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Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Polynome » Irreduzibilität von x³ - 3 über ℚ(√2)
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Autor
Universität/Hochschule J Irreduzibilität von x³ - 3 über ℚ(√2)
Zoe505
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-02-13


Könnte mir bitte jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen :)

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Ich weiss leider nicht ob dieser Ansatz überhaupt Sinn macht und wenn ja wie ich weiter vorgehen muss?



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-02-13

\(\begingroup\)
Hallo,

du hast nicht geschrieben, was dein Ansatz überhaupt ist. Ich nehme mal an, du willst die Tatsache benutzen, dass ein Polynom dritten Grades irreduzibel ist, wenn es keine Nullstelle besitzt, und daher zeigen, dass die Gleichung $(a+b\sqrt{2})^3 = 3$ keine Lösung besitzt (die erste Zeile deines Vorschlages ist mir daher rätselhaft.)

Rechne also einfach weiter, du hast noch nicht viel gemacht. Da die Darstellung $a+b\sqrt{2}$ eindeutig ist und $3$ keinen $\sqrt{2}$-Anteil hat, müssen sich die Koeffizienten von $\sqrt{2}$ zu $0$ addieren, und diese Bedingung führt nach einer Menge Rechnerei letztlich auf einen Widerspruch.


[Verschoben aus Forum 'Mathematik' in Forum 'Polynome' von ligning]


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⊗ ⊗ ⊗
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kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-02-13


Hattet ihr schon das Eisensteinkriterium?



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Zoe505
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-13


ich verstehe leider nicht wie du meinst das ich weiter rechnen soll?

und ja, das Eisensteinkriterium hatten wir natürlich, jedoch wüsste ich nicht wie mir das hier weiterhelfen soll?



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ligning
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Dabei seit: 07.12.2014
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-02-13


2018-02-13 17:55 - Zoe505 in Beitrag No. 3 schreibt:
ich verstehe leider nicht wie du meinst das ich weiter rechnen soll?
So wie ich beschrieben habe. (Wieso lesen soviele eigentlich immer nur die Hälfte?)



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Triceratops
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Mitteilungen: 3644
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-02-14


Die Irreduzibilität folgt hier einfach aus der Irreduzibilität über Q, weil die Grade der Wurzeln 2,3 teilerfremd sind. Siehe fav.php?op=view&fav_id=68717



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Zoe505
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-14


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DerEinfaeltige
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Mitteilungen: 1504
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-02-14

\(\begingroup\)
Komische Umformung.
Besser durch "Faktorisieren" ($b$ ausklammern) zeigen, dass $b=0$ die einzige (rationale) Lösung ist.


-----------------
Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -
\(\endgroup\)


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HellsKitchen
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Dabei seit: 02.01.2012
Mitteilungen: 223
Aus: Fürth in Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-02-15

\(\begingroup\)
Die Aufgabe soll vielleicht den Begriff: "Normale Körpererweiterung" demonstrieren.

\(X^2 - 2\) und \(X^3 - 3\) sind Polynome aus \(\mathbb{Q}[X]\), beide dort irreduzibel nach Eisenstein.
\(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) ist der Zerfällungskörper von \(X^2 - 2\), und deshalb ist
die Körpererweiterung \(\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}\) normal.

Wäre \(X^3 - 3\) reduzibel in \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) hätte es dort eine Nullstelle.
Wegen der Normalität zerfällt \(X^3 - 3\) vollständig in \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\).
Seine drei Nullstellen wären Elemente von \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\).
Aber zwei Nullstellen sind nicht reell und \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\ \subset \mathbb{R}\).
\(\endgroup\)


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juergen007
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 17.08.2006
Mitteilungen: 2740
Aus: Braunschweig
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-02-15

\(\begingroup\)
Die brute force Methode:
Annahme: es gibt
(1) $a,b: (a+b\sqrt{2})^3 =3, \quad a,b \in \mathbb Q$.

Führt nach Ausrechnung zu einer überschaubaren Gleichung wie

(2) $a^6+12a^4b-6a^3-24ab+9-18b^4+24b^5-8b^6=0$.

Zeige nun, dass es keine Paare a,b gibt, die (2) erfüllen.

Hth
\(\endgroup\)


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Triceratops
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Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 3644
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-02-16

\(\begingroup\)
Das ist eine schöne, nicht ganz so geläufige Lösung.

2018-02-15 11:28 - HellsKitchen in Beitrag No. 8 schreibt:
Die Aufgabe soll vielleicht den Begriff: "Normale Körpererweiterung" demonstrieren.

\(X^2 - 2\) und \(X^3 - 3\) sind Polynome aus \(\mathbb{Q}[X]\), beide dort irreduzibel nach Eisenstein.
\(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) ist der Zerfällungskörper von \(X^2 - 2\), und deshalb ist
die Körpererweiterung \(\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}\) normal.

Wäre \(X^3 - 3\) reduzibel in \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) hätte es dort eine Nullstelle.
Wegen der Normalität zerfällt \(X^3 - 3\) vollständig in \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\).
Seine drei Nullstellen wären Elemente von \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\).
Aber zwei Nullstellen sind nicht reell und \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\ \subset \mathbb{R}\).
\(\endgroup\)


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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 3644
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-02-16

\(\begingroup\)
2018-02-15 17:48 - juergen007 in Beitrag No. 9 schreibt:
(2) $a^6+12a^4b-6a^3-24ab+9-18b^4+24b^5-8b^6=0$.

Zeige nun, dass es keine Paare a,b gibt, die (2) erfüllen.

Und wie machst du das?

Ich bezweifle, dass das das Problem vereinfacht.
\(\endgroup\)


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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-02-16

\(\begingroup\)
2018-02-16 00:44 - Triceratops in Beitrag No. 11 schreibt:
2018-02-15 17:48 - juergen007 in Beitrag No. 9 schreibt:
(2) $a^6+12a^4b-6a^3-24ab+9-18b^4+24b^5-8b^6=0$.

Zeige nun, dass es keine Paare a,b gibt, die (2) erfüllen.

Und wie machst du das?

Gar nicht, muss ich ja nicht.
\(\endgroup\)


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