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Mathematik » Stochastik und Statistik » Mittlere Entfernung eines Punktes zu einer Kugeloberfläche
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Universität/Hochschule Mittlere Entfernung eines Punktes zu einer Kugeloberfläche
flar2
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 07.05.2013
Mitteilungen: 15
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-02-22


Sehr geehrte Teilnehmer,

Bei der Lösung folgender Frage brauche ich Hilfe: Ich habe eine Kugel mit Mittelpunkt M und Radius K. Desweiteren habe ich einen festen Punkt Q innerhalb oder ausserhalb der Kugel. Der Abstand von Q zu M sei mit r gegeben. Jetzt hat der Punkt Q zu jedem Punkt X der Kugeloberfläche eine Entfernung und ich interessiere mich für den Mittelwert bzw den Erwartungswert dieser Entfernungen, wenn alle Entfernungen gleich wahrscheinlich sind. Für eine Antwort oder einen Lösungsansatz wäre ich sehr dankbar.

Viele Grüsse,

Ralf



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wladimir_1989
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1076
Aus: Freiburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-02-22

\(\begingroup\)
Hallo flar2,

Wegen der Symmetrie, können den Mittelpunkt der Kugel in den Ursprung legen und den Punkt \(Q\) auf die z-Achse. Damit haben wir \(Q=(0,0,r)\). Nun können  wir jeden Punkt auf der Kugeloberfläche in Kugelkoordinaten schreiben. Also \(X=(K\sin(\theta)\cos(\phi),K\sin(\theta)\sin(\phi),K\cos(\theta))\). Versuche nun den Abstand zwischen Q und X als Funktion von \(\theta\) zu schreiben.


lg Wladimir
\(\endgroup\)


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flar2
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 07.05.2013
Mitteilungen: 15
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-23


Hallo Wladimir,

vielen Dank für Deine Hilfe. Ich erhalte jetzt den Mittelwert

K + r^2/(3K) für r < K

und

r + K^2/(3r) für r > K

Für r = K sind beide Ausdrücke gleich.



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flar2
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 07.05.2013
Mitteilungen: 15
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-23


Mein Ergebnis macht mich aber schon wieder stutzig. Kann ich innerhalb der Kugel eine grössere mittlere Entfernung als den Kugelradius erwarten? Ich habe die Entfernung von Q und Oberflächenpunkt X über alle Oberflächenelemente integriert und gemittelt. Ist diese Vorgehensweise richtig?



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TomTom314
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 800
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-02-23


Hallo flar2,

wenn Du zwei Punkte (a,b), (-a,-b) und einen weiteren (x,0) auf der x-Achse nimmst, ist die Summe der Abstände für x=0 minimal. Daher sollte auch der mittlere Abstand für r=0 das Minimum annehmen.

Rein subjektiv hätte ich für r<K und r>K keine verschiedenen Formeln erwartet - zumindest machen mich die unterschiedlichen Potenzen von r stutzig.



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wladimir_1989
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1076
Aus: Freiburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-02-23


Hallo,
das Ergebnis sieht falsch aus. Der mittlere Abstand sollte einfach r sein. Kannst du bitte deine Rechnung hier posten.

lg Wladimir



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StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 4194
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-02-23


2018-02-22 17:04 - flar2 im Themenstart schreibt:
ich interessiere mich für den Mittelwert bzw den Erwartungswert dieser Entfernungen, wenn alle Entfernungen gleich wahrscheinlich sind

Hallo flar2,

meinst du das wirklich so? Falls ja: Berechne die größt- und kleinstmögliche Entfernung max bzw. min. Der EW ist dann (min + max)/2.



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TomTom314
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 800
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-02-23

\(\begingroup\)
Hallo StrgAltEntf & Wladimir,

den Ansatz
\[E(r)=\frac{1}{4\pi K^2}\int_{\partial B}||x-(r,0,0)||dx\] von flare2 halte ich schon für richtig. Diesen kann ich mit euren beiden letzen Antworten aber nicht in Verbindung bringen. Die Dreiecksungleich \(||2x||\leq ||x-(r,0,0)||+||-x-(r,0,0)||\) zeigt schon, dass \(E(r)>E(0)=K\) für \(r\neq 0\) gilt.
\(\endgroup\)


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wladimir_1989
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1076
Aus: Freiburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-02-23

\(\begingroup\)
Hallo TomTom314,

ich glaube das Problem ist hier, dass dieses Integral nicht der Definition des Erwartungswertes entspricht. Der Erwartungswert einer Größe \(s\) mit der Verteilungsdichte \(\rho(s)\) verteilt in einem Intervall I ist doch \(E(s)=\int_Is\rho(s)\text{d}s\). Hier wäre \(s=\sqrt{r^2+K^2-2rK\cos(\theta)}\), \(\rho(s)=\frac{1}{2K}\) und \(I=\left[r-K,r+K\right]\). Wir können direkt über s integrieren und erhalten \(E(s)=\frac{1}{2K}\int_{r-K}^{r+K}s\text{d}s=\frac{1}{4K}\left((r+K)^2-(r-K)^2\right)=r\). Man könnte natürlich auch über  \(s=\sqrt{r^2+K^2-2rK\cos(\theta)}\) zu \(\theta\) übergehen und erhält \(E(s)=\frac{1}{2K}\int_0^{\pi}rK\sin(\theta)\text{d}\theta=r\).

Hoffentlich habe ich keinen Denkfehler.

lg Wladimir
\(\endgroup\)


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TomTom314
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Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 800
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-02-23

\(\begingroup\)
Hallo Wladimir,

bei Statistik befinde ich mich gerade auf unbekanntem Terrain. Soweit ich die Aufgabe verstanden habe, sind K und r fest vorgegeben und gesucht ist der mittlere Abstand d(x,r) mit |x|=K. Dann sollte doch irgendwo ein Integral über die Kugeloberfläche auftauchen. Dieses kann ich einfach bei Deiner Lösung einfach nicht sehen.

