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Mathematik » Strukturen und Algebra » was ist eine kanonische Injektion?
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Autor
Kein bestimmter Bereich J was ist eine kanonische Injektion?
sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-02-24

\(\begingroup\)
Hallo Zusammen,

Im Kapitel über Morphismen von Ringen stolpere ich immer wieder über den Begriff der kanonischen injektion.

Sei Beipielsweise:

\(\mathbb{Z} \to^{j} \mathbb{Z}[X] \to^q \mathbb{Z}[X]/(m,X)\) ein Morphismus.


Die kanonische Surjektion q wurde uns in der Gruppentheorie gut erklärt.
Inbesondere ist es einleuchtend, dass man die Eignschaft "surjektiv" betont,
da jedes Element der Quotientengruppe aus einem (oder oft mehreren) Element der "Zählergruppe" hervor geht.

Analog dazu verstehe ich leider nicht, was mit der kanonischen Injektion
\(j: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}(X)\) gemeint ist. Und ohne dies zu verstehen kann ich gleich mehrere übungsaufgaben unmöglich verstehen.

Was ist damit gemeint?
\(\endgroup\)


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Bai
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-02-24

\(\begingroup\)
Hi,

gebe doch mal eine Vermutung ab, wie man den Ring \(\IZ\) in den dazugehörigen Polynomring \(\IZ[X]\) injektiv einbetten könnte.

PS: In deinem Post fehlen ein paar "\([X]\)".
\(\endgroup\)


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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-24

\(\begingroup\)
also, dann wäre j eine Zuordnung, die einer zahl \(z \in \mathbb{Z}\)
zuordnet.

Ein Beispiel wäre \(z \to zX\)
\(\endgroup\)


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Triceratops
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-02-24


Es ist j(z)=z gemeint. Das ist zudem der einzige Ringhomomorphismus j.



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-24

\(\begingroup\)
ach so.

Nun steht in der Musterlösung:

Für jedes \(P = \sum_{x \ge 0} a_i X^i\) gilt \(P \equiv a_0 \; mod (m,X)\) weil \(X \equiv 0 mod (m,X)\)

ist hier gemeint dass ein Polynom aus \(j(z)\) sowieso ein Polynom vom Grade 0 , also \(P=a_0\) und daher trivial \(P \equiv a_0\)?
\(\endgroup\)


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Bai
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-02-24

\(\begingroup\)
2018-02-24 09:34 - sulky in Beitrag No. 4 schreibt:
Für jedes \(P \in \sum_{x \ge 0} a_i X^i\) gilt \(P \equiv a_0 \; mod (m,X)\) weil \(X \equiv 0 mod (m,X)\)

Das ist sehr verwirrend/falsch aufgeschrieben. Gemeint ist hier (vermutlich) lediglich die Verkettung des Auswertungshomomorphismus \(ev_0\) und der kanonischen Projektion \(\pi_m\), die ein Polynom zunächst auf seinen konstanten Term abbildet, welcher anschließend auf die Restklasse \(m\IZ\) projiziert wird.


Edit:
2018-02-24 09:11 - Triceratops in Beitrag No. 3 schreibt:
Das ist zudem der einzige Ringhomomorphismus j.

Meinst du der einzige "unitäre"?
\(\endgroup\)


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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-24

\(\begingroup\)
also die Aufgabestellung geht so:

Sei \((m,X)\) der Ideal von \(\mathbb{Z}[X]\), welcher von X und und der Ganzzahl m erzeugt wird.
man betrachte folgenden Morphismus:

\(\mathbb{Z} \to^j \mathbb{Z}[X] \to^q \mathbb{Z}[X]/(m,X)\)
dabei bezeichne j die kanonische injektion und q die kanonische Surjektion.
Sei \(h=q \circ j\)


a) Zeige dass h surjektiv ist


Da wir ja nun wissen, dass j(z)=z  Genügt es ja die Polynome vom Grade 0 zu betrachten und da gilt ja trivialerweise \(P \equiv a_0 \;mod (m,X)\)

Dies ist natürlich nicht gemeint. Aber hier weiss ich nicht weiter.
\(\endgroup\)


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Bai
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-02-24

\(\begingroup\)
2018-02-24 10:06 - sulky in Beitrag No. 6 schreibt:
Dies ist natürlich nicht gemeint. Aber hier weiss ich nicht weiter.

