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Gewöhnliche DGL » DGLen 1. Ordnung » Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems. x' + x sin t = sin t, x(0) = 4.
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Universität/Hochschule Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems. x' + x sin t = sin t, x(0) = 4.
Knightfire66
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-02-18

\(\begingroup\)
Hallo;

\(x' + x sin t = sin t\) |: sin t

Trennung der Variable
fed-Code einblenden

so würd ichs machen, aber das ist glaub ich falsch, denn die lösung ist folgendes:

x(t) = \(C*e^{cos t} + 1 \)

und nach A.W.B einsetzen:

x(t) = \(3*e^{cos t -1} + 1 \)

ideen?

mfg
\(\endgroup\)


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Radix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-02-18


Hallo Knightfire!

Dein Fehler: Wenn 2 von 3 Termen sin t enthalten und du durch sin t dividierst, dann ist der sin t nicht "verschwunden" so wie in deiner nächsten Zeile.

Trennung der Variablen ist aber die richtige Idee. Der 1. Schritt dafür ist, x sin t auf die andere Seite zu bringen.

Gruß,
Radix



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Knightfire66
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-18


x' = sin t - x sin t

ok wie trenne ich jetzt x von sin t?

mfg



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-02-18


Ausklammern!

Alternativ könntest du natürlich auch nur die homogene DGL lösen. Die partikuläre Lösung kannst du dann durch scharfes Hinsehen bestimmen.

Gruß,

Küstenkind



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Knightfire66
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-18

\(\begingroup\)
stimmt... sry ich war halbherzig bei dieser aufgabe.. mache grad eine andere.. habs deshalb nicht gesehen...

ich hab soweit folgendes:



aber das ist noch nicht ganz die lösung. die lösung ist: \(3*e^{cos(t)-1} +1\)

Also mein +C am Ende stimmt auch nicht, das musste irgendwoe vor das e kommen...

wie komme ich da drauf?
\(\endgroup\)


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Radix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-02-18


fed-Code einblenden



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Knightfire66
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-18


2018-02-18 18:52 - Radix in Beitrag No. 5 schreibt:
fed-Code einblenden

ja -ln(1-x) sollte da rauskommen ...

PS: ich lerne schon lange... also konzentrier dich bitte  biggrin  aufs ergebnis und ignorier die kleinen fehler  frown



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Radix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-02-18


Wer hat Konzentration wohl nötiger? Derjenige, der einen kleinen Fehler nach dem anderen macht? Oder der, der sie einen nach dem anderen aufzeigt?

Dieses Beispiel ist sehr simpel. Man braucht keinerlei Tricks oder dergleichen. Wenn man es durchrechnet, ohne kleine Fehler zu machen, landet man zwangsläufig bei dieser Lösung.

Gruß,
Radix



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Knightfire66
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-19


Hallo,
tut mir leid hast recht. Natürlich ist jeder Fehler wichtig und sollte verbessert werden.

-1+x = -e^cos(t) |+1

x = -e^cos(t) +1 +C

Das ist was ich aber meinte. Ok Vz verbessert. Hoffe alles richtig diesmal.  Aber wie kommt das C vors e? Und wieso habe ich hier auf einmal -e^cos(t)+1

Mfg




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Radix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-02-19


Mir ist nicht ganz klar, ob du auf das gekommen bist oder ob das aus einer Fremdlösung stammt, die du nicht nachvollziehen kannst. Wie auch immer: Es fehlt die Vorgeschichte.

Schreibe alle Zwischenschritte beginnend bei der Differentialgleichung auf. Dann kann ich Fehler finden bzw. erklären, was bei dem Schritt passiert ist.

Gruß,
Radix



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cis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-02-19


Ich glaube in #4 fehlt einfach ein x im Zähler; damit sollte es stimmen.

Aber @ Knightfire66

Was Formelsatz angeht ziehst Du wirklich alle Register... LaTeX, fed, Unicode und abfotographierter Handschrieb; und das alles auch noch teilweise gemischt und teilweise falsch.
Also das ist von außen wirklich grauenvoll zu Lesen.

