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Analysis » Topologie » Hilbertraum mit fester Folge
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Universität/Hochschule Hilbertraum mit fester Folge
grezebeze
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 14.06.2015
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-02-21

\(\begingroup\)
Lieber Matheplanet,

Ich hänge gerade an einer Aufgabe:
Gegeben sei der Hilbertraum $(\ell^2,\Vert\cdot\Vert_2)$ und eine feste Folge $(a_k)_{k\in\mathbb{N}}$ aus $(\ell^2,\Vert\cdot\Vert_2)$. Zeigen Sie, dass ...
(a) ... die folgende abzählbar unendliche Menge in $(\ell^2,\Vert\cdot\Vert_2)$ dicht liegt:

$\displaystyle S:=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\lbrace(q_1,q_2,\dots,q_n,0,0,...)\;\vert\;q_i\in\mathbb{Q},j=1,\dots,n\rbrace $

(b) ... die Menge

$M:=\lbrace (x_k)_{k\in\mathbb{N}}\vert\;\vert x_k\vert\leq\vert a_k\vert\;\forall\;k\in\mathbb{N}\rbrace $

in $(\ell^2,\Vert\cdot\Vert_2)$ abgeschlossen und beschränkt ist.
(c) ... die Schnittmenge $S\cap M$ in M dicht liegt.


Ich hätte versucht, bei (a) irgendwie den Abschluss von S zu bilden und versucht zu zeigen, dass dieser gleich $(\ell^2,\Vert\cdot\Vert_2)$ ist... Allerdings weiß ich nicht recht wie ich genau den Abschluss davon bilde... Könnte mir hier jemand auf die Sprünge helfen?
Bei (b) und (c) hab ich keine Ahnung.
\(\endgroup\)


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MeWi
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.03.2011
Mitteilungen: 549
Aus: Jena
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-02-21

\(\begingroup\)
Fangen wir erst einmal mit (a) an:
Zeige zunächst, dass die Folgen mit endlich vielen nichtverschwindenden *reellen* (statt rationalen) Folgengliedern im Abschluss von $S$ liegen. Überlege dir dann, wie du aus einer beliebigen Folge eine machen kannst, in der alle bis auf endlich viele Folgenglieder verschwinden.
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Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1294
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-02-21

\(\begingroup\)
Hey grezebeze,

bei der a) genügt es zu zeigen, dass sich jedes Element aus \(\ell^2\) durch Elemente in \(S\) in der \(\ell^2\)-Norm beliebig gut approximieren lässt (D.h. du musst zeigen:
Für alle \(x=(x_n)_n \in \ell^2\) und für alle \(\epsilon>0\) existiert ein \(s=(s_n)_n \in S\), sodass gilt:
\(\| s - x \|_{\ell^2} < \epsilon\).)
Schreibe diesen Ausdruck doch mal hin und schaue, was du dort machen kannst.
Denn dann folgt \(\ell^2 \subset \overline{S}\). Da offensichtlich \(S \subset \ell^2\) gilt, gilt dann auch \(\overline{S} \subset \ell^2\), insgesamt also \(\overline{S}=\ell^2\).

Beschränktheit bei der b): Schreibe mal die \(\ell^2\)-Norm eines Elementes in \(M\) hin und schätze nach oben ab

Abgeschlossenheit bei der b): Benutze die Definition über Folgen. Mach dir klar, was gegeben ist und wo du hin möchtest (bzw. mach du uns klar, dass du weißt, was zu tun ist).
Viel mehr will ich zu b) zunächst auch gar nicht sagen, denn wenn dir klar ist, was genau zu tun ist, ist die Aufgabe echt nicht so schwer

Zu c): Hier ist zu zeigen, dass \(\overline{S \cap M} = M\) gilt. Wie in a) genügt es \(M \subset \overline{S \cap M}\) zu zeigen. Mach dir klar, was zu tun ist (das steht praktisch oben bei a) schon), formuliere es aus und versuch dich dran

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


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grezebeze
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 14.06.2015
Mitteilungen: 107
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-22

\(\begingroup\)
Vielen Dank für eure hilfreiche Antwort, ich werde mich gleich nochmal daran versuchen. Vorerst noch eine allgemeine Frage... Wie sieht denn allgemein der Abschluss von $S$ aus? Wie sieht dieser explizit aus?
\(\endgroup\)


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Orthonom
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 02.09.2010
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-02-22


Hallo grezebeze,
weil S in l^2 dicht liegt, ist der Abschluß
von S der Raum l^2.
Gruß Orthonom



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Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1294
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-02-22

\(\begingroup\)
Wie der Abschluss von \(S\) explizit aussieht, das sollst du ja gerade in a) machen. Es ist \(\overline{S}=\ell^2\), genau das sollst du ja zeigen.

Wie allgemein der Abschluss einer Menge definiert ist, hätte dir auch Wikipedia verraten können:
Per Definition ist \(\overline{S}\) der Durchschnitt aller abgeschlossenen Mengen in \(\ell^2\), die \(S\) enthalten. Damit ist \(\overline{S}\) die kleinste abgeschlossene Menge, die \(S\) enthält.

In metrischen Räumen (und das ist \(\ell^2\), sogar ein normierter Raum), kann man auch den Abschluss auch wie folgt definieren:
\(\overline{S}:= \{x \in \ell^2: ~\text{Es existiert eine Folge}~ (s^m)_m \subset S~ \text{sodass gilt:}~ s^m \to x ~\text{in} ~\ell^2 \}\\
 =\{x \in \ell^2: ~\text{Für alle}~\epsilon>0 ~\text{existiert ein}~ s \in S~ \text{sodass gilt:}~ \|s- x \|_{\ell^2}< \epsilon\}\)



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
\(\endgroup\)


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