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Lineare Algebra » Determinanten » Determinante 0
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Ausbildung J Determinante 0
Heinerich
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-02-22

\(\begingroup\)
Ich las in meinen Unterlagen

Der Kern der Matrix  $\begin{pmatrix}
-8 & -16 && -24 \\
28 & 56 & 84\\
1 &2 &3 \end{pmatrix}$


lautet (0;0;0), da der Rang 1 ist.
Das leuchtet ein

Ist also die Basis des Kerns auch null?
sicherlich oder nicht?

Aber was kann man bei matritzen aussagen, deren Determinante 0 ist?
Danke HHB
\(\endgroup\)


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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-02-22

\(\begingroup\)
Ist die Determinante 0, so besteht der Kern nicht nur aus dem Nullvektor.

Der Kern ist auch nicht $(0,0,0)^T$, sondern die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.
Die nichttrivialen Lösungen der Gleichung $Ax=0$ sind Erzeuger des Kerns.


-----------------
Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -
\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-02-22

\(\begingroup\)
2018-02-22 07:25 - Heinerich im Themenstart schreibt:
1. Der Kern der Matrix lautet (0;0;0), da der Rang 1 ist.
Das leuchtet ein

2. Ist also die Basis des Kerns auch null?
sicherlich oder nicht?

3. ... matritzen ...

Hallo Heinerich,

1. Edit: Hier stand Mist. Siehe DerEinfaltige.

2. Wenn (0;0;0) das einzige Element des Kerns wäre, dann wäre der Kern gleich \(\{(0;0;0)\}\). Die Basis des Kerns wäre dann die leere Menge.

3. ... Matrizen ...
\(\endgroup\)


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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-02-22

\(\begingroup\)
Tatsächlich ist der Kern sowas wie $\{(x,y,z)^T | x+2y+3z=0\}$.
Eine mögliche Basis wäre $\{(2,-1,0)^T,(3,0,-1)^T\}$.


-----------------
Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -
\(\endgroup\)


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Heinerich
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-22


Eine Determinante 0 bedeutet ein unterbestimmtes GLS mir rang kleiner Dimensionm ist das richtig und der Eigenraum eines EW mindestens 2 dimensional ist das richtig ?



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freeclimb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-02-22


2018-02-22 17:57 - Heinerich in Beitrag No. 4 schreibt:
Eine Determinante 0 bedeutet ein unterbestimmtes GLS mir rang kleiner Dimensionm ist das richtig und der Eigenraum eines EW mindestens 2 dimensional ist das richtig ?

Der erste Teil des Satzes ist kaum zu entschlüsseln, vielleicht meinst du das richtige, genau kann man das aber nicht sagen.
Wie kommst du darauf, dass die Diemension eines Eigenraums mindestens 2sein muss?

Die Matrix <math>\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0& 0& 0\\ 0&0&2\end{pmatrix}</math> hat Determinante <math>0</math>, also auch nicht vollen Rang, die Eigenräume sind alle eindimensional und entsprechen den Koordinatenachsen. Die Eigenwerte stehen auf der Hauptdiagonalen. Hilft das?


-----------------
Die Beherrschung der Arithmetik, Herr Kollege, ist keine Frage der Überheblichkeit, hätte ich gedacht.

(A.v.d.B.)



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Heinerich
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-23

\(\begingroup\)
2018-02-22 21:36 - freeclimb in Beitrag No. 5 schreibt:

Der erste Teil des Satzes ist kaum zu entschlüsseln, vielleicht meinst du das richtige, genau kann man das aber nicht sagen.
Wie kommst du darauf, dass die Diemension eines Eigenraums mindestens 2 sein muss?

Die Matrix <math>\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0& 0& 0\\ 0&0&2\end{pmatrix}</math> hat Determinante <math>0</math>, also auch nicht vollen Rang, die Eigenräume sind alle eindimensional und entsprechen den Koordinatenachsen. Die Eigenwerte stehen auf der Hauptdiagonalen. Hilft das?

Dimension des Lösungsunterraum ist mindestens 1 bei unterbestimmten Lgs, meinte ich...
Also allgemein geometrisch gesehen ist die Lösung ein Punkt, eine Gerade oder Ebene, abhängig vom Rang ja? Oder eine Kategorie:Vektorraum der Dimension $n-r$ mit den linearen Abbildungen als Morphismen. Gleichzeitig auch eine geometrische (topologische) Kategorie mein ich, aber das lass ich erst mal.
Das hatten wir in der Oberstufe Gumminasium schon, oder hab ich irgendwo gelsen.
 
Also die Lösung des Systems bspielsweis
$\left(
 \begin{matrix}
  1 & 1 & 0 \\
  0 & 1 &  0 \\
  0 & 0 &  1
 \end{matrix}
 \left|
  \begin{matrix}
   1\\
1\\
   2
  \end{matrix}
 \right.
\right)$, ist zu fuss mit Gauss Algorithmus= $\vec a=\begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$. Stimmt das?

Also hier eien einzelner Vector.

Es ist oft nicht  nur EIN Vektor, sondern abhängig von (n-r). was hier 0 ist. Darauf wies der Prof verschärft hin das würde er bei einer Prüfung genau abverlangen.

Betrachten wir: $\begin{pmatrix} 1 & 1 &0 \\ 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$, mit n=r =3.
Mittels des charakteristischen Polynoms bekommen wir, da es sich ja um eine rechtsdreieckmatrix handelt:

Eigenwerte $\lambda1=1,\quad\lambda2=2,\quad\lambda3=1$.

Eigenvektoren zu $\lambda1: \vec a =  ⎝1,0,0)$
Eigenvektoren zu $\lambda2: \vec b =  ⎝0,0,1)$
Eigenvektoren zu $\lambda3: \vec c =  ⎝1,0,0)$

Letzteres habe ich aus www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/eigenmatrix.htm

wegen der doppelten Nullstelle 1 des charakteristischen Polynoms
$f(x)=(1-\lambda)(1-\lambda)(2-\lambda)$ ist die algebraische Vielfachheit des EW $\lambda1 =1 =2$. Blöd ausgedrückt irgendwie. es wid also eine Zahl, hier ew 1  auf eine andere zahl abgebidet so sehe ich das. man könnte sagen $a(1)=2$
Die geometrische Vielfachheit hab ich noch nicht begriffen obwohl ich gestern was anderes behauptete Pardong.. geo(vektor) ist ein Vektorraum oder wie?
Ist die geometrische Vielfachheit ein Vektorraum oder eine Menge oder eine Topologie? also von Topologie hab ich 0 ahnung aber weiss wie man s schreibt;)
Dannn hätten wir eine Beziehung verschieden artiger Kategorien gefunden, ist das richtig. Diesen Satz müsst ihr euch hinter jeder meiner Sätze vorstellen...
ich sehe den Zusammenhang nicht.. alg-geo..
naja deswegen bin ich ja hier nochmal dank für eure Geduld smile
Ich muss das mehrmal editieren und komme da in hektik weil ich fehler oft später sehe wenn es schon ein dutzend oder 100r  biggrin leute lasen, das ist ein Problem..naja um diese Zeit..
HHB

\(\endgroup\)


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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-02-23


2018-02-23 05:00 - Heinerich in Beitrag No. 6 schreibt:

Ist die geometrische Vielfachheit ein Vektorraum oder eine Menge oder eine Topologie?


Die geometrische Vielfachheit ist genau wie die algebraische eine natürliche Zahl.
Sie gibt die Dimension des zum Eigenwert gehörenden Eigenraumes an.


Ansonsten zwei allgemeine Tipps:
- Ich merke mir Dinge wesentlich schneller, wenn ich sie selbst an Beispielen nachrechne. Ob es sinnvoll ist, sich für eine Aufgabe ein Script zu suchen, die selbst schlechte Grundkursschüler mühelos und schnell lösen könnten, erscheint daher zumindest mir fraglich.
Auch ein Dozent, der auf konkrete Rechnungen weniger Wert legt denn auf qualitativ richtige Aussagen, wird von dir erwarten, dass du mehr oder weniger triviale Rechnungen wie im Beispiel schnell und fehlerfrei durchführen kannst.
- Die meisten deiner Fragen (bspw. jene nach dem Unterschied algebraische Vielfachheit/geometrische Vielfachheit) könnte Tante Google wesentlich schneller beantworten als jedes Forum menschlicher Helfer. LMGTFY


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Heinerich
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-23


Ok ...
Deiner Antzwort entnehme ich
1) meine Aussagen sind wohl richtig.
2) du bist genervt dann sorry

ist das so?

Gerade der Bezug zu Kategorien interessiert mich und worauf es denn nun hinausläuft?
Ich fand noch ein youtube über Diagonalisierbarkeit:
www.youtube.com/watch?v=FEGL0xo45ME
oder hier auch schon mal diskutiert:

matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=167043
und anderswo


wir können das auch abschliessen wenn du nicht mehr magst..

Das selbst berechnen von EW s und EV s kann ich wohl beherrschen nach deiner guten Erklärung!
Jedoch scheint mir da noch eine interessantere Gesetzmäßigkeit von Wichtigkeit zu folgern, oder?

Danke
HHB







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Heinerich
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-23

\(\begingroup\)
2018-02-22 10:16 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 3 schreibt:
Tatsächlich ist der Kern sowas wie $\{(x,y,z)^T | x+2y+3z=0\}$.
Eine mögliche Basis wäre $\{(2,-1,0)^T,(3,0,-1)^T\}$.

Den Beitrag hab ich überhaupt nicht verstanden.. mögliche basis vom Kern ? von was ? woher hast du $\{(x,y,z)^T | x+2y+3z=0\}$ ist das eine teilungsformel  confused
danke trotzdem
HHB

\(\endgroup\)


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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-02-23

\(\begingroup\)
2018-02-23 14:13 - Heinerich in Beitrag No. 9 schreibt:
2018-02-22 10:16 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 3 schreibt:
Tatsächlich ist der Kern sowas wie $\{(x,y,z)^T | x+2y+3z=0\}$.
Eine mögliche Basis wäre $\{(2,-1,0)^T,(3,0,-1)^T\}$.

Den Beitrag hab ich überhaupt nicht verstanden.. mögliche basis vom Kern ? von was ? woher hast du $\{(x,y,z)^T | x+2y+3z=0\}$ ist das eine teilungsformel  confused


Rechne es am Besten nach.

Es gilt per Definition $\ker(A) = \{x | Ax =0\}$.
Setze also $Ax=0$ und löse das (homogene) LGS.
Der Kern von $A$ ist nichts anderes als die Lösungsmenge dieses homogenen, linearen Gleichungssystems.

Im konkreten Fall also die oben genannte Ebene bzw. als Basis ein Satz passender "Richtungsvektoren".


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Heinerich
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-23

\(\begingroup\)
2018-02-23 14:44 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 10 schreibt:
2018-02-23 14:13 - Heinerich in Beitrag No. 9 schreibt:
2018-02-22 10:16 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 3 schreibt:
Tatsächlich ist der Kern sowas wie $\{(x,y,z)^T | x+2y+3z=0\}$.
Eine mögliche Basis wäre $\{(2,-1,0)^T,(3,0,-1)^T\}$.

Den Beitrag hab ich überhaupt nicht verstanden.. mögliche basis vom Kern ? von was ? woher hast du $\{(x,y,z)^T | x+2y+3z=0\}$ ist das eine teilungsformel  confused


Rechne es am Besten nach.

Es gilt per Definition $\ker(A) = \{x | Ax =0\}$.
Setze also $Ax=0$ und löse das (homogene) LGS.
Der Kern von $A$ ist nichts anderes als die Lösungsmenge dieses homogenen, linearen Gleichungssystems.

Im konkreten Fall also die oben genannte Ebene bzw. als Basis ein Satz passender "Richtungsvektoren".

axo
Das homogene GLS


$\left(
 \begin{matrix}
  1 & 1 & 0 \\
  0 & 1 &  0 \\
  0 & 0 &  1
 \end{matrix}
 \left|
\begin{matrix}
0  \\
0 \\
0
\end{matrix}
 \right.
\right)$, um den Kern von $A$ zu ermitteln.
liefert  $\{(x,y,z)^T | x+2y+3z=0\}$.

$x+2y+3z=0$  ist eine Ebenengleichung im $\mathbb R^3$ In Normalform.

also alle Ortsvektoren der Art $\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix}$, in denen $x+2y+3z=0$ ist, z.B. auch $(1,1,-1)$ oder $(3,-3,1)$, die man als Basis eines 2 dimensionaen VR auffassem kann sofern sie linear unabhängig sind was sie per Formel ja sein müssen.

Der $Ker(A)$ hat die Dimension 2 und damit ist 2 die geometrische Vielfachheit zum EW 1. ist das richtig dann können wir schliessen.
Letzlich es ein interessanter Zusammenhang von Vektorräume und affinen Räumen. das fällt aber ins nächste semester analytische Geometrie
Danke !!
wo muss ich zahlen biggrin
Hoffe ich kann auch mal Fragen beantworten, habe oft bei gutefrage.de mit gelesen und schrieben
Bye






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Heinerich hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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