Mach doch lieber eine Sache ganz, als vier Sachen halb.
So wäre es richtig (schau dir den Code an!):
<math>x' + x \sin(t) = \sin(t) ~~|: \sin(t)</math>
[Standardfunktionen immer aufrecht]

<math>x(t) = C \cdot e^{\cos(t)} + 1</math>
[Malpunkt]


-----------------
Wenn man alles ausgeschaltet hat, was unmöglich ist, bleibt am Ende etwas übrig, das die Wahrheit enthalten muß - mag es auch noch so unwahrscheinlich sein...
(Sherlock Holmes)
·



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Knightfire66
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-19

\(\begingroup\)
danke für die ganzen tipps und die ganzen Nebenbaustellen sind ja auch wichtig... aber ihr vergisst mein Hauptproblem...



Die Lösung stammt aus der Musterlösung... aber wie ihr seht ohne Lösungsweg bringt der nix...

\(3\cdot e^{cos t -1} + 1\)

EDIT:

Neuer Vorschlag:

\(3=\frac{1}{e} \cdot e^{C} | \cdot e\)
\(3e=e^{C} | ln\)
\(ln(3)\cdot ln(e) = C\)
\(C = ln(3)\cdot 1 \)

Und oben eingesetzt;

\(e^{cos t \cdot  ln(3)} + 1\) \(= 3\cdot e^{cos t} + 1\)

ist das möglich? ABER trotzdem würde dann das -1 im Exponenten fehlen...

mfg

\(\endgroup\)


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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-02-19

\(\begingroup\)
Hallo Knightfire66,

auf deinem Zettel sind so viele (grobe) Fehler, da weiß man garnicht richtig, wo man anfangen soll zu berichtigen. Tut mir Leid, wenn ich das mal so deutlich sagen muss. Wieso steht in deiner ersten Zeile links eine Null? Die zweite Zeile ist total vermurkst. Du schaffst es nicht mal die Schreibfigur eines Integrals richtig aufzuschreiben. Das verwundert mich wenig, wenn ich mir auch sonst dein Schriftbild ansehe. Schreibe doch bitte richtige Sätze. Am Satzanfang schreibt man z.B. groß. Und ein Satz endet mit einem Satzzeichen. Ernst gemeinter Tipp: Gebe dir da mal mehr Mühe, Struktur hilft auch in der Mathematik. Dazu wieder: Du möchtest anscheinend bestimmt integrieren. Danach beachtest du deine (falschen) Grenzen wieder überhaupt nicht. Wieso? Richtig lautet die zweite Zeile übrigens:

\(\displaystyle \int_4^x \frac{ds}{1-s}=\int_0^t \sin(s)\, ds \)

Weitere Fehler:

Es ist \(\int \frac{dx}{x}=\ln|x|\)

Zudem ist \(e^{-\ln(x)}\neq-x\).

Gruß,

Küstenkind
\(\endgroup\)


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Knightfire66
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-19

\(\begingroup\)
jo,

Wieso steht in deiner ersten Zeile links eine Null? Die zweite Zeile ist total vermurkst. Du schaffst es nicht mal die Schreibfigur eines Integrals richtig aufzuschreiben.
Ich habe das nicht mit einem Touchpad oderso gemacht, sondern auf meinem Handy mit der Rückseite eines Kugelschreibers, dass mit einem Touchstift leider nichts zutun hat... aber so geht es dennoch viel schneller als mit Latex... fedgeo ist relativ gut und schnell. So eine Skizze ist dennoch schneller.


Ernst gemeinter Tipp: Gebe dir da mal mehr Mühe, Struktur hilft auch in der Mathematik.
Stimmt tut mir leid. Ich sollte mehr auf darauf achten. Aber wenn man schnell sein will, kann sowas vorkommen. Ich werde versuchen das zu ändern.


