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Moderiert von fru MontyPythagoras
Mechanik » Theoretische Mechanik » Stoß zweier Massen unter Einfluss eines Potentials
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Autor
Universität/Hochschule J Stoß zweier Massen unter Einfluss eines Potentials
Grisu
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 14.02.2018
Mitteilungen: 9
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-02-14

\(\begingroup\)
Hallo zusammen!
Es geht um folgende Aufgabe:
Gegeben seien zwei Massen \(m_1\)und \(m_2\), die sich zum Zeitpunkt \(t = 0\) in Ruhe und im Abstand \(d\) voneinander befinden. Unter Einfluss des Potentials \( V(r) = - \frac{\gamma}{r^2} \) bewegen sich die Massen aufeinander zu. Zu welchem Zeitpunkt \(t\) treffen die Massen aufeinander?
Nutzen Sie die Energieerhaltung aus.
Hinweis: \( \int { \frac {xdx} { \sqrt{ax^2+b} } } = \frac{1}{a}\sqrt{ax^2+b} \)

Meine Ideen:
Idee 1:
Berechnung der Bahnkurven mittels
\( t = \int { \frac {dr_i} { \sqrt{ \frac{2}{m_i}(E - V_{eff}(r_i)) } } } \)
[E: Energie; \(V_{eff}\): effektives Potential \(V(r)+\frac{l^2}{2mr^2}\)]
Gleichsetzen von \(r_1\) und \(r_2\) und nach \(t\) auflösen.
oder
Idee 2:
Man betrachtet die Relativkoordinate \( r = r_1 - r_2 \)mit der Masse \(  \mu = \frac{m_1m_2}{m_1 + m_2} \), also quasi ein fiktives Teilchen mit der Masse \(\mu\), berechnet dafür die Bahnkurve und setzt diese gleich 0 und stellt nach \(t\) um, da diese ja quasi den Abstand beschreibt.

Ist wenigstens ein Ansatz davon brauchbar, und was hat das Ganze mit der Energieerhaltung zu tun (außer, dass die Formel prinzipiell aus der Energiebetrachtung abgeleitet wurde)?
Vielen Dank im Vorraus für Hilfestellungen.
\(\endgroup\)


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wladimir_1989
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.12.2014
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Aus: Freiburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-02-14

\(\begingroup\)
Hallo Grisu,
die Energieerhaltung liefert dir eine DGl Ordnung für die Bahngleichung. Schreibe einfach die Energieerhaltung hin und löse danach nach \(\dot{r}\) auf.


lg Wladimir
\(\endgroup\)


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Grisu
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-14

\(\begingroup\)
Hallo Wladimir,
mit Polarkoordinaten und dem Drehimpuls \(l\):
\( E = \frac{m}{2} v^2 + V(r) = \frac{m}{2}(\dot{r}^2 + r^2\dot{\varphi}^2) + V(r) =  \frac{m}{2}\dot{r}^2 + \frac{l^2}{2mr^2} + V(r) = \frac{m}{2}\dot{r}^2 +V_{eff}(r) \)
Dann nach \( \frac{dr}{dt} \) umstellen:
\( \frac{dr}{dt} = \sqrt{ \frac{2}{m}(E - V_{eff}(r) } ) \)
In diesem Sinne?
Damit kann man dann eine Bahnkurve von r berechnen, soweit ist mir das durchaus klar. Aber ist das dann der einzige Zusammenhang mit der Energieerhaltung?
\(\endgroup\)


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wladimir_1989
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Aus: Freiburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-02-14


Das ist tatsächlich der einzige Zusammenhang, ist aber komplett ausreichend. Du kannst den Energieausdruck noch wesentlich vereinfachen. Die Massen befinden sich am Anfang in Ruhe, folglich gibt es keinen Drehimpuls. Die Gesamtenergie lässt sich übrigens konkret angeben

lg Wladimir.



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Grisu
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-14

\(\begingroup\)
Dann schon mal Danke für den ersten Teil.
Zum Zeitpunkt \( t = 0 \) gilt \( E = V(r) = -\frac{\gamma}{r^2} \)
Lässt sich sonst noch etwas über die Energie aussagen?