Identifiziere dafür zunächst den Ring \(\IZ[X]/(m,X)\) mit dem Homomorphiesatz und dem in Beitrag #5 angesprochenen Ringhomomorphismus \(\pi_m\circ ev_0: \IZ[X]\to\IZ\to\IZ/m\IZ\).
\(\endgroup\)


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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-24

\(\begingroup\)
ja, das macht die Mulö genau so.



Zuerst den Quotientenring \(\mathbb{Z}[X]/(m,X)\) bestimmen.

hier wird jedem Polynom aus \(\mathbb{Z}[X]\) eine Element des Quotienten zugeordnet. aber ich versteh's nicht ganz. Es steht:

Für \(P=\sum_{i \ge 0} a_i X^i \in \mathbb{Z}[X]\)  gilt \(P \equiv a_0 \;mod \;(m,X)\) weil \(X \equiv 0 \; mod \; (m,X)\)

dies geht mir nun einfach viel zu schnell
\(\endgroup\)


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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-24

\(\begingroup\)
Ich verstehe die Lösung völlig nicht.

Die Elemente von \(\mathbb{Z}[X]/(m,X)\) sind die \(a_0 \; mod \; (m,X)\)
mit \(a_0 \in \mathbb{Z}\)

Ich weiss schon gar nicht, wie ich die Lösung lesen muss.

Was bedeutet \(a_0 \; mod \; (m,X)\)?


wir kennen den Operator \(mod\) als Rest der Division.
aber im diesem Falle ist ja der Zähler eine ganze Zahl und der Nenner ist eine Menge. Da ist doch eine Division gar nicht definiert.
Ich brauche hier Hilfe.


Auch sonst stolpere ich dauernd über den \(mod\) Begriff.
In der Definition des Quotienent eines Ringes durch ein Ideal steht
geschrieben dass:
\(a \equiv b \; mod \; I \leftrightarrow a-b \in I\)

Wobei I ein Ideal ist, a und b sind nicht weiter definiert.
Dies ist ja schön und gut, aber der Kontext war die Definition des
Quotienten \(A/I\) und dieser Quotient wird in der folgenden Zeile definiert als :

\(a+I=\{a+i|i \in I\}\)


Im Zusammenhang mit der Definition von Quotientengruppen, welche wir in "Algebra 1" Kennengelert haben, kann ich erahnen weshalb hier der \(mod\) Operator eingeführt wurde.

Für \(a\in A\) gilt:
\(\overline{a}=q(a)=\{b\in A|a\equiv b\;mod \;I\}\)

und dann der Quotient definiert ist als: \(A/I=\{\overline{a}|a\in A\}\)
aber wie gesagt, dies ist eine Annahme von mir und steht so nicht in unserem Buch.


Ich verstehe den Zusammenhang des \(mod\) Operators und dem Quotient Ring/Ideal völlig nicht und brauche Hilfe


\(\endgroup\)


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qwertzusername
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-02-24


Hallo,

kennst du den Begriff Faktorring (Quotientenring).
Du erwähnst später Algebra I, du muss dieser Begriff eigentlich spätenstens eingeführt worden sein.
mod ist hier kein Operator, und es geht hier auch nicht um Divisionen von Zahlen.


In der Definition des Quotienent eines Ringes durch ein Ideal steht
geschrieben dass:
Genau darum gehts.

Wobei I ein Ideal ist, a und b sind nicht weiter definiert.
a und b sind Elemente des Rings und dassteht eigentlich auch in jeder Defintion dabei. Wo hast du den die Defintion her?


dieser Quotient wird in der folgenden Zeile definiert als :
Ich fürchte du zitierst hier unvollständig. Denn das wichtigste fehlt.
Was du danach schreibst ist eine Menge, es soll und wird aber ein Ring werden.