Zudem ist \(e^{-\ln(x)}\neq-x\).
das sollte ja \(\frac{1}{1-x} \) sein eek

Und nach knapp 1 Tag habe ich immer noch keine Ahnung wie diese Aufgabe mit C-Methode funktioniert  frown

EDIT:

Auf dem normalem Weg habe ich das mittlerweile gelöst. ich hatte aus versehen die Integralgrenzen falsch eingesetzt und deswegen gings davor nicht:

fed-Code einblenden

mfg





 
 


\(\endgroup\)


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wladimir_1989
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2018-02-19

\(\begingroup\)
Hallo Knightfire66,

2018-02-19 13:55 - Knightfire66 in Beitrag No. 13 schreibt:


Zudem ist \(e^{-\ln(x)}\neq-x\).
das sollte ja \(\frac{1}{1-x} \) sein :-o



Das geht in die richtige Richtung, ist aber noch falsch. Versuche es systematisch, also mit Hilfe der Potenzgesetze zu berechnen.


lg Wladimir
\(\endgroup\)


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Knightfire66
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-19

\(\begingroup\)



Zudem ist \(e^{-\ln(x)}\neq-x\).
das sollte ja \(\frac{1}{1-x} \) sein :-o

Das geht in die richtige Richtung, ist aber noch falsch. Versuche es systematisch, also mit Hilfe der Potenzgesetze zu berechnen.

ich mein nicht -ln(x), sondern -ln(1-x)

mfg
\(\endgroup\)


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wladimir_1989
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2018-02-19


OK, dann ist es korrekt.

Tipp: typischerweise macht man weniger Fehler, wenn man bei solchen Aufgaben unbestimmt integriert und eine Integrationskonstante verwendet.


lg Wladimir



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2018-02-19


2018-02-19 13:55 - Knightfire66 in Beitrag No. 13 schreibt:
Und nach knapp 1 Tag habe ich immer noch keine Ahnung wie diese Aufgabe mit C-Methode funktioniert  frown

EDIT:

Auf dem normalem Weg habe ich das mittlerweile gelöst. ich hatte aus versehen die Integralgrenzen falsch eingesetzt und deswegen gings davor nicht:

fed-Code einblenden

Da fehlen Betragsstriche, vgl. die Rechnung, die HAL dir im Matheboard aufgeschrieben hat. Vielleicht kannst du dir dann auch deine Frage, welche du dort gestellt hast, selbst beantworten. Wieso überhaupt die gleiche Aufgabe in 2 Foren zur gleichen Zeit? Zu deinem Post hier: Was meinst du mit C-Methode? Willst du nun unbestimmt integrieren?

Gruß,

Küstenkind


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.15 begonnen.]



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wladimir_1989
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2018-02-19


Hallo

2018-02-19 15:08 - Kuestenkind in Beitrag No. 17 schreibt:
2018-02-19 13:55 - Knightfire66 in Beitrag No. 13 schreibt:

x-1 = e^(ln(3) + cos(t)-1)
x  = 3^(cos(t)-1) + 1
fed-Code einblenden

Da fehlen Betragsstriche, vgl. die Rechnung, die HAL dir im Matheboard aufgeschrieben hat.


Küstenkind

@Knightfire66 die letzte Umformung ist falsch. Beachte wieder die Potenzgesetze. Es fehlen damit mehr als nur Betragsstriche.

lg Wladimir



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Knightfire66
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-19


2018-02-19 15:08 - Kuestenkind in Beitrag No. 17 schreibt:
2018-02-19 13:55 - Knightfire66 in Beitrag No. 13 schreibt:
Und nach knapp 1 Tag habe ich immer noch keine Ahnung wie diese Aufgabe mit C-Methode funktioniert  frown

EDIT:

Auf dem normalem Weg habe ich das mittlerweile gelöst. ich hatte aus versehen die Integralgrenzen falsch eingesetzt und deswegen gings davor nicht:

fed-Code einblenden

Da fehlen Betragsstriche, vgl. die Rechnung, die HAL dir im Matheboard aufgeschrieben hat. Vielleicht kannst du dir dann auch deine Frage, welche du dort gestellt hast, selbst beantworten. Wieso überhaupt die gleiche Aufgabe in 2 Foren zur gleichen Zeit? Zu deinem Post hier: Was meinst du mit C-Methode? Willst du nun unbestimmt integrieren?

