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Mathematik » Logik, Mengen & Beweistechnik » Besprechung der Aufgaben aus LMU-Selbsttest
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Universität/Hochschule J Besprechung der Aufgaben aus LMU-Selbsttest
banzai
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-03-01


Aus den Aufgaben von

Aufgabe 1: Eine unbekannte Menge
Sei $\mathbb{N}$ die Menge der natürlichen Zahlen, also $\mathbb{N}=\{1,2,3,…\}$. $A$ sei die kleinste Teilmenge von $\mathbb{N}$, für die folgende Regeln gelten:
1) 5 $\in$ $A$
2) Falls $a \in A$, so ist auch $a + 6 \in A$
3) Falls $a \in A$, so ist auch $a^2 \in A$

Markieren Sie alle wahren Aussagen über $A$:
a) 37 $\in$ $A$
b) 22 $\in$ $A$
c) jedes Element von $A$ ist eine ungerade Zahl
d) 6000005 $\in A$


Aufgabe 2: Verknüpfung
Auf der Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ definieren wir eine neue Rechenoperation $\otimes$, die für alle $m,n \in \mathbb{N}$ durch die Formel $m \otimes n = m \cdot n^3$

a) $5 \otimes 2=40$
b) Für alle $n \in \mathbb{N}$ ist $n \otimes 1=1 \otimes n$.
c) Für alle $k,l,m \in \mathbb{N}$ ist $(k \otimes l) \otimes m=k \otimes (l \otimes m) $.
d) Für alle $k,l,m \in \mathbb{N}$ ist $(k+l) \otimes m=k \otimes m+l \otimes m$.


Aufgabe 3: Abschätzungen
Es sei $M:=\{20^{(70^2)},30^{(60^2)},40^{(50^2)}\}$ Markieren Sie alle wahren Aussagen.
a) $20^{(70^2)}$ ist die kleinste Zahl in $M$.
b) $20^{(70^2)}$ ist die größte Zahl in $M$.
c) $30^{(60^2)} < 40^{(50^2)}$
d) $30^{(60^2)}$ liegt zwischen $40^{(50^2)}$ und $20^{(70^2)}$.


Aufgabe 4: Natürliche Mengen
Sei $B$ eine nichtleere Teilmenge von $\mathbb{N}$, so dass für alle $m,n \in B$ gilt $m+n \in B$. Welche der folgenden Aussagen sind immer wahr?
a) $B = \mathbb{N}$
b) Für alle $m,n \in B$ gilt $4m+n \in B$.
c) Es gibt eine gerade Zahl $m$ mit $m \in B$.
d) Es gibt eine ungerade Zahl $m$ mit $m \in B$.


Aufgabe 5: Eine Relation
Für zwei natürliche Zahlen soll $m⋖n$ "jede Primzahl, die ein Teiler von $m$ ist, ist auch Teiler von $n$" bedeuten. Markieren Sie alle wahren Aussagen über die Beziehung $\lessdot$.
a) $45 \lessdot 15$
b) $5 \lessdot 16$
c) Falls $k \lessdot m \cdot n$, so $k \lessdot m$ oder $k \lessdot n$.
d) Es gibt $m,n \in \mathbb{N}$ mit $m<n$ und $n⋖m$.



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banzai
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-01


Nachdem ich den Test gemacht hab und nicht sonderlich gut abgeschnitten habe (ist noch schön forumuliert), möchte ich euch nun bitten, mir meine Fehler zu zeigen und mir zu erklären, was warum wieso.

Meine Antworten dazu sind:
Aufgabe 1
Nur c) ist richtig, denn $A=\{3,5\}$.

Aufgabe 2
a) richtig, weil $5 \cdot 2³ = 40$
b) richtig, wegen neutralem Element
c) richtig, wegen Assoziativgesetz
d) richtig, wegen Distributivgesetz

Aufgabe 3
b) und d) richtig.
Ist nur so eine Vermutung, die ich anhand der Potenzen getroffen habe. Aber es gibt doch sicher eine Methode, mit der man an solche Aufgaben rangeht, oder?

