{t}\stackrel{-t=:s}{=}2\lim_{s\to 0}\frac{\sqrt{1+s}-1}{-s}=-2\lim_{s\to 0}\frac{\sqrt{1+s}-1}{s}=-2\cdot\left(\sqrt{x}\right)'_{x=1}=-2\frac{1}{2\sqrt{1}}=-1\)

Gruß,

Küstenkind



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minusphalbe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2020-06-05


Hallo Küstenkind!

Ja, das ist tatsächlich offensichtlich, muß ich zerknirscht eingestehen. Wenn ich vielleicht etwas länger nachgedacht hätte, statt nochmals zu fragen, hätte ich dir nicht deine Zeit klauen müssen, tut mir leid!

Danke, daß du so geduldig warst, mir das alles nochmal so mundgerecht zu servieren.

Ich hatte auch zwischenzeitlich versucht, irgendwo im Netz etwas zu dieser (und anderen vielleicht ähnlichen) Methode zu erfahren. Aber ich weiß nicht, wie man das nennt, wie also der Suchbegriff wäre. Und wann und wo lernt man so etwas normalerweise? Im (gescheiten) Leistungskurs an der Schule, im ersten Semester?

Jedenfalls danke ich dir nochmals vielmals ! und wünsche auch dir ein schönes Wochenende!

Viele Grüße,

minusphalbe



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-06-05


Huhu minusphalbe,

nun, entschuldigen brauchst du dich nun wahrlich nicht - dafür ist ja dieser Ort da, um nachzufragen. Wenn mir Frage "zu blöd" gewesen wäre, hätte ich einfach nichts mehr geschrieben.

Es geht hier einfach um "Grenzwerte". Diese "Methode" hat auch keinen Namen. Es wird einfach durch Rechnung / Substitution der Grenzwert umgeschrieben, so dass man ein Differentialquotient erhält. Wichtig ist ja aber auch, was Diophant schreibt: Diese "Methode" ist kein Allheilmittel und sollte sofort versucht werden, wenn dort ein \(\lim\limits_{x\to \infty}\) steht. Du hast die Aufgabe ja auch perfekt anders gelöst (ich würde sagen, sogar "einfacher"). Das ist einfach wirklich ein wenig Erfahrung / Übung. Wo man das lernt? Ich würde sagen, in einem (guten) Mathematik-Forum. Das ist ja das schöne - es gibt hier viele kluge Menschen (und damit meine ich nicht mich, es gibt hier wesentlich bessere Mathematiker), die zu vielen Aufgaben neben dem "Standardverfahren" immer noch hübsche Alternativen geben. Vieles von dem, was ich schreibe, habe ich anderer Stelle eben auch mal gelesen.

Was ist denn eigentlich dein mathematischer Hintergrund? An der Rechtschreibung lässt sich ja erahnen, daß du kein "junger" Schüler / Student bist?!

Gruß,

Küstenkind




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minusphalbe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2020-06-06


Hallo Küstenkind!

"junger" Schüler / Student - keines dieser drei Wörter trifft auf mich zu. Zur Zeit der Berufsfindung hatte ich mich damals aus privaten Gründen gegen ein Mathematikstudium entschieden. Auf meinem Schreibtisch liegt >Grundwissen Mathematikstudium, Tilo Arens et al.<, das zu lesen und zu verstehen mein Minimalziel ist. Im Moment bearbeite ich >Mathematik-Vorkurs<, Schäfer/Georgi/Trippler, um möglichst viele unerkannte Lücken zu schließen (was teilweise etwas langweilig ist) und >Mathematik für Einsteiger und Tutorium …<, Klaus Fritzsche, um mich an mathematische Denkweisen zu gewöhnen (hier brauche ich manchmal länger, um alles zu verstehen und kann nicht mehr alle Aufgaben vollständig lösen).

Die Aufgabe im Thread LinkKonvergenz von (1 + 1/(3n))^2n konnte ich ohne Mühen lösen wegen des >Mathematik-Vorkurs<, Schäfer/Georgi/Trippler, aber richtig interessant fand ich die letzte Frage von Creasy und die Antwort von Wally - das stand nicht mehr im Buch :)

Ich liebe die unerwarteten Antworten die ich in diesem Forum bislang bekommen habe, (finde z.B. deine „Grenzwert-Methode“ super, auch weil ich mit ihr Aufgaben knacken kann (wenn ich’s denn kann), die über den >Mathematik-Vorkurs< hinausgehen, interessiere mich aber auch für das ‚warum das geht‘. Ich mag gerne Muster und Symmetrien, daß e und π immer wieder auftauchen, wo sie auftauchen und frage mich, was sie eigentlich (wirklich) bedeuten …

Jetzt sind es schon wieder ‚unmathematisch‘ viele Worte geworden. Aber das wäre so ungefähr mein Hintergrund.

Viele Grüße,

minusphalbe



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2020-06-06


Huhu minusphalbe,

das klingt spannend und interessant. Dann wünsche ich weiterhin viel Spaß und Erfolg im "Selbststudium"! Und - falls Fragen auftauchen - weist du ja, wo du sie stellen kannst. Mathematik lernt man zu großen Teilen auch im Austausch mit anderen (mündlich, oder hier eben auch schriftlich).

Grüße aus dem Norden,

Küstenkind



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