Bei Dir ist \(\rho(s)\) konstant. Müßte da nicht noch beachtet werden, dass es sich um eine Kugeloberfläche handelt?

*Wenn meine Einwände/Fragen vom Thema abweichen gerne auch eine Antwort über PM.
\(\endgroup\)


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DerEinfaeltige
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.02.2015
Mitteilungen: 1516
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-02-23

\(\begingroup\)
StrgAltEntf hat die Lösung für das formulierte Problem ja bereits gegeben. Entweder die Gleichverteilung der Entfernungen ist ein Fehler in der Problemstellung oder es ist genauso trivial.

Wenn ich keinen groben Denkfehler habe, ergibt sich sogar kurz und schmerzlos $E(d)=\max(r,K)$.


Bevor ihr über Dichten integriert, solltet ihr mMn. erst einmal genau definieren, was ihr darunter versteht.


-----------------
Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -
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DrStupid
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-02-23

\(\begingroup\)
2018-02-23 17:43 - TomTom314 in Beitrag No. 9 schreibt:
Soweit ich die Aufgabe verstanden habe, sind K und r fest vorgegeben und gesucht ist der mittlere Abstand d(x,r) mit |x|=K. Dann sollte doch irgendwo ein Integral über die Kugeloberfläche auftauchen.

Ja, so ist es. Wenn r der Abstand zwischen Q und X ist, dann ist
\[
\sqrt {\left( {K \cdot \cos \theta  - r} \right)^2  + \left( {K \cdot \sin \theta } \right)^2 }
\] der Abstand zwischen Q und einem Kreis mit dem Radius
\[
2 \cdot \pi  \cdot K^2  \cdot \sin \theta
\] auf der Oberfläche der Kugel. Der gesuchte mittlere Abstand ist das Integral dieser Abstande über die Oberfläche, dividiert durch die Oberfläche der Kugel. Mit
\[
k: = \frac{r}{K}
\] ergibt das
\[
d = \frac{K}{2} \cdot \int\limits_0^\pi  {\sqrt {1 - 2 \cdot k \cdot \cos \theta  + k^2 } }  \cdot \sin \theta  \cdot d\theta  = K \cdot \frac{{\left| {k + 1} \right|^3  - \left| {k - 1} \right|^3 }}{{6 \cdot k}}
\]




[Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]
\(\endgroup\)


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DrStupid
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-02-23


PS: Bei dieser Rechnung bin ich davon ausgegangen, dass nicht alle Entfernungen gleichverteilt sind, sondern dass die Entfernungen zu allen Punkten auf der Oberfläche der Kugel mit gleichen Gewicht in den Mittelwert eingehen.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2018-02-23

\(\begingroup\)
2018-02-23 16:58 - TomTom314 in Beitrag No. 7 schreibt:
den Ansatz
\[E(r)=\frac{1}{4\pi K^2}\int_{\partial B}||x-(r,0,0)||dx\] von flare2 halte ich schon für richtig.

Ja, ich auch. Aber er passt nicht zur Frage wink
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flar2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-23


Hallo zusammen,

vielen Dank Euch allen für die rege Beteiligung. Das hilft mir wirklich weiter. Manchmal hat man sich so in eine Sache rein gebissen, dass man vor lauter Bäumen den Wald nicht mehr sieht.

Mein erster Gedanke war der von StrgAltEntf und DrStupid. Dann dachte ich mir, dasselbe müsste doch heraus kommen, wenn man über alle möglichen Entfernungen mittelt. Wenn alle Entfernungen gleich wahrscheinlich sind, dann liefert die Rechnung von Wladimir_1989 die gesuchte Bestätigung für den Fall, dass der Punkt ausserhalb der Kugel liegt? Als konstante Dichte habe ich allerdings 1/Oberfläche verwendet und dann über alle Oberflächenelemente integriert (2D Integral). Die Fallunterscheidung erhalte ich wegen dem Betrag. Stillschweigend habe ich dabei vermutlich meine ursprüngliche Problemstellung verändert zu dem, was DrStupid bemerkt, nämlich dass alle Punkte mit demselben Gewicht in die Mittelung einfliessen. Seine Rechnung werde ich auch noch nachvollziehen, um zu lernen.

Sind meine Gedanken jetzt soweit korrekt?

Viele Grüsse



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]



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flar2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-23


Ich meinte StrgAltEntf und DerEinfaeltige ;)



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DrStupid
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2018-02-23 19:14 - StrgAltEntf in Beitrag No. 13 schreibt:
2018-02-23 16:58 - TomTom314 in Beitrag No. 7 schreibt:
den Ansatz
\[E(r)=\frac{1}{4\pi K^2}\int_{\partial B}||x-(r,0,0)||dx\] von flare2 halte ich schon für richtig.

Ja, ich auch. Aber er passt nicht zur Frage wink

Das kommt darauf an, wie man die Frage interpretiert. Was genau gedeutet denn, dass "alle Entfernungen gleich wahrscheinlich sind". Sind damit alle möglichen unterschiedlichen Entfernungen gemeint oder alle möglichen Entfernungen zu unterschiedlichen Punkten der Kugeloberfläche (unabhängig davon, ob sie sich voneinander unterscheiden)? Die Formulierung ist nicht eindeutig. Ich gehe davon aus, dass letzteres gemeint ist.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.13 begonnen.]
\(\endgroup\)


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flar2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-23


Die Lösung von DrStupid ist identisch mit meiner Lösung.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.15 begonnen.]



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