Im Zusammenhang mit der Definition von Quotientengruppen, welche wir in "Algebra 1" Kennengelert haben, kann ich erahnen weshalb hier der mod Operator eingeführt wurde.
Ja, Quotientenringe sind Quotientengruppen (und auch Quotientenvektorräumen) sehr ähnlich. Und wie gesagt, es wundert mich sehr, dass das nicht auch in Algebra I behandelt wurde (was habt ihr denn da gemacht?).
Ich hab aber Bauchschmerzen mod hier als Operator zu bezeichnen. Das mod hier ist mehr eine Schreibweise.


dies ist eine Annahme von mir und steht so nicht in unserem Buch.
Was ist das für ein Buch?
Ein Algebra-Buch das Faktorringe nicht sauber beschreibt ist zum Wegschmeißen. Das ist ein essentielles Konzept der Algebra.



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-24

\(\begingroup\)
Also ich schreibe (bzw. übersetze auf Deutsch) vollständig die
Definition:



Definition: (Quotient eines Ringes durch ein Ideal)

Sei I ein Ideal von A. Man definiert eine äquivalenzrelation auf A,
genannt kongruenz mudulo I, auf folgende Weise:

\(a \equiv b \; mod \; I \leftrightarrow a-b \in I\)

Die Quotientenmenge wird als A/I Bezeichnet. Die Klasse von \(a\in A\)
ist:

\(a+I=\{a+i|i\in I\}\)

und wird auch als \(q(a)\) oder \(\overline{a}\) geschrieben.



mehr steht da nicht. Mit Hilfe dieser Definition gelingt es mir einfach noch immer nicht zu verstehen, was
\(a_0 \;mod\; (m,X)\) bedeutet



\(\endgroup\)


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BerndLiefert
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-02-24

\(\begingroup\)
2018-02-24 15:15 - sulky in Beitrag No. 11 schreibt:
Mit Hilfe dieser Definition gelingt es mir einfach noch immer nicht zu verstehen, was
\(a_0 \;mod\; (m,X)\) bedeutet

Das wird dir kaum gelingen, denn \(a_0 \;mod\; (m,X)\) ist nur ein Teil eines Ausdrucks, der erst in seiner Gesamtheit einen Sinn ergibt.

Versuch zu verstehen, was \(P \equiv a_0 \;mod \;(m,X)\) bedeutet. Nutze dabei folgende dir zur Verfügung stehende Definition:

2018-02-24 15:15 - sulky in Beitrag No. 11 schreibt:
\(a \equiv b \; mod \; I \leftrightarrow a-b \in I\)
\(\endgroup\)


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qwertzusername
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2018-02-24

\(\begingroup\)
Das ist die Definition der Quotientenmenge.
Sinnvoller wäre der Quotientenring.

Dir ist hoffentlich klar, dass (m,X) eine Schreibweise für ein Ideal ist?
$a_0 \mod (m,X)$ ist eine Schreibweise für die Äquivalenzklasse mit Repräsentaten $a_0$ bzgl. des Ideals $(m,X)$.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]
\(\endgroup\)


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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-24

\(\begingroup\)
also \(P \equiv a_0 \; mod \;(m,X)\) bedeutet somit nichts anderes, als dass das Polynom \(P-a_0\) ein Element des Ideals \((m,X)\) ist.

soviel lese ich aus der Definition. nun fehlt noch der schritt von

\(P \equiv a_0 \; mod \;(m,X)\) nach \(a_0 \; mod \; (m,X)\)

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.12 begonnen.]
\(\endgroup\)


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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-24


nun kommt qwertzusername direkt aufs Thema.
"Ringelement mod Ideal" ist offensichtlich tatsächlich eine gebräuchliche Ausdrucksweise, die ich entweder im Buch übersehen habe, oder der Autor vergessen hat.



