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Lineare Algebra » Eigenwerte » Was ist ein Eigenvektor?
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Ausbildung J Was ist ein Eigenvektor?
Heinerich
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-02-21


Hallo alle oder wer imer das hier liest,
ich bin gestern neu hier und hab ne selten dämlich Frage, wenn s erlaubt ist.

Was ist ein eigenvektor??

der der zu einer Matrix gehört und auf sich selber abgebildet wird?

Was ist ein eigenwert??
Multipliziert die Matrix den eigenvektor mit dem eigenwert?

Bitte keine formeln wenn s geht nur Prosa für dummys.

sorry ich komme mir voll krass dämlich vor ehrlich weil ich schon mit den Begriffen rechnete ohne sie zu verstehen..
Sorry auch dass ich fast nur kleinschreibung benutze reine Faulheit ;).
Danke
Ich habe auch schon videos darüber gesehen aber selbst die fand ich nicht so.. soll ich die mal raussuchen?
HHB



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-02-21

\(\begingroup\)
Ein Eigenvektor $x$ einer linearen Abbildung $f$ ist ein Vektor, für den $f(x) = \lambda \cdot x$ gilt.
$\lambda$ ist dabei der zugehörige Eigenwert.

Der Eigenvektor wird also durch die lineare Abbildung (bspw. die Multiplikation mit einer Matrix) auf ein bestimmtes Vielfaches seiner selbst abgebildet.

Die Eigenvektoren und Eigenwerte einer Matrix $A$ sind somit alle Vektoren $x_i$ und $\lambda_i$, für die $A\cdot x_i = \lambda_i \cdot x_i$ gilt.

Anmerkung:
Da der Nullvektor die genannten Forderungen immer trivialerweise erfüllt, betrachtet man ihn NICHT als Eigenvektor.


Oder anhand der Definition von wikipedia:

"Ein Eigenvektor einer Abbildung ist in der linearen Algebra ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, dessen Richtung durch die Abbildung nicht verändert wird. Ein Eigenvektor wird also nur skaliert und man bezeichnet den Skalierungsfaktor als Eigenwert der Abbildung."


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majoka
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-02-21


Ich finde die Erklärung auf Seite 9 in diesem Skript recht anschaulich.



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Heinerich
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-21


2018-02-21 10:26 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 1 schreibt:

Oder anhand der Definition von wikipedia:

"Ein Eigenvektor einer Abbildung ist in der linearen Algebra ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, dessen Richtung durch die Abbildung nicht verändert wird. Ein Eigenvektor wird also nur skaliert und man bezeichnet den Skalierungsfaktor als Eigenwert der Abbildung."

Das ist echt Super von dir erklärt, das sogar ich s verstehe und also doch nicht so schwer aber:
Hat denn einen Matrix immer nur Einen eigenvector mit Einem eigenwert oder mehrere?
Danke



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-02-21


2018-02-21 11:20 - Heinerich in Beitrag No. 3 schreibt:
2018-02-21 10:26 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 1 schreibt:

Oder anhand der Definition von wikipedia:

"Ein Eigenvektor einer Abbildung ist in der linearen Algebra ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, dessen Richtung durch die Abbildung nicht verändert wird. Ein Eigenvektor wird also nur skaliert und man bezeichnet den Skalierungsfaktor als Eigenwert der Abbildung."

Das ist echt Super von dir erklärt, das sogar ich s verstehe und also doch nicht so schwer aber:
Hat denn einen Matrix immer nur Einen eigenvector mit Einem eigenwert oder mehrere?
Danke


Danke für die Blumen, aber der zitierte Abschnitt war (wie geschrieben) reines c&p von wikipedia.
:D

Eine Matrix besitzt in der Regel mehrere Eigenvektoren und mehrere zugehörige Eigenwerte. Die Anzahl ist jeweils kleiner/gleich dem Rang der Matrix.
Genaueres kannst du unter den Stichworten "geometrische Vielfachheit" und "algebraische Vielfachheit" nachlesen.