LG Grisu
\(\endgroup\)


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wladimir_1989
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-02-15

\(\begingroup\)
2018-02-14 23:58 - Grisu in Beitrag No. 4 schreibt:
Dann schon mal Danke für den ersten Teil.
Zum Zeitpunkt \( t = 0 \) gilt \( E = V(r) = -\frac{\gamma}{r^2} \)
Lässt sich sonst noch etwas über die Energie aussagen?

LG Grisu

Genau. Wir können ja den Abstand r am Anfang konkret angeben. Es gilt \(r(t=0)=d\)
\(\endgroup\)


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Grisu
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-15

\(\begingroup\)
Das heißt das Ganze ergibt sich zu:
\( \frac{dr}{dt} = \sqrt{ \frac{2}{m}( E - (V(r) + \frac{l^2}{2mr^2}) ) } = \sqrt{ \frac{2}{m}( V(r) - (V(r) + \frac{l^2}{2mr^2}) ) } = \sqrt{ \frac{2}{m}( - \frac{l^2}{2mr^2}) ) } = \sqrt{  - \frac{l^2}{m^2r^2}  } \)
Ist das so richtig?

LG Grisu
\(\endgroup\)


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wladimir_1989
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-02-15

\(\begingroup\)
Hallo,
du bringst noch einige Sachen durcheinander:
1) es gibt keinen Drehimpuls, also \(l=0\)

2) Wir haben die Gesamtenergie \(E=-\frac{\gamma}{d^2}\) und das Potential \(V(r)=-\frac{\gamma}{r^2}\).
\(\endgroup\)


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Grisu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-15


Bei dem zweiten Teil bin ich tatsächlich durcheinander gekommen.
Aber ich stehe jetzt gerade wohl auf dem Schlauch. Wenn sich die Teilchen anfangen zu bewegen, warum kann sich dann kein Drehimpuls entwickeln?



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wladimir_1989
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-02-15

\(\begingroup\)
Die Massen bewegen sich ja auf gerader Linie aufeinander zu. Der Drehimpuls ist ja durch \(\vec L=m\vec r\times \vec v\). Hier ist aber \(\vec r\) und \(\vec v\) zu jedem Zeitpunkt parallel zueinander und damit \(\vec L=0\).
\(\endgroup\)


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Grisu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-15

\(\begingroup\)
Okay, das ergibt Sinn. Danke dafür.
Und der Zusammenstoß der Teilchen erfolgt, wenn \( r(t) = 0 \) gilt?
\(\endgroup\)


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wladimir_1989
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-02-15


Genau.



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Grisu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-15

\(\begingroup\)
Vielen Dank für die Hilfe.
Im Endeffekt erhalte ich:
\( \frac{dr}{dt} = \sqrt{ \frac{2}{m}(E-V(r)) } = \sqrt{ \frac{2}{m}( -\frac{\gamma}{d^2} + \frac{\gamma}{r^2} )) } = \sqrt{ \frac{2\gamma}{m}( \frac{1}{r^2} - \frac{1}{d^2} )) } \)
Und noch eine abschließende Frage: Die Masse m ist in diesem Fall die reduzierte Masse, richtig?
\(\endgroup\)


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wladimir_1989
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2018-02-15

\(\begingroup\)
2018-02-15 00:57 - Grisu in Beitrag No. 12 schreibt:

Im Endeffekt erhalte ich:
\( \frac{dr}{dt} = \sqrt{ \frac{2}{m}(E-V(r)) } = \sqrt{ \frac{2}{m}( -\frac{\gamma}{d^2} + \frac{\gamma}{r^2} )) } = \sqrt{ \frac{2\gamma}{m}( \frac{1}{r^2} - \frac{1}{d^2} )) } \)

Korrekt.

2018-02-15 00:57 - Grisu in Beitrag No. 12 schreibt:

Und noch eine abschließende Frage: Die Masse m ist in diesem Fall die reduzierte Masse, richtig?
Richtig.

Jetzt musst du die Variablen trennen und integrieren.




\(\endgroup\)


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Grisu
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-15


Super. Vielen Dank für die Unterstützung, das Integral zu lösen ist kein Problem mehr.
LG Grisu



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