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-24

\(\begingroup\)
langsam qwertzusername.

Soll das etwa heissen, dass \(a_0 \; mod \; (m,X))\) eine andere Schreibweise ist für \(q(a_0)\) oder \(\overline{a_0}\)?
\(\endgroup\)


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qwertzusername
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2018-02-24

\(\begingroup\)
2018-02-24 15:37 - sulky in Beitrag No. 16 schreibt:
langsam qwertzusername.

Soll das etwa heissen, dass \(a_0 \; mod \; (m,X))\) eine andere Schreibweise ist für \(q(a_0)\) oder \(\overline{a_0}\)?
Ja.
\(\endgroup\)


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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-24


und damit raubt mir der Professor einen halben Tag?
Wie soll man das riechen können?
Dieser Professor gehört zum Studenten degradiert!



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qwertzusername
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2018-02-24


Ich dachte es geht um ein Buch, und kein Skript?

Und wie gesagt wundert mich mehr, dass das Ganze nicht schon lange bekannt ist.
Vielleicht wär ein zweites Buch o.ä., z.B. aus der Bibliothek, ein gutes Zusatzwerkzrug.

Wobei sich nen halben Tag mit etwas rumärgern um am Schluß rauszufinden, dass es relativ simpel ist, ist in der Mathematik gang und gäbe.



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-24

\(\begingroup\)
Dann geht die Aufgabe aus Beitrag Nummer 6 also so:

\(X \equiv 0\) ist klar, weil \(X \in (m,X)\).
Weil mod stabil ist bezüglich \("\cdot"\) und \("+"\)

ist folgt daraus dass \(P \equiv 0 \; mod \; (m,X)\) für alle \(P \in \mathbb{Z}[X]\)

Schliesslich ist auch \(a_0 \equiv a_0\) und daher gilt

\(P \equiv a_0 \; mod \; (m,X)\)

somit ist \(a_0 \to a_0 \; mod \; (X,m)\) surjektiv

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.18 begonnen.]
\(\endgroup\)


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qwertzusername
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, eingetragen 2018-02-24

\(\begingroup\)

ist folgt daraus dass P≡0mod(m,X) für alle P∈Z[X]
Nein.
Die Abbildung ist nicht die Nullabbildung (außer falls m=1).
Wie soll denn das Polynom(!) $1\in \mathbb Z [X]$ äquivalent zu 0 z.B. in $\mathbb Z [X]/(3,X) $ sein?

Was du danach schreibst sind Worte, in deren Zusammenstellung ich aber keinerlei Sinn erkenne.

Lies dir doch bitte nochmal Beitrag #7 durch.
Was dir offenbar fehlt ist ein Verständnis dafür was das Objekt $\mathbb Z[X]/(m,X)$ ist.
\(\endgroup\)


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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-24

\(\begingroup\)
Ja richtig, für das 0-te Glied im Polynom stimmt meine argumentation nicht.

Aber für alle überigen Glieder des Polinomes stimmt es doch, oder nicht?

Ist es nicht verständlich wenn ich Argumentiere, dass \(X\in (m,X)\)
und daher \(X-0\in(m,X)\)

Daher \(X \equiv 0 \;mod \; (m,X)\). Mit dem Satz der Verträglichkeit der Addition und multiplikation folgt dass für n>0 \(X^n \equiv 0^n \;mod \; (m,X)\)

Ist diese Argumentation nicht korrekt?


Aber ich identifiziere doch gerade den Ring \(\mathbb{Z}[X]/(m,X)\)
sowie im Beitrag 5 beschrieben

\(\endgroup\)


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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, eingetragen 2018-02-24


Diese Threads bzw. Artikel könnten dir helfen:

Linkerzeugtes Ideal, Homomorphiesatz, Isomorphismus

LinkIsomorphismus, Homomorphiesatz

article.php?sid=1732

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.21 begonnen.]