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Heinerich
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-21

\(\begingroup\)
2018-02-21 11:28 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 4 schreibt:

Danke für die Blumen, aber der zitierte Abschnitt war (wie geschrieben) reines c&p von wikipedia.
biggrin

Eine Matrix besitzt in der Regel mehrere Eigenvektoren und mehrere zugehörige Eigenwerte. Die Anzahl ist jeweils kleiner/gleich dem Rang der Matrix.
Genaueres kannst du unter den Stichworten "geometrische Vielfachheit" und "algebraische Vielfachheit" nachlesen.

Ich geh mal ein weiter weil ich grad n erfolxerlebnis hatte smile
Zu algebraische Vielfachheit aus de.wikipedia.org/wiki/Eigenraum#Geometrische_Vielfachheit

Definition
Sei V $\displaystyle V$ ein Vektorraum über einem Körper  $\displaystyle K$ und $\displaystyle \varphi \in \operatorname {End} (V)$ ein Endomorphismus, das heißt eine lineare Abbildung φ : V → V . Der Eigenraum $\displaystyle E(\lambda )$ zum Eigenwert $\displaystyle \lambda$ a von φ  ist dann....   usw.

Eigenraum lass ich mal aussen vor, das kriegen wir später.. wink

Und es fällt dann der begriff Kern, den ich verstehe als untergruppe des quellvektorraums der auf den Null vector abgebildet wird. Ist das richtig?
Sowie ein charakteristisches polymnom ich weiss was das ist, brauch ich hier nicht wiederholen.
ich verstehe auch Endomorphismus. es wird also keine injektivität oder surjektivität gefordert oder?

Dankenswerterweis kann ich was lattex noch von früher. Super dass das hier geht!
Aber wie berechne ich meinetwegen den Kern von

$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
0 & 1 & 2\\
1 & -1 & 3
\end{pmatrix}$

und wie steht der Kern mit dem Eigenwert im zusammenhang_
Danke im vorraus so einfältig bisst du nicht#:)








\(\endgroup\)


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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-02-21

\(\begingroup\)
Ein typischer Algorithmus:
1. Bestimme das charakteristische Polynom der Matrix
2. Bestimme dessen Nullstellen. Diese sind die Eigenwerte der Matrix. Die algebraische Vielfachheit eines Eigenwerts ist die Vielfachheit der Nullstelle. Eine $k$-fache Nullstelle entspricht also einem Eigenwert der algebraischen Vielfachheit $k$.
3. Für jeden konkreten Eigenwert $\lambda$ der Matrix lässt sich ein (homogenes) LGS aufstellen. Bspw. in der Form $(A-\lambda \cdot E)x=0$.
4. Die Eigenvektoren zum Eigenwert $\lambda$ sind dann die Basis der Lösungsmenge dieses LGS. Also die Basis des Kerns der Matrix $(A-\lambda \cdot E)$.


Die konkrete Berechnung des Kerns erfolgt bspw. mittels Gauss-Algorithmus oder eines beliebig anderen Verfahrens zur Lösung linearer Gleichungssysteme.


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Heinerich
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-21

\(\begingroup\)
2018-02-21 12:12 - Heinerich in Beitrag No. 5 schreibt:
...


an

$\begin{pmatrix}
1-lamda & 2 & 3\\
0 & 1-lamda & 2\\
1 & -1 & 3-lamda
\end{pmatrix}$ sehe ich natürlich das das augerechnete ch. poly sry kürze jetz mal ab, muss gleich los, eine doppelte Nullstelle 1 hat, und daraus folgt nochmal bitte was?? ich brauch das langsam..





\(\endgroup\)


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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-02-21

\(\begingroup\)
Also ich sehe das nicht. :(
Das charakteristische Polynom entspricht i.A. nur dann dem Produkt der Hauptdiagonale, wenn die Matrix in Dreiecksform vorliegt!