Gruß,

Küstenkind


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.15 begonnen.]

beachte aber auch, dass dort die Frage heute um 12:49 gestellt wurde, also nachdem hier die Hoffnung verloren hatte.
Die antwort kam um 13:09 ... ich wollte das euch nicht sagen, um diesen Forum nicht schlecht darzustellen... aber ich habe durch eine kleine Rückfrage auch den Rechenweg sofort verstanden.

aber das war echt eine Ausnahme, sonnst sind die Leute hier auch sher Hilfreich und dafür bin ich Dankbar.

PS: ich nutze 4 Foren smile



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Knightfire66
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-19



@Knightfire66 die letzte Umformung ist falsch. Beachte wieder die Potenzgesetze. Es fehlen damit mehr als nur Betragsstriche.

korrigiert


Zu deinem Post hier: Was meinst du mit C-Methode? Willst du nun unbestimmt integrieren?

ich wollte erst unbestimmt und dann die A.W.B. einsetzen.

mfg



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, eingetragen 2018-02-19

\(\begingroup\)
Dann ist:

\(\displaystyle \int \frac{dx}{1-x}=\int \sin(t)\, dt\)

\(\displaystyle -\ln|1-x|=-\cos(t)+c\)

\(\displaystyle \ln|1-x|=\cos(t)+c\)

\(\displaystyle 1-x=ce^{\cos(t)}\)

\(\displaystyle x=ce^{\cos(t)}+1\)

Einsetzen der AWB:

\(\displaystyle 4=ce^{\cos(0)}+1\)

\(\displaystyle 3=ce^{1}\)

\(\displaystyle c=3e^{-1}\)

Und somit:

\(\displaystyle x=3e^{-1}e^{\cos(t)}+1=3e^{\cos(t)-1}+1\)

Gruß,

Küstenkind
\(\endgroup\)


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Knightfire66
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-19

\(\begingroup\)
jo,

\(\displaystyle -\ln|1-x|=-\cos(t)+c\)

\(\displaystyle \ln|1-x|=\cos(t)+c\) -> wieso ist c hier positiv?

\(\displaystyle 1-x=ce^{\cos(t)} \) -> wie kommt hier das c vors e?

\(1-x = e^{\cos(t)+c}\) -> so würde ich das hinschreiben.. übersehe ich wieder was wichtiges?  confused

den Rest verstehe ich  cool  

mfg
\(\endgroup\)


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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, eingetragen 2018-02-19


Siehe z.B. dort:

LinkAnfangswertproblem DGL

Gruß,

Küstenkind



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Bajnos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, eingetragen 2018-02-19

\(\begingroup\)
Hallo Knightfire66,

streng genommen handelt es sich um verschiedene Konstanten. Ausgehend von \(c=c_1\) folgt \(c_2=-c_1\) und \(c_3=e^{c_2}\)

Gruß Bajnos
\(\endgroup\)


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cis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, eingetragen 2018-02-19


2018-02-19 11:13 - Knightfire66 in Beitrag No. 11 schreibt:
danke für die ganzen tipps und die ganzen Nebenbaustellen sind ja auch wichtig... aber ihr vergisst mein Hauptproblem...

Und hier irrst Du Dich.
Der MP ist weniger ein reiner Kundendienst, er dient vielmehr der Archivierung. Wenn Du mit einer Darstellung, wie in #10 beschrieben, aufwartest, erstellst Du einen Thread, der für Nutzer mit ähnlichen Problemen nutzlos ist.

Daher nochmal die bitte, sauber und ordentlich und vor allem konsequent mit einem Formeleditor zu arbeiten. Und Notations- bzw. Syntaxprobleme, die dabei aufkommen, vorweg zu lösen (Google etc.). Da gehört einfach dazu und bleibt mir auch nicht erspart.



