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Mathematik » Stochastik und Statistik » Zufallsvektoren und Verteilungsfunktion
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Autor
Universität/Hochschule J Zufallsvektoren und Verteilungsfunktion
matosch
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-02-18

\(\begingroup\)
Hallo,

ich soll zeigen, dass für einen Zufallsvektor mit univariaten Randverteilungen folgendes gilt:

\(P(X_1 \leq x_1, \dotsc, X_d \leq x_d) = P(F_1(X_1) \leq F_1(x_1),\dotsc,F_d(X_d) \leq F_d(x_d))\).

Für die Fälle d=1 und d=2 habe ich die Aussage bewiesen, beim allgemeinen Fall tue ich mir (auch notationsbedingt) etwas schwer. Würde mich über Tips freuen.

LG matosch
\(\endgroup\)


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AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.12.2006
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Aus: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-02-18

\(\begingroup\)
Huhu Matosch,

vielleicht deutest Du an, wie Du für $n=2$ den Satz beweist.
Wir helfen Dir dann bei der Verallgemeinerung.

lg, AK.
\(\endgroup\)


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matosch
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 14.11.2015
Mitteilungen: 102
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-18

\(\begingroup\)
Für d=1 sieht die Argumentation folgendermaßen aus:

\(P(F(X)\leq F(x)) = P(X\leq x) + P(F(X)=F(x),X>x),\)

wobei der zweite Teil Flachstücken der Verteilung entspricht und somit Wahrscheinlichkeit 0 hat.

Für d=2 hatte ich es folgendermaßen:

\(P(F_1(X_1)\leq F_1(x_1),F_2(X_2)\leq F_2(x_2)) = \\
P(X_1\leq x_1, X_2 \leq x_2) + \\
P(F_1(X_1)=F_1(x_1),F_2(X_2)\leq F_2(x_2),X_1>x_1)+\\
P(F_1(X_1)\leq F_1(x_1),F_2(X_2)=F_2(x_2),X_2>x_2)-\\
P(F_1(X_1)= F_1(x_1),F_2(X_2)=F_2(x_2),X_1>x_1,X_2>x_2)\)

Das kann ich dann auf den 1-dimensionalen Fall zurückführen und erhalte die Behauptung.

Könnte es irgendwie mit dem Inklusion-Exklusion-Prinzip gehen?

\(\endgroup\)


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