Das charakteristische Polynom ist die Determinante der Matrix $(A-\lambda E)$ und diese ergibt (falls ich mich nicht verrechne) nach Sarrus
$(1-\lambda)(1-\lambda)(3-\lambda)-(1-\lambda)+4$

Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind laut Wolfram-Alpha etwa

$\lambda_1 \approx 3.845$
$\lambda_2 \approx 0.577 + 1.108i$
$\lambda_3 \approx 0.577 - 1.108i$

Wir haben also 3 Nullstellen einfacher Vielfachheit und können jetzt zu jedem gefundenen Eigenwert seinen Eigenvektor berechnen.

Edit:
Exemplarisch der Eigenvektor zum reellen Eigenwert:
$x_1=(1.549,0.703,1)^T$

Du kannst nachprüfen, dass $A \cdot x_1 \approx 3.845 x_1$ gilt.



Noch einmal zurück zum Verständnis:
Wir suchen nichttriviale Lösungen der Gleichung $Ax = \lambda x$.
Umstellen ergibt $(A-\lambda E)x = 0$.
Das ist ein homogenes LGS.
Dieses hat genau dann nichttriviale Lösungen, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix $0$ ergibt.
Also setzen wir
$\det(A-\lambda E) = \mathcal{X}_A(\lambda) = 0$


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Heinerich
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-21

\(\begingroup\)
Ja ich versteh,
gibt es eine automatisierung der Diagonalisierung von Matritzen dieser quadratischen Art im Net?
Und unterschied geometrische und algebraische Vielfachheit sind noch nicht klar.(mir  cool )
muss es wohl nocvh paarmal lesen.
Oh ich sehe ich werde überwacht der Titel wurde vone einem Big Brother geändert. das ist fein mit mir.

Es wäre für den kern also $\left(
 \begin{matrix}
1 & 2 & 3\\
0 & 1 & 2\\
1 & -1 & 3
 \end{matrix}
 \left|
  \begin{matrix}
   0\\
   0\\
   0
  \end{matrix}
 \right.
\right)$ zu lösen? wenn die Spalten linear unabhängig sind kann da nur $\vec a=\{0 0 0\}$  rauskommen oder
\(\endgroup\)


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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-02-21

\(\begingroup\)
Nein. Du suchst den Kern der Matrix $(A-\lambda_i E)$ zum Eigenvektor $\lambda_i$.

Der Kern der Ausgangsmatrix entspricht u.U. dem Eigenraum zum Eigenvektor $0$. Deine Matrix hat allerdings keinen Eigenwert $0$.


Lies am Besten noch einmal den letzten Abschnitt meines vorhergehenden Posts.


PS.:
Im vorangehenden Post habe ich natürlich einen Bock geschossen:
Zum Ablesen des charakteristischen Polynoms anhand der Hauptdiagonale reicht natürlich die Dreiecksform bereits aus.


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Heinerich
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-21

\(\begingroup\)
Ja mir fiel noch was anderes zum Thema Eigenvektor ein:

sei $\vec a$ ein Eigenvektor zur regulaeren Matrix $\displaystyle\mathbb A$ und seien fürderhin  $\varphi, \alpha$ skalare.

so gilt $A*\vec a=\varphi*\vec a$ ist das richtig?
Dann aber auch
$A*\alpha\vec a=\alpha\varphi*\vec a$ oder nicht? ich habe die skalarmultiplakion mit reingezogen darf man das?
Also gibt es nicht DEN Eigenvektor ! sondern nur eienen Erzeugenden $\displaystyle\vec a$ eines Unterraums und das nennt man dann den Eigenraum?
Oder schmeiss ich alles durcheienander wahrscheinlich wie ich mich kenne.
vielen Dank, das ist hilfreicher als eine Privatstunde bein Pa.. professor..
HHB
\(\endgroup\)


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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-02-21

\(\begingroup\)
Der Eigenvektor lässt sich beliebig skalieren. Das stimmt.
Er ist also Erzeuger eines Eigenraumes.

Deine Gleichungen stimmen so allerdings nicht.

Sei $\vec{a}$ Eigenvektor der Matrix $A$ zum Eigenwert $\lambda$.