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Knightfire66
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.26, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-19


ok vielen dank cis, banjos und küstenkind!!!  biggrin

aber theoretisch geht es doch auch ohne eine neue Variable zu definieren...

dann ist C eben im exponenten als - C

EDIT:


Und hier irrst Du Dich.
Der MP ist weniger ein reiner Kundendienst, er dient vielmehr der Archivierung. Wenn Du mit einer Darstellung, wie in #10 beschrieben, aufwartest, erstellst Du einen Thread, der für Nutzer mit ähnlichen Problemen nutzlos ist.
ok habs verstanden biggrin

mfg



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.27, eingetragen 2018-02-19

\(\begingroup\)
2018-02-19 17:06 - Kuestenkind in Beitrag No. 21 schreibt:
Dann ist:

\(\displaystyle \int \frac{dx}{1-x}=\int \sin(t)\, dt\)

\(\displaystyle -\ln|1-x|=-\cos(t)+c\)

\(\displaystyle \ln|1-x|=\cos(t)+c\)

\(\displaystyle 1-x=ce^{\cos(t)}\)

\(\displaystyle x=ce^{\cos(t)}+1\)

Einer der seltenen Fälle, wo ich nicht ganz mit dir übereinstimme, weil hier dreimal von einer Konstanten $c$ die Rede ist, die aber eigentlich jedesmal etwas anderes bezeichnet. Ich würde daher hier folgende Vorgangsweise vorschlagen, wo ich zwar immer bei der gleichen Bezeichnung für die Konstante bleibe, diese aber in der Bedeutung nur ganz leicht und einigermaßen konsistent variiert:

$\int \frac{dx}{1-x}=\int \sin t\, dt$
$-\ln|1-x|=-\cos t-\ln c \quad (c>0)$
$\ln|1-x|=\cos t+\ln c=\ln(c e^{\cos t)}$
$1-x=c e^{\cos t}$ (Ab nun $c\in \mathbb R$ beliebig!)
$x=1-c e^{\cos t}$

Man beachte, dass in der 4.Zeile durch das Weglassen der Betragsstriche zunächst nur auch negative Werte von $c$ ins Spiel kommen, während für $c=0$ stillschweigend auch noch die singuläre Lösung $x=1$ dazugeschmuggelt wurde, deren Korrektheit man natürlich noch nachträglich überprüfen muss.

Ich weiß, dass diese Feinheiten nur ganz wenige hier goutieren werden - schon gar nicht der TS, der ja offensichtlich so ganz andere Probleme hat - aber eine Anmerkung hat es m.E. trotzdem verdient!  wink
\(\endgroup\)


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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.28, eingetragen 2018-02-19

\(\begingroup\)
Huhu weird,

ich verfolge mehr die Devise, welche ich im verlinkten Beitrag dargelegt habe. Aber du hast Recht, da es sich hier wohl um einen Anfänger auf diesem Gebiet handelt, wäre es wohl technisch gesehen am saubersten gewesen die Konstanten alle mitzunehmen und separat zu nummerieren (oder zumindest ein Wort darüber zu verlieren). Ich nehme solche Rechnungen aber selten für bare Münze und prüfe eben lieber hinterher, wo meine Lösung die DGL löst. Vor deiner ersten Zeile wurde ja auch schon (kommentarlos) durch \((1-x)\) dividiert. Wenn man nun "pingelig" ist, müsste man dort ja schon eine Fallunterscheidung machen (für den Fall, dass man durch 0 dividiert). Dort willst du ja den Fall \(x=1\) auch hinterher prüfen. Aber gut, ich hoffe Knightfire66 hat in der Vorlesung Hinweise dazu erhalten, wie sein Professor das gerne hätte. Dann sollte er sich wohl daran halten.

Ich wünsche dir noch einen schönen Abend und einen guten Start in die neue Woche!

Gruß,

Küstenkind


\(\endgroup\)


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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.29, eingetragen 2018-02-19

\(\begingroup\)
2018-02-19 20:27 - Kuestenkind in Beitrag No. 28 schreibt:
Vor deiner ersten Zeile wurde ja auch schon (kommentarlos) durch \((1-x)\) dividiert. Wenn man nun "pingelig" ist, müsste man dort ja schon eine Fallunterscheidung machen (für den Fall, dass man durch 0 dividiert). Dort willst du ja den Fall \(x=1\) auch hinterher prüfen.

