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Mathematik » Numerik & Optimierung » Stabilität durch Eigenwertbetrachtung
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Universität/Hochschule Stabilität durch Eigenwertbetrachtung
Banacho
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-02-22

\(\begingroup\)
Hallo,
in einem Paper wird die Stabilität eines Verfahrens der Form
\(U^{m+1} = A \cdot U^m\) untersucht indem folgende Gleichung betrachtet wird:
\[U_1^{m+1} - U_2^{m+1} = A \cdot (U_1^m - U_2^m)\] \[U_1^{m+1}-U_2^{m+1} = A^m \cdot (U_1^0 - U_2^0)\] wobei \(U_1^0\) und \(U_2^0\) zwei verschiedene Startwerte sind.
In dem Paper wird nun gesagt, dass das Verfahren stabil ist, wenn der betragsmäßig größte Eigenwert der Matrix A kleiner als 1 ist. Im skalaren Fall klingt das für mich logisch, aber in diesem Fall verstehe ich nicht, warum wir die Eigenwerte betrachten können. Die Norm der Matrix gegen den Eigenwert abzuschätzen bringt uns ja nichts, da der Eigenwert kleiner als die Norm ist.

Gruß Banacho
\(\endgroup\)


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Regmorus
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Mitteilungen: 50
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-02-24


Hallo Banacho,

ich äußere mal vorsichtig eine Vermutung, wobei ich sofort gestehen muss, dass ich mir keine Mühe gemacht habe, zu verstehen, wie genau das dargestellte Verfahren funktioniert. Jedoch habe ich einen starken Verdacht, dass der Hinweis dir trotzdem weiterhilft, da die Fragestellung mich einfach sofort an ein einziges Ding denken lässt, obgleich dies auch durchaus ein Irrtum sein könnte.

Versuche vielleicht herauszufinden, was der Spektralradius der Matrix kleiner als Eins für die Stabilität des Verfahrens bedeutet. Also Stichwort: Spektralradius kleiner Eins, der betragsgrößte Eigenwert ist der Spektralradius (also wird nicht über Eigenwerte argumentiert sondern darüber und das ist was anderes),über ihn hat man viele schöne Aussagen, vllt. ist auch über Stabilität in diesem Fall etwas dabei.

Gruß
Reg Morus



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Carmageddon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.12.2009
Mitteilungen: 580
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-02-25


2018-02-22 13:11 - Banacho im Themenstart schreibt:
Hallo,
in einem Paper wird die Stabilität eines Verfahrens der Form
<math>U^{m+1} = A \cdot U^m</math> untersucht [...]
In dem Paper wird nun gesagt, dass das Verfahren stabil ist, wenn der betragsmäßig größte Eigenwert der Matrix A kleiner als 1 ist.

Hallo Regmorus,

das ist ein Resultat aus der Konvergenztheorie von linearen Iterationsverfahren der Form <math>x^{k+1} = M x^{k} + c</math>, wobei <math>x^k,c \in \IR^n</math> und <math>M \in \IR^{n \times n}</math> die Iterationsmatrix ist.

Das Resultat lautet:

Das Iterationsverfahren <math>x^{k+1} = M x^{k} + c</math> ist genau dann für alle Startwerte <math>x^0</math> konvergent, wenn für alle Eigenwerte <math>\lambda</math> von <math>M</math> gilt, dass <math>|\lambda| < 1</math>.


Hiermit lässt sich mit der Dreiecksungleichung nun auch Stabilität folgern. Man kann das ganze auch mathematisch präzise mithilfe von Spektralradius, Matrixnormen und Fixpunktsätzen formulieren. Schaue hierzu einfach mal in ein Numerikbuch deiner Wahl.

lg


-----------------
Zitat: "Es gibt einen Beweis aus der Physik: Er ist kurz, er ist elegant... und falsch"



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