Dann gilt $A \vec{a} = \lambda \vec{a}$.
Jeder Eigenvektor $\vec{a}$ wird genau auf sein $\lambda$-faches skaliert.
Für einen beliebigen Skalar $\psi$ gilt allerdings auch aufgrund der Linearität $A\psi\vec{a} = \lambda\psi\vec{a}$


Als einfache Matrix zum Probieren und um sich mit Vielfachheiten auseinanderzusetzen könntest du dich mal bspw. an folgender versuchen:

fed-Code einblenden

Diese Matrix hat reelle, leicht zu bestimmende Eigenwerte.
Das Eigenwertproblem lässt sich hieran also wesentlich besser bearbeiten als an obiger Matrix.


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Heinerich
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-21

\(\begingroup\)
2018-02-21 19:00 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 12 schreibt:

Für einen beliebigen Skalar $\psi$ gilt allerdings auch aufgrund der Linearität $A\psi\vec{a} = \lambda\psi\vec{a}$


Als einfache Matrix zum Probieren und um sich mit Vielfachheiten auseinanderzusetzen könntest du dich mal bspw. an folgender versuchen:

fed-Code einblenden

OK morgen.
aber meine Linearitäts formel entspricht Deiner bis auf die griechischen Lettern, egal ich hab das begriffen.
Man hört sich
\(\endgroup\)


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Heinerich
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-22

\(\begingroup\)
2018-02-21 23:36 - Heinerich in Beitrag No. 13 schreibt:

fed-Code einblenden


Determinate ist 2, damit invertierbar und regulär.
Ch. Poly =$(1-\lambda)(1-\lambda)(2-\lambda)$ Nullstellen 1 und 2 eine doppelte Nullstelle 1. Wir haben 2 eigenwerte 1 und 2.

"Du suchst den Kern der Matrix $(A-\lambda_i E)$ zum Eigenvektor $\lambda_i$."
also folgende $\begin{pmatrix}
1-\lambda & 1 & 0\\
0 & 1-\lambda & 0\\
0 & 0 & 2-\lambda
\end{pmatrix}$

mal $\vec a$ soll (0,0,0) ergeben, was genau das Charakteristische Polybom als zu lösende Gleichung 3ten Grades ergibt, ich widerhole mich irgendwie..

Die algebraische vielfachheit des eigenwerts 1 ist 2! Aber was sagt uns das konkret??

bleibt noch Punkt 3 und 4 deines statements oben.. suche immer noch internet algorithmn dafür bin faul...
jedenfalls Bis dahin richtig?
was ist mit der geometrischen vielfachheit ?
Dank im vorraus
\(\endgroup\)


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Chandler
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2018-02-22


2018-02-22 07:54 - Heinerich in Beitrag No. 14 schreibt:
bin faul...

Daran solltest du zuerst arbeiten. Mathematik ist Arbeit und kann dir nie auf dem Silbertablett serviert werden.



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2018-02-22

\(\begingroup\)
2018-02-22 07:54 - Heinerich in Beitrag No. 14 schreibt:

"Du suchst den Kern der Matrix $(A-\lambda_i E)$ zum Eigenvektor $\lambda_i$."
also folgende $\begin{pmatrix}
1-\lambda & 1 & 0\\
0 & 1-\lambda & 0\\
0 & 0 & 2-\lambda
\end{pmatrix}$

Die algebraische vielfachheit des eigenwerts 1 ist 2! Aber was sagt uns das konkret??

bleibt noch Punkt 3 und 4 deines statements oben.. suche immer noch internet algorithmn dafür bin faul...
jedenfalls Bis dahin richtig?


Soweit schaut das ganz gut aus.
Jetzt setze deine gefundenen Eigenwerte ein und löse die resultierenden LGS.

Also bspw. für den Eigenwert 2 das LGS

$\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 0\\
0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0\\
0\\
0
\end{pmatrix}$

Die Lösungsmenge ist der Eigenraum zum Eigenwert 2.

Anschließend gehe analog vor für den Eigenwert 1.

Die Dimension des jeweils gefundenen Eigenraums ist dann die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts. Sie ist immer größer/gleich 1 und kleiner/gleich der algebraischen Vielfachheit.


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Heinerich
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-22

\(\begingroup\)
2018-02-22 09:19 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 16 schreibt:

Die Lösungsmenge ist der Eigenraum zum Eigenwert 2.