Was die singuläre Lösung $x=1$ (also $x$ ist die konstante Funktion 1) betrifft, so muss man klar sagen, dass diese die Rechnung hier nicht hergibt, sondern sie ist im Gegenteil dort größtenteils klar verboten! Man bekommt diese hier wirklich nur, indem man in der Endformel für $x(t)$ auch $c=0$ gewissermaßen "ausprobiert" und sieht: Hoppla, das ist ja auch eine Lösung für die zu Beginn gegebene Differenzialgleichung! Die meisten Studenten haben aber nach meiner Erfahrung kein Problem damit, und zwar weil sie nicht einmal sehen, dass der Fall $c=0$ in der Rechnung eigentlich nicht enthalten ist.   biggrin
\(\endgroup\)


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Knightfire66
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\(\begingroup\)
hallo,

ich höre zum ersten mal, dass die konstante C so verschieden sein kann. bzw geändert werden kann. ich rede nicht von variation der konstanten.

ich würde das einfach so lösen:

\(\begin{eqnarray*}
\int_{}^{} \! \frac{1}{1-x} \, dx &=& \int_{}^{} \! sin(t) \, dt\\ \left[ -\ln|1-x| \right] &=& \left[-\cos(t)\right]\\
-\ln(x-1) &=& -\cos(t) + C\\
\ln(x-1) &=& \cos(t) - C\\
x-1 &=& exp(\cos(t) - C)\\
 x(t) &=& \exp(\cos(t)-C)+1
\end{eqnarray*}\)

A.W.B.

\(\begin{eqnarray*}
4 &=& \exp(1-C)+1 \,\,\,\,\,| -e^{1- C}\,|-4 \\
-e^{1- C} &=& -3 \,\,\,\,\,| \cdot e^C \\
-e &=& -3\cdot e^C \,\,\,\,\,| : (-3) \,| ln \\
C &=& ln (\frac{e}{3})
\end{eqnarray*}\)
-> Hier gleicht sich das nun aus... und ich erhalte sogar ln(3/e) statt ln(-...), was ja nicht geht.

C in die allg. Lösung:

\(\begin{eqnarray*}
x(t) &=& \exp(cos(t)-ln(\frac{e}{3} )+1 \\
&=& \frac{3}{e}\cdot e^{cos(t)} +1 \\
&=& 3\cdot e^{cos(t)-1} +1 \\
\end{eqnarray*}\)

fertig... entweder übersehe ich was wichtiges oder ihr macht es unnötig kompliziert...

mfg

PS: das sieht so schön und ordentlich aus mit Latex... aber dauert viel zu lang...  biggrin

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2018-02-19 23:18 - Knightfire66 in Beitrag No. 30 schreibt:
hallo,

ich höre zum ersten mal, dass die konstante C so verschieden sein kann. bzw geändert werden kann. ich rede nicht von variation der konstanten.

ich würde das einfach so lösen:

\(\begin{eqnarray*}
\int_{}^{} \! \frac{1}{1-x} \, dx &=& \int_{}^{} \! sin(t) \, dt\\ \left[ -\ln|1-x| \right] &=& \left[-\cos(t)\right]\\
-\ln(x-1) &=& -\cos(t) + C\\
\ln(x-1) &=& \cos(t) - C\\
x-1 &=& exp(\cos(t) - C)\\
 x(t) &=& \exp(\cos(t)-C)+1
\end{eqnarray*}\)

Du hast in der zweiten Zeile eine Gleichung wie "von einem anderen Stern stehen", nämlich

$\left[ -\ln|1-x| \right] = \left[-\cos(t)\right] $

Was bedeuten da die eckigen Klammernpaare? In der Mathematik werden oft sog. Gaußklammern so bezeichnet, nur macht das hier keinen Sinn. Aber das eigentlich Komische ist hier, dass die Integrationskonstante fehlt. Wo ist diese hin verschwunden?  eek
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Jo,
Ja da gehört noch ein +C am Ende.

Also da kommen solche Klammern, da in der Klammer, also ln(...) nicht was negatives stehen kann. Und da x offensichtlich > 1 ist (siehe A.w.b), kommen hier betragsklammer, also -(1-x) -> (x-1) ... So hab ich das verstanden.