Aufgabe 4
c) und d) sind richtig.
a) nicht, weil $B$ bspw. nur 3 Elemente enthalten könnte
b) nicht, weil nur $m+n \in B$ und nicht $4m + n \in B$.

Aufgabe 5
a), c) und d) richtig.


Wie gesagt, mehr falsch, als richtig.
Bin sehr gespannt, wie die korrekten Lösungen sind und warum ich was wo falsch gemacht habe.



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-03-01


Hi,

zur ersten Aufgabe: zunächst sind alle natürlichen Zahlen, die den Rest 5 bei der  Division durch 6 haben, in A. Denn aus 1) und 2) folgt, dass alle Zahlen der Form 6k+5 enthalten sind.
Weiter sind alle natürlichen Zahlen größer 24, die den Rest 1 bei der  Division durch 6 haben, in A. Denn aus 1) und 3) folgt, dass 25 in A ist. Mit 2) folgt, dass alle Zahlen der Form 6k+25=6(k+4)+1 enthalten sind.
Somit sind a), c) und d) richtig.
b) ist falsch. Es ist <math>A=\{6k+\ell\mid k\in\mathbb N, \ \ell\in\{5,25\}\}</math> tatsächlich eine Menge, die alle drei Eigenschaften erfüllt. Und sie ist die "kleinste" mit dieser Eigenschaft.

Liebe Gruesse



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-03-01


Die Antwort zu Aufgabe 1 ist unvollständig.
Es gibt insgesamt 3 richtige Antwortmöglichkeiten.

Aufgabe 2:
Nicht für jede Verknüpfung gelten Assoziativgesetz, Kommutativgesetz und nicht jede besitzt ein neutrales Element.
Auch das Distributivgesetz ist nicht immer anwendbar, wenn man zufällig zwei Verknüpfungen hat.

Aufgabe 4:
Zwei deiner Argumentationen sind falsch.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]


Edit:
Als Tipp sei angemerkt, dass man alle deine Fehler durch einfache Beispiele/Gegenbeispiele erkennen kann. modulares Rechnen bspw. wie in der Antwort des Vorposters ist unnötig, da man direkt nachrechnen kann, dass $5^2=25$ und damit auch $25+6+6=37$ Element der ersten Menge ist.


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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-03-01


Hallo,

bei der ersten Aufgaben solltest du dir klar machen, wie die Menge gebildet wird.

Du hast eine Menge $A$, die einige Eigenschaften erfüllt.
Diese Menge ist "eindeutig". Deine Menge $\{3,5\}$ ist kein Beispiel für eine Menge, die nach den angegebenen Regeln gebildet wird.

Zu erst einmal sollte auffallen, dass die 5 die kleinste Zahl ist, welche in der Menge $A$ vorkommt.
Ausgehend von der $5$ sollte man nun einige weiteren Zahlen der Menge bilden.

Nach den Regeln der Menge, ist auch $5+6=11$ ein Element.
Ebenso $5^2=25$.
Mit diesen Elementen musst du weiter machen.
Denn wenn 11 in der Menge ist. Dann auch 11+6=17 und $11^2=121$.

Und so weiter.

Wie bei den meisten Aufgaben aus dem Test, ist es wichtig, dass du die Aufgabe analysierst.
Dass du dir klar machst, was die gegebenen Regeln sind und wie diese anzuwenden sind.

Damit musst du dann ein bisschen probieren.
Wie gesagt ergibt sich die Menge $A$ dann indem man mit der 5 startet und weitere Elemente der Menge erzeugt.

Mit weiteren Überlegungen beantwortet man dann die Fragen.

Zu der Aufgabe 2):

Es ist absolut verständlich, dass dir diese Aufgabe Probleme macht.
Allein, dass das zeichen $\otimes$ auftaucht sorgt wahrscheinlich bei den meisten Schülern schon für Verwirrung, auch wenn es unmittelbar erklärt wird.

Die Gesetze die du ansprichst kannst du hier nicht anwenden.
Es ist hier ja gerade gefordert diese zu "beweisen", oder zu "widerlegen".

