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Gewöhnliche DGL » Systeme von DGL » Ableitung eines zweidimensionalen Vektors
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Universität/Hochschule Ableitung eines zweidimensionalen Vektors
Knightfire66
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-02-12

\(\begingroup\)
Hallo,

Das ist die Aufgabe:



ich versuche das mit dem folgenden Ansatz zulösen:

$$\begin{align*}\vec{x}(t) = e^{5t} \begin{pmatrix}a\cos(4t)+b\sin(4t)\\ c\cos(4t)+d\sin(4t)\end{pmatrix}\end{align*}$$

Die Eigenwerte sind \(\lambda_1,_2 = 5 +- 4i\)

a=5 und c=5 habe ich raus, in dem ich die AWB einfach eingesetzt habe.
ich brauche die Ableitung des folgenden Vektors:

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

Die Lösung ist folgendes... aber ich komme irgendwie nicht drauf:

fed-Code einblenden

Ich habe soweit folgendes:



Ich brauche das damit ich am Ende mit Hilfe des Koeffizientenvergleiches b und d rausbekommen kann

mfg


\(\endgroup\)


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lula
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-02-12


Hallo
ich verstehe schon nicht wie du auf dein x(t) kommst und warum du dann x'(t) brauchst, um die anfangsbedingungen inzusetzen. was sind denn deine Eigenvektoren? Eigenartig ist schon, dass du Konstanten nur bei sin(4t) stehen hast.
x'(t) brauchst du doch höchstens als Probe, ob du richtig gelöst hast.
bis dann, lula


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Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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Knightfire66
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-12


jo hab alles korrigiert... hast recht sollte alles reinschreiben...



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-02-12

\(\begingroup\)
Es ist nicht ganz nachvollziehbar, was du da tust.

Die rechte Seite der DGL hast du ausgerechnet. Du erhälst damit allerdings $x'(t)$, nicht $x(t)$.

Für den Koeffizientenvergleich musst du jetzt auch die linke Seite ableiten. (dabei Produktregel beachten)


Edit: Mich würde allerdings interessieren, warum man hier überhaupt trigonometrische Funktionen einführt statt mit der komplexen Exponentialfunktion zu arbeiten.


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Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -
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Knightfire66
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-12



Edit: Mich würde allerdings interessieren, warum man hier überhaupt trigonometrische Funktionen einführt statt mit der komplexen Exponentialfunktion zu arbeiten.

weil das mit exponentialfunktion easy ist... ich sollte auch diesen weg können...



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Knightfire66
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-12




Für den Koeffizientenvergleich musst du jetzt auch die linke Seite ableiten. (dabei Produktregel beachten)


welche linke seite?



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-02-12

\(\begingroup\)
2018-02-12 14:00 - Knightfire66 in Beitrag No. 4 schreibt:

weil das mit exponentialfunktion easy ist... ich sollte auch diesen weg können...

Gut, dann ist das eben so.

Dann nochmal die Hilfestellung vertiefen:

Du hast über die rechte Seite der DGL ausgerechnet:
$\frac{d}{dt}x(t)=e^{5t} \cdot (35\cos(4t)+(2b+5d)\sin(4t),15\cos(4t)+(-5b+8d)\sin(4t))^T$

Jetzt links (direkt) ausrechnen:
$\frac{d}{dt}((5\cos(4t)e^{5t}+b\sin(4t)e^{5t},5\cos(4t)e^{5t}+d\sin(4t)e^{5t})^T)$

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]



Dein Kernproblem scheint hier zu stecken:

fed-Code einblenden

Es muss aber heißen:
fed-Code einblenden


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Knightfire66
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-12

\(\begingroup\)

Es muss aber heißen:
fed-Code einblenden
wieso ist das schon x'(t)?

aber ganz ehrlich ich hatte auch nie verstanden, warum die Ausgangsmatrix auf einmal auf der rechten Seite ist...

ok habe links nun abgeleitet und nun alles zusammengefasst... und das ist genau das was ich suche... die rechte Seite wird ja doch nicht nochmal so kompliziert abgeleitet... schön zu wissen  biggrin  

Und dann liefert der Koeffizientenvergleich b = 5/2 und d = -5/2
Aber ich verstehe nicht wieso man einfach die Koeffiezienten (also nur die vor cos) rausnehmen und diese einfach miteinander gleichsetzen kann... wieso kann man die vor sin ignorieren?