Mfg



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2018-02-20 00:19 - Knightfire66 in Beitrag No. 32 schreibt:
Jo,
Ja da gehört noch ein +C am Ende.

Eben. Und wenn du jetzt in der 2.Zeile noch C am Ende ergänzt, dann sind von Zeile 2 auf Zeile 3 die rechten Seiten der Gleichungen gleich, daher müssten auch die linken Seiten gleich sein, d.h., es müsste bei dir dann gelten

$-\ln|1-x|=-\ln(x-1)$

Und das ist ja wohl ein totaler Unsinn, wie man etwa durch Einsetzen von $x=0$ sofort sieht!  eek


Also da kommen solche Klammern, da in der Klammer, also ln(...) nicht was negatives stehen kann. Und da x offensichtlich > 1 ist (siehe A.w.b), kommen hier betragsklammer, also -(1-x) -> (x-1) ... So hab ich das verstanden.

Oh Gott, ich sprach von den eckigen Klammern außenherum - offenbar gehören diese einfach ersatzlos gestrichen - du aber redest von den Betragsstrichen. Nehmen denn diese andauernden Missverständnisse hier kein Ende?!  frown
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Oh Gott, ich sprach von den eckigen Klammern außenherum - offenbar gehören diese einfach ersatzlos gestrichen - du aber redest von den Betragsstrichen. Nehmen denn diese andauernden Missverständnisse hier kein Ende?!  frown

tut mir leid  smile

also dort den betrag zu nehmen ist richtig? und mit x-1 weiter zu machen ist auch richtig?  confused

also meinst die [...] ...also das ist noch vom integral, die sollte ich rauslassen, weil keine grenzen da sind.  biggrin

dann ist alles andere ok?  

mfg



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2018-02-20 19:26 - Knightfire66 in Beitrag No. 34 schreibt:
dann ist alles andere ok?

Natürlich nicht! Ich zitiere für dich nochmals den 1. Absatz aus dem letzen Posting, den du offenbar komplett überlesen hast:

2018-02-20 00:19 - Knightfire66 in Beitrag No. 32 schreibt:
Und wenn du jetzt in der 2.Zeile noch C am Ende ergänzt, dann sind von Zeile 2 auf Zeile 3 die rechten Seiten der Gleichungen gleich, daher müssten auch die linken Seiten gleich sein, d.h., es müsste bei dir dann gelten

$-\ln|1-x|=-\ln(x-1)$

Und das ist ja wohl ein totaler Unsinn, wie man etwa durch Einsetzen von $x=0$ sofort sieht!  eek

Es gibt also da ein massives Problem beim Übergang von der 2. auf die 3.Zeile, darum ist deine obige Frage auch irgendwie sehr seltsam.
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Wir starten zum Zeitpunkt 0 bei einem Wert x>1, und verlassen diesen "Korridor" dann auch nicht mehr, d.h., es ist x(t)>1 für alle t≥0. Und für x(t)>1 ist nun mal ln|1−x(t)|=ln(−(1−x(t)))=ln(x(t)−1).

Das ist aus Matheboard von HAL...

hier ist die Seite, vielleichr übersehe ich wieder was:
www.matheboard.de/thread.php?postid=2124674#post2124674

ist versuch das nur zu verstehen... wenn s falsch ist, dann vergesse ichs auch gleich wieder... aber ich wollte dir seine Begründung zeigen... nicht von mir  biggrin

hoffe also du verstehst das besser als ich... da ichs nicht verstanden habe. ich habs einfach so hingenommen, weil ich so aufs ergebnis kam.  

mfg



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2018-02-20 19:46 - Knightfire66 in Beitrag No. 36 schreibt:
Das ist aus Matheboard von HAL...

Das zählt aber leider nicht den er schreibt ja auch (um 13:09) ganz klar von zwei Wegen, wo man bei Weg 1 die Dgl allgemein löst mit Integrationskonstante und erst später die Anfangsbedingung einsetzt - das ist unser Weg oben!!! - oder den Weg 2, wo er von allen Anfang an die Anfangsbedingung miteinbezieht und den er eingeschlagen hat. Also machst du hier genau wieder diese unzulässige Vermischung der zwei Wege, die er dir bereits vorgeworfen hatte!