Wie funktioniert also $\otimes$? Was macht diese Verknüpfung?
Laut Aufgabenstellung gilt $n\otimes m=n\cdot m^3$.

Nun kommt es darauf an genau zu sein. Und das ist die erste Schwierigkeit die im Mathestudium auftaucht.

Denn diese Aufgabe lässt dir gar keine Wahl wie du sie lösen kannst.
Man muss einfach es sauber hinschreiben.
Das ist sehr einfach und gerade deshalb schwer und verwirrend.

Damit du eine Idee bekommst, wie das aussieht.

Für alle $k,l,m\in\mathbb{N}$ gilt $(k\otimes l)\otimes m=k\otimes (l\otimes m)$

Die Klammerung sagt dir hier was zu erst zu tun ist.
Erst wird $k\otimes l$ betrachtet.
Dies funktioniert wie angegeben, denn $k\otimes l=kl^3$

Dann ist $(k\otimes l)\otimes m=kl^3\otimes m$

Nun wird $\otimes$ nochmal ausgewertet. Die Zahlen sind diesmal anders.
Nun ist es wichtig genau das zu tun, was beschrieben wird.

Es heißt $\color{red}{n}\otimes \color{blue}{m}=\color{red}{n}\color{blue}{m^3}$

Deshalb hast du keine andere Wahl, als $\color{red}{kl^3}\otimes\color{blue}{m}=\color{red}{kl^3}\color{blue}{m^3}$ hinzuschreiben.

Ein Fehler der hier entstehen kann ist etwa, dass du die Verknüpfung etwa so ließt $k\color{red}{l^3}\otimes \color{blue}{m}=k\color{red}{l^3}\color{blue}{m^3}$. Also nur auf die Variablen angewendet wird, die unmittelbar davor, oder dahinter stehen.

Hier ist das Ergebnis tatsächlich das gleiche. Das liegt aber an der Beschaffenheit der Verknüpfung.

Nun rechne du einmal die andere Seite aus:

$k\otimes (l\otimes m)$

Sind die Seiten tatsächlich identisch und spielt somit die Klammerung keine Rolle?

Zu der 3):

Ich habe das wohl genau so entschieden wie du. Nämlich anhand der Exponenten.
Eine "bessere" Möglichkeit wurde ausführlich im anderen Thread beschrieben.

Hier reicht aber vielleicht die Intuition und das Verständnis über Exponentialfunktionen.
Nämlich, dass ein größerer Exponent sehr viel mehr Bedeutung hat, als eine größere Basis. Vor allem wenn der Unterschied der Exponenten sehr groß ist, wie es hier der Fall ist.

zu der 4):

Mach dir mal folgende Beispiele.
Was passiert, wenn du nur mit 1 anfängst?
Was passiert, wenn du mit 1 und 2 startest?
Was passiert, wenn du mit 1 und 7 startest?
Was passiert, wenn du nur mit 2 anfängst?
Was passiert, wenn du nur mit 7 anfängst?

Und das wichtigste: Vergleiche deine Ergebnisse aus den Beispielen und überlege dir wodurch diese Unterschiede (oder Gemeinsamkeiten) zustande kommen.

zu der 5):

Suche ein Gegenbeispiel, warum die c) nicht richtig ist.

Wie schon bei der 2) ist es hier verständlich, wenn dich das neu eingeführte Relationszeichen verwirrt.

Ist dir auch klar, warum die d) korrekt ist?
Kannst du ein Zahlenbeispiel angeben?



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salomeMe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-03-01


Hallo banzai,

Gegenbeispiel zu 5 c)k=15, m=3, n=5

zu 4 b) m+m+m+m+n=4m+n
zu 4 a) Teilmenge besteht immer aus unendlich vielen Elementen, aber die 1 muss z.B. nicht enthalten sein.

beste Grüße
salomeMe



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-03-01


2018-03-01 11:54 - salomeMe in Beitrag No. 5 schreibt:

zu 4 a) Teilmenge besteht immer aus unendlich vielen Elementen, aber die 1 muss z.B. nicht enthalten sein.