Anschließend gehe analog vor für den Eigenwert 1.

Die Dimension des jeweils gefundenen Eigenraums ist dann die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts. Sie ist immer größer/gleich 1 und kleiner/gleich der algebraischen Vielfachheit.

Ja macht sinn wenn bei 3 Nullstellen eine doppelt ist, dann ist die algebraischen Vielfachheit von dieser $=2=\alpha$.
Die geometrische Vielfachheit zu diesem Eigenwert $\alpha$ kann dann nur $\beta\ge 1,\beta\le\alpha$ sein, also hier 1 oder 2.
Ich rechne es aus ok..
Ich will aber nichts überspringen
Obwohl Zahlenergebnisse nicht soo interessant sind, sagte mein Prof! Existiert eine Lösung ist die Hauptfrage sagt er.
Ich verstehe aber immer noch nicht worauf das hinausläuft...

\(\endgroup\)


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cis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2018-02-23


2018-02-21 10:12 - Heinerich im Themenstart schreibt:
Bitte keine formeln wenn s geht nur Prosa für dummys.

<math>\textcircled{\footnotesize{1}}</math> Bei Funktionen des Typs <math>f(x)</math> sind gelegentlich, mit dem Ansatz <math>f(x) = 0</math>,  die Nullstellen gesucht; eine ganz ähnliche Aufgabenstellung ist die Suche nach <math>x</math>-Werten,  die mit ihrem Funktionswert übereinstimmen, für die  also <math>f(x) = x</math>  gilt (Fixpunktproblem).

<math>\textcircled{\footnotesize{2}}</math> Das Fixpunktproblem macht auch bei linearen Abbildungen Sinn: Ist <math>A</math> die Abbildungsmatrix, so weisen alle Vektoren <math>\vec{s}</math> (Fixpunktvektor), für die <math>A \, \vec{s} = \vec{s}</math> gilt, auf Fixpunkte, d.h. sie werden auf sich selbst abgebildet bzw. bleiben von der Abbildung unberührt.

<math>\textcircled{\footnotesize{3}}</math> Nun könnte man einen Schritt weiter gehen und fragen, ob es auch Vektoren <math>\vec{v}</math> gibt, die zwar nicht auf sich selbst abgebildet werden, aber zumindest richtungsgleich, also parallel zu ihrem Urbild abgebildet werden. Hier wäre der Ansatz also  <math>A  \, \vec{v} = \lambda \cdot \vec{v}</math>, wobei <math>\vec{v}</math> Eigenvektor und <math>\lambda</math> Eigenwert genannt wird.


-----------------
Wenn man alles ausgeschaltet hat, was unmöglich ist, bleibt am Ende etwas übrig, das die Wahrheit enthalten muß - mag es auch noch so unwahrscheinlich sein...
(Sherlock Holmes)
·



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Heinerich
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2018-02-23 03:47 - cis in Beitrag No. 18 schreibt:
2018-02-21 10:12 - Heinerich im Themenstart schreibt:
Bitte keine formeln wenn s geht nur Prosa für dummys.

<math>\textcircled{\footnotesize{3}}</math> Nun könnte man einen Schritt weiter gehen und fragen, ob es auch Vektoren <math>\vec{v}</math> gibt, die zwar nicht auf sich selbst abgebildet werden, aber zumindest richtungsgleich, also parallel zu ihrem Urbild abgebildet werden. Hier wäre der Ansatz also  <math>A  \, \vec{v} = \lambda \cdot \vec{v}</math>, wobei <math>\vec{v}</math> Eigenvektor und <math>\lambda</math> Eigenwert genannt wird.
Ja danke ich sagte ja schon, an sich gibt es nicht DEN Eigenvektor immer nur Unterräume.
Lustigerweise benutzen die Amis dasselbe Wort "Eigenwert", es müsste doch an sich selfi vector heissen lol (sind kleine witzchen erlaubt?), naja der war nicht so doll..
Erstaunliche Latex kenntnisse der Mann!
HHB




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Heinerich hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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