Aber was reden wir denn da, nachdem ich dir schon in #27 in einer Art "Musterlösung" vorgeführt habe, wie es wirklich geht! Insbesondere besteht ein Riesenunterschied zwischen meiner allgemeinen Lösung

$x(t)=C\exp^{cos(t)}+1\quad (C \in \mathbb R)$

und deiner Lösung

$x(t)=\underbrace{\exp(cos(t)-C)}_{>0}+1\quad (C \in \mathbb R)$

wo x(t) nur Werte >1 annehmen kann, egal wie man $C$ wählt.

Auf den Punkt gebracht könnte man also sagen, dass bei dir die allgemeine Lösung der Dgl noch klar falsch ist, sich dieser Fehler aber durch die spezielle Anfangswertbedingung dann zu deinem Glück in der weiteren Rechnung nicht auswirkt.
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Also machst du hier genau wieder diese unzulässige Vermischung der zwei Wege, die er dir bereits vorgeworfen hatte!
achso ok, habs verstanden


Insbesondere besteht ein Riesenunterschied zwischen meiner allgemeinen Lösung

$x(t)=C\exp^{cos(t)}+1\quad (C \in \mathbb R)$

und deiner Lösung

$x(t)=\underbrace{\exp(cos(t)-C)}_{>0}+1\quad (C \in \mathbb R)$

wo x(t) nur Werte >1 annehmen kann, egal wie man $C$ wählt.

Auf den Punkt gebracht könnte man also sagen, dass bei dir die allgemeine Lösung der Dgl noch klar falsch ist, sich dieser Fehler aber durch die spezielle Anfangswertbedingung dann zu deinem Glück in der weiteren Rechnung nicht auswirkt.

also kommt nur aus Glück am Ende das Richtige raus? aber der Weg ist also falsch... ok ich schreibs mir auf und versuche die andere Variante mit vertauschen der Konstante C zu lösen.

Ich habe da auch schon nen Ansatz:
\(\ln(x-1) &=& \cos(t) - C \,\,|e^{} \\
x-1 &=& -C\cdot \exp(\cos(t))  \,\,->  statt \,\,exp(\cos(t) - C)\\
x(t) &=& -C\cdot \exp(\cos(t))+1
\)

ich habe mir einfach gemerkt, immer wenn links ln ist und man e^ macht um das wegzubekommen, dann kommt das C rechts, vor dem e als faktor statt +e^C dahinter... ich habe bisher ca.4 Aufgabe gehabt wo das der Fall war... es gibt da wahrscheinlich ne Regel, aber ich ich find nicht dazu... ich merks mir lieber so...

mfg

mfg

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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
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2018-02-21 14:05 - Knightfire66 in Beitrag No. 38 schreibt:

Ich habe da auch schon nen Ansatz:

$\ln(x-1) = \cos t - C \quad |\ e^{\{\}}$
$x-1 = -C\cdot \exp(\cos t) $  (statt $\exp(\cos t - C)$)
$x(t) = -C\cdot \exp(\cos t)+1 $

Ich hab das mal oben, um es überhaupt lesbar zu machen, so editiert, wie es von dir wahrscheinlich beabsichtigt war. Und natürlich ist dein Vorgehen von der ersten auf die 2.Zeile klar Unsinn und gegen alle mathematischen Regeln. Tatsächlich machst du so deine falsche allgemeine Lösung der Dgl durch einen weiteren Fehler zu einer richtigen, d.h., du hast da zwei(!) schwere Fehler in deiner Rechnung, die sich aber dann gegenseitig aufheben, sodass am Ende dann wieder etwas Richtiges dabei herauskommt.  eek

ich merks mir lieber so...

Tja, das ist natürlich eine Katastrophe, wenn man sich vorsätzlich etwas falsch einlernt...  frown

Aber wie du willst, wie es richtig und mathematisch sauber geht, hab ich dir ja in #27 - noch einmal sei es gesagt - klar vorgezeigt, mehr kann ich hier leider beim besten Willen nicht für dich tun.
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