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Mathematik » Numerik & Optimierung » Eigenwertbestimmung mittels inverser Iteration
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Autor
Universität/Hochschule J Eigenwertbestimmung mittels inverser Iteration
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-02-23


ursprünglicher Beitrag schreibt:
Hallo,
ich beschäftige mich im Moment mit der Inversen Iteration nach Wielandt. Nun habe ich den Algorithmus gerade  mit einer Matrix durchgeführt, die die Eigenwerte 4.5, 7.4 und 10 hat. Als Approximation habe ich 9.7 gewählt. Mit dem ersten Einheitsvektor bekomme ich als EW 10(was hier auch das Ergebnis sein sollte) und mit dem dritten Einheitsvektor 7.4. Bei Wikipedia steht, dass man die Vektoren bis auf eine Lebesgue-Nullmenge wählen kann.
Meine Frage ist nun: Wie wähle ich meinen Startvektor?

Mfg Student






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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-02-23


Hallo, Student,

wenn du eine ganzzahlige Matrix mit ganzzahligen Eigenwerten hast, sind die Verhältnisse der Komponenten der Eigenvektoren rational.

Damit bei deinem Startvektor von jedem Eigenraum was dabei ist, kannst du  den etwa als<math> \left(\begin{array}{c}1\\\sqrt{2}\\\pi\end{array}\right)</math> wählen.

Wally



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-23


Hallo Wally,
vielen Dank für deine Antwort. Ist es aber möglich auch für eine Matrix (Einträge reell) einen Startvektor zu finden, ohne zu wissen, ob die Eigenwerte reell sind?

Gruß Student



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-02-23


Das Wieland-Verfahren liefert bei reeller Matrix und reellem Startvektor lauter reelle Iterierte. Wenn die EW nicht reell sind, kann das ja nicht konvergieren.

Du solltest schon etwas vorher über die EW wissen, ehe du Wieland verwendest.

Wally



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-23


Hallo,
ja das weiß ich auch, da ich es auf reelle symmetrische Matrizen anwende und diese diagonalisierbar sind. Außerdem liegen alle EW´s in einem bestimmten Intervall.
Gibt es da irgendeine Vorschrift zur Bestimmung des Startvektors.

Student



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-02-24


Da gibt es keine allgemeine Antwort.

Wenn die Matrizen relativ große Diagonalelemente haben, sind Gerschgorin-Kreise ein gutes Hilfsmittel für Näherungen der Eigenwerte.

Ich glaube, wenn man nicht Pech hat und einen Startvektor nimmt, der auf einem Eigenvektor senkrecht steht (Abhilfe s.o.), ist es relativ egal, wo man beginnt.

Wally



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