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Mathematik » Analysis » Beste Approximation
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Universität/Hochschule Beste Approximation
grezebeze
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-02-22

\(\begingroup\)
Hallo,

eine Frage zur best approximierenden Funktion im Skalarproduktraum $(\mathcal{C}[-\pi,\pi],\Vert\cdot\Vert_2) $. Es soll für jede ungerade Funktion, d.h. $f(-x)=-f(x)$ die best approx. Funktion ermittelt werden. Dabei ist gegeben:
$U=\text{span}(g_1,g_2,g_3) $ $g_1(x):=x $  $\displaystyle g_2(x):=\frac{1}{\sqrt{\pi}}cos(x) $  $\displaystyle g_3(x):=\frac{1}{\sqrt{\pi}} cos(2x) $
Ich habe schon geklärt, dass es sich bei U um ein Orthogonalsystem handelt. Nun zu meinen Fragen:
(a) Wie begründet man, dass U ein abgeschlossener aber nicht kompakter Unterraum ist?
(b) Warum ist sichergestellt, dass es zu jeder Funktion $f$ aus $\mathcal{C}[-\pi,\pi]$ genau eine Funktion $g^{\ast}$ aus U gibt, die den Abstand $\Vert f-g\Vert_2$ auf U minimiert?
Zu (a) Um nichtkompaktheit zu zeigen, muss wohl gezeigt werden, dass U nicht beschränkt ist.
Zu (b) Ist das nicht so, weil $U$ abgeschlossen ist? Oder geht hier noch etwas anderes ein?.

Mfg
grezebeze
\(\endgroup\)


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grezebeze
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-23


Hm hab ich irgendetwas unverständlich wiedergegeben oder kann mir hier wirklich keiner weiterhelfen?



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darkhelmet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-02-23


2018-02-23 08:30 - grezebeze in Beitrag No. 1 schreibt:
Hm hab ich irgendetwas unverständlich wiedergegeben oder kann mir hier wirklich keiner weiterhelfen?

Es ist eher so, dass nicht klar ist, dass du wirklich Hilfe brauchst.

Zu (a) hast du gar keine Frage, sondern eine Beweisidee. Was hindert dich daran, daraus selbst einen Beweis zu machen und zu überprüfen, ob er korrekt ist?

Bei der (b) könntest du ebenfalls deinen Beweis mit der Abgeschlossenheit erstmal führen. Kann gut sein, dass du hier die falsche Idee hast, aber es besteht die Chance, dass du das selbst erkennst. Das ist ein viel größerer Lerneffekt, als wenn ich eine Vermutung anstelle, was du meinst, und dir erkläre, warum es nicht geht.



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ReimerBruechmann
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Mitteilungen: 57
Aus: Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-02-23

\(\begingroup\)
Hallo grezebeze,

ergänzend zum Beitrag von darkhelmet könntest Du versuchen, eine Folge von Funktionen $(f_k(x))_k=(a_kx+\frac{b_k}{\pi}\cos x+\frac{c_k}{\pi}\cos (2x))_k$ nur für eine Stelle $x=x_0$ zu betrachten. Dann liegt das Problem der Kompaktheit für eine Punktmenge vor.

Der Approximationssatz wurde in Satz 21.2, Heuser, Funktionalanalysis, bewiesen. Hier wird nicht nur Abgeschlossenheit verlangt sondern auch Konvexität, die allerdings für abgeschlossene Unterräume gegeben ist. Das Problem ist offensichtlich, die Eindeutigkeit zu zeigen. Andererseits kann man sich aber auch die Herleitung der Besselschen Ungleichung anschauen, um hier Einblicke zu erhalten.

Gruß Reimer
\(\endgroup\)


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