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Mathematik » Stochastik und Statistik » Folgt aus X < ∞, dass E(X) < ∞?
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Universität/Hochschule Folgt aus X < ∞, dass E(X) < ∞?
Emma22
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-02-23


hallo ich hätte da eine Verständnisfrage :)

Sei X eine ZV. mit 0 < X < unendlich (P.fs)

dann folgt doch E(X) < unendlich oder?

und dann doch auch für alle äquivalenten Maße P*:
E*(X) < unendlich ??

Vielen Dank im Vorraus :)
LG



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-02-23

\(\begingroup\)
Hallo Emma22,

2018-02-23 10:09 - Emma22 im Themenstart schreibt:
Sei X eine ZV. mit 0 < X < unendlich (P.fs)

dann folgt doch E(X) < unendlich oder?

Nein. Betrachte z.B. auf $\Omega={\Bbb N}_1=\{1,2,3.\ldots\}$ mit dem Wahrscheinlichkeitsmaß

    $\displaystyle P(\{n\})={1\over2^n}$

die Zufallsvariable

    $\displaystyle X(n)=2^n$  .

Grüße,
dromedar
\(\endgroup\)


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Emma22
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-23


alles klärchen vielen dank :))
schönes Wochenende noch!



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Flowsen95
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-02-23

\(\begingroup\)
Hallo dromedar,

wie würde man in dem Beispiel zeigen, dass \(0<X(n)<\infty\) fast sicher gilt? So nicht, oder?:

\[P\left((X(n)=\infty\right)=\lim_{n\to\infty} \frac{1}{2^{n}}=0\]
Viele Grüße
Flowsen95
\(\endgroup\)


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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-02-23

\(\begingroup\)
2018-02-23 12:21 - Flowsen95 in Beitrag No. 3 schreibt:
wie würde man in dem Beispiel zeigen, dass \(0<X(n)<\infty\) fast sicher gilt?

Wegen $0<2^n<\infty$ gilt $0<X<\infty$ in diesem Beispiel nicht nur fast sicher, sondern immer.
\(\endgroup\)


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Flowsen95
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-02-23

\(\begingroup\)
Und warum gilt das? Es ist doch \(\lim_{n\to\infty} 2^n = \infty\)
\(\endgroup\)


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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-02-23

\(\begingroup\)
2018-02-23 13:53 - Flowsen95 in Beitrag No. 5 schreibt:
Und warum gilt das? Es ist doch \(\lim_{n\to\infty} 2^n = \infty\)

Ich weiß nicht, warum Du Dich mit dem Grenzwert $n\to\infty$ beschäftigst.

Es geht doch um die Menge

    $A:=\bigl\{0<X<\infty\bigr\}=
\bigl\{n\in\Omega:0<X(n)<\infty\bigr\}$  .

Dass $0<X<\infty$ fast sicher gilt, bedeutet $P(A)=1$. In unserem Beispiel ist sogar $A=\Omega$, also erst recht $P(A)=1$.

(Und, wie Du siehst, kommt hier nirgendwo ein Grenzwert vor.)
\(\endgroup\)


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Flowsen95
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-02-24

\(\begingroup\)
Danke! Ich hatte mich daran gestört, dass \(2^{n}<\infty\) gelten soll, obwohl dieser Ausdruck in \(n\) größer wird.
\(\endgroup\)


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