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-24

\(\begingroup\)
Vielen Dank für die Links. hab es ein wenig angeschaut.

Aber ich denke, dass hier lediglich die Elemente des Quotienten
\(\mathbb{Z}[X]/(m,X)\) beschrieben werden müssen.

Wenn man dann zeigen kann, dass jedes element ein Urbild hat, dann ist h Surjektiv. Mehr ist in der Aufgabenstellung nicht verlangt. Wir haben andere übungsaufgaben die jenen in den genannten MP-Beiträgen sehr ähnlich sind.


Ich klebe einfach fest am Ausdruck \(P \equiv a_0 \; mod \; (m,X)\).
aus dem Kontex scheint mir, dass \(q(a_0)=\overline{a_0}:=\{P\in \mathbb{Z}[X]|P \equiv a_0 \; mod \; (m,X)\}\)

So stehts aber nicht im Buch. Stattdessen steht:

\(q(a_0)=\overline{a_0}:=\{a_0+P|P\in (m,X)\}\)

Ich bin mir einfach unsicher ob folgende Gleichheit gilt:
\(\{P\in \mathbb{Z}[X]|P \equiv a_0 \; mod \; (m,X)\}=\{a_0+P|P\in (m,X)\}\)

warum sonst zielt die Musterlösung darauf ab zu zeigen, dass \(P \equiv a_0 \; mod \; (m,X)\)?
\(\endgroup\)


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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, eingetragen 2018-02-24

\(\begingroup\)
2018-02-24 20:21 - sulky in Beitrag No. 24 schreibt:
Ich bin mir einfach unsicher ob folgende Gleichheit gilt:
\(\{P\in \mathbb{Z}[X]|P \equiv a_0 \; mod \; (m,X)\}=\{a_0+P|P\in (m,X)\}\)

Du hast oben Folgendes hingeschrieben:

2018-02-24 15:15 - sulky in Beitrag No. 11 schreibt:
Sei I ein Ideal von A. Man definiert eine äquivalenzrelation auf A,
genannt kongruenz mudulo I, auf folgende Weise:

\(a \equiv b \; mod \; I \leftrightarrow a-b \in I\)

Wegen

    $a-b\in I\iff\exists i\in I:a=b+i$

folgt daraus

    $\bigl\{a\in A:a\equiv b\mod I\bigr\}=
\bigl\{b+i:i\in I\bigr\}=b+I$

Kannst Du damit Deine Frage selbst beantworten?
\(\endgroup\)


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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.26, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-24

\(\begingroup\)
Ja, Ich glaube es zu sehen.

\(\{a_0+P|P\in (m,X)\}\)
\(=\{P\in \mathbb{Z}[X]|\exists i \in (m,X) sd. i+a_0=P\}\)
\(=\{P\in \mathbb{Z}[X]|\exists i \in (m,X) sd. P-a_0=i\}\)
\(=\{P\in \mathbb{Z}[X]| P-a_0\in (m,X)\}\)
\(=\{P\in \mathbb{Z}[X]| P \equiv a_0 \;mod \; (m,X)\}\)


Ist das so richtig? falls ja, dann wäre ja Gleichheit
\(\endgroup\)


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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.27, eingetragen 2018-02-24


2018-02-24 21:24 - sulky in Beitrag No. 26 schreibt:
Ist das so richtig?

Ja.



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.28, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-24


wow! nun, habe ich wirklich was gelernt!

Vielen Danke Bai, qwertzusername, Triceratops und Dromedar.


Ich lasse den Beitrag noch einen Moment offen, weil es stehen noch Teilaufgabe 2 und 3 an.

Mal sehen, ob der Ringhomeomorphismussatz vielleicht doch noch verlangt wird.



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.29, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-25


Die weitern Teilaufgaben sind gelöst.

In diesem MP-Beitrag habe ich sehr viel gelernt.

Nochmals vielen Dank an Bai, qwertzusername, Triceratops und Dromedar.



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sulky hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
sulky hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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