EDIT: Wir setzen unsere AWB ein und sin fällt eben für t=0 raus?  cool  

fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
fed-Code einblenden

\(\vec{x}(t) = e^{5t} \begin{pmatrix}5\cos(4t)+5/2\sin(4t)\\ 5\cos(4t)-5/2\sin(4t)\end{pmatrix}\)

mfg
\(\endgroup\)


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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-02-12

\(\begingroup\)
2018-02-12 15:03 - Knightfire66 in Beitrag No. 7 schreibt:

wieso ist das schon x'(t)?


Weil die DGL eben $x'(t)=A\cdot x(t)$ lautet.

Sprich: Der Gradient (die Änderungsrate) hängt linear vom Ist-Wert ab.

Du hast jetzt einen Ansatz für $x(t)$ geraten.
Die Gleichung ändert sich dadurch natürlich nicht.
Nur steht nach Einsetzen eben statt $x(t)$ jetzt deine Ansatzfunktion und statt $x'(t)$ deren Ableitung/Gradient und war der Ansatz gut, geht die Gleichung auf.


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lula
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-02-12


Hallo
 bei t=0 ist doch der sin(4t)=0 d.h. er kommt beim einsetzen von x(0) nicht vor.
Gruß ledum


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Knightfire66
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-12


ok.. ich danke euch beiden!!! vielen dank



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Knightfire66
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-23

\(\begingroup\)
2018-02-12 12:59 - lula in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo
ich verstehe schon nicht wie du auf dein x(t) kommst und warum du dann x'(t) brauchst, um die anfangsbedingungen inzusetzen. was sind denn deine Eigenvektoren? Eigenartig ist schon, dass du Konstanten nur bei sin(4t) stehen hast.
x'(t) brauchst du doch höchstens als Probe, ob du richtig gelöst hast.
bis dann, lula

Hallo Lula, ich habe eben mal alles nochmal durchgelesen als Wiederholung.

Mit ist aufgefallen, dass wir nur einen einzigen eigenvektor, nämlich. 5 +4i nutzen- davon komm der RE also 5 in den Exponenten von e und wird zu e^(5t) und der Im 4 kommt in die Klammern in sin und cos... ist das so richtig? d.h. ich muss gar nicht den Eigenvektor bestimmen? und ich bestimme einen einzigen eigenwert und das wars?

\(\vec{x}(t) = e^{5t} \begin{pmatrix}a\cos(4t)+b\sin(4t)\\ c\cos(4t)+d\sin(4t)\end{pmatrix}\)

mfg
\(\endgroup\)


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lula
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Hallo
 jetzt hast du 4 Konstanten? woher kommen die? du kannst bei einer Dgl erster Ordnung doch nur x(t_0) vorgeben? mit den 2 Komponenten von x also nur 2 Konstanten?
 wenn du die EV (1,1)  zu 5+4i und (1,-1)  zu 5-4i hast  du doch x =C_1*e^(5t)*cos(4*t)*(1,1)^T+C_2*e^5t*sin(4*t)*(1,-1)
wie bist du sonst auf die Lösung gekommen ?
 manchmal kann man zwar ne Lösung raten, da sind aber trotzdem die EV drin. ich sehe hier nicht wie du ohne EV auf deie Lösung gekommen bist.
Gruß ledum


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Knightfire66
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\(\begingroup\)
ich dachte das wäre der allg. Ansatz für 2x2 dgl mit komplexen Nullstellen... mehr weiß ich auch nicht. Könntest du mir erklären wie das zustande kommt?  confused

woher hast du die Eigenvektoren (1,1)^T und (1,-1)^T? die Eigenvektoren sind glaub ganz anders...

ich würde die mit lgs oder Trick lösen, also zB für \(\lambda_{1} = 5 +  4i\)

in die Matrix \(\begin{pmatrix} -3-4i & 5 \\ -5 & 3-4i \end{pmatrix}\)

erste Zeile als Spaltvektor \(\begin{pmatrix} -3-4i \\ 5\end{pmatrix}\)

Zeilen vertauschen \(\begin{pmatrix} 5 \\ -3-4i \end{pmatrix}\)

eine Zeile *(-1) \(\begin{pmatrix} -5 \\ -3-4i\end{pmatrix}\)

aber hier geht das glaub ich nicht... oder ist das ein richtiger Eigenvektor?

Die beiden Zeilen der Matrix (A-E*(-lambda))
, also -lambda in die Diagonale) sind orthogonal zueinander... vielleicht kommt deswegen ein falscher Eigenvektor raus.

Mit Lgs komme ich auch nicht auf die richtige Lösung



mfg
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Knightfire66
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Hallo,

ok ich hab da was ...



nun ist die Frage, wie ich die richtigen Eigenvektoren erhalte und hier richtig einsetze?

und wegen den beiden anderen Konstanten... vielleicht der zweite Eigenwert und dessen Eigenwektor?

mfg



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