Da haben wir also jemanden, der die $0$ nicht zu den natürlichen Zahlen zählt. ;)


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salomeMe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-03-01


Hallo DerEinfaeltige,

der Schluss, dass ich die 0 nicht zu den natürlichen Zahlen zähle, ist aber schwach begründet ;-)

beste Grüße
salomeMe



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-03-01


Die Teilmenge $\{0\}$ enthält nur endlich viele Elemente, erfüllt jedoch alle geforderten Bedingungen, sofern $0$ eine natürliche Zahl ist.
Darauf wollte ich anspielen. :)


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banzai
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-01


Wow, vielen Dank für eure zahlreichen Antworten!

Ich werde mich in Ruhe damit auseinandersetzen und mich dann wieder melden.



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salomeMe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-03-02


Hallo DerEinfaeltige,

man kann ja nicht immer an Alles denken ;-) - Du hast natürlich Recht, dass meine Aussage, dass jede solche Teilmenge unendlich viele Elemente enthält dann falsch ist, wenn man die 0 zu den natürlichen Zahlen zählt. @banzai hatte in der 1. Aufgabenstellung aber {1, 2, 3, ...} als die natürliche Zahlen angegeben, was ich gedanklich auf alle 5 Aufgaben angewendet habe.

beste Grüße
salomeMe



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banzai
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-04


So, mittlerweile hab ich 11 Punkte erreicht.

Meine Antworten:
1) a, c, d
2) a, d
3) b, d
4) b, c
5) a, d

Allerdings muss ich gestehen, dass ich bei der 4) auf dem Schlauch stehe und b und c durch Ausprobieren gefunden hab. Hilft mir aber nicht, das Brett vor meinem Kopf weg zu bekommen, denn mit folgendem Beispiel trifft doch auch d) zu:
Wenn $m=1$ und $n=2$, dann ist $m+n = 3$, also $B = \{1,2,3,6\} $ (6 wegen $4m + n$) und damit doch auch eine ungerade Zahl $m$ mit $m \in B$ enthalten ist 😵

Ich hoffe, es hat jemand den Nerv, mir das Schritt für Schritt zu erklären.



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-03-04


Natürlich gibt es bei der 4 Mengen, die ungerade Zahlen enthalten.
Tatsächlich enthält jede derartige Menge, die eine ungerade Zahl enthält, sogar unendlich viele ungerade Zahlen.

Enthält die Menge $B$ bspw. die $1$, so enthält sie auch alle anderen positiven natürlichen Zahlen, da für $m=n=1$ auch $1+1=2$ enthalten ist, aus enthaltener $2$ durch Addition von $1$ die $3$ entsteht usw.
Enthält die Menge eine natürliche Zahl $n$, so auch automatisch alle Vielfachen von $n$.
Abgesehen von der Menge $\{0\}$ enthält daher jede beliebige Menge $B$ sogar unendliche viele Elemente.


Die Aussage d) besagt jedoch, dass eine beliebige (also JEDE) Menge $B$ nach gegebener Vorschrift (mindestens) eine ungerade Zahl enthält.
Das stimmt jedoch nicht. Denn die Menge $\{0\}$ ist ein Gegenbeispiel.
Ebenso die Menge der geraden Zahlen oder die Menge aller Vielfachen eine geraden Zahl größer einer Untergrenze.
All diese Menge erfüllen die Anforderungen an $B$, enthalten jedoch keine ungeraden Zahlen.


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banzai
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-04


Danke dir.

Ich glaube, mein Hauptproblem bei Mengen ist, dass ich noch nicht so ganz verstanden hab, wann von "irgendeiner" Menge oder "jeder" Menge die Rede ist. Gibt's da ein Patentrezept?



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In der Aufgabenstellung der 4 steht "Welche der folgenden Aussagen sind immer wahr".

Das immer meint hier also für jede beliebige Menge die nach den Regeln gebildet wird.
Wenn es immer gelten soll, dann darf es kein einziges Gegenbeispiel geben.
Es reicht also ein solches zu finden um dies zu widerlegen.

Edit: @derEinfältige: Die Menge $\{0\}$ ist hier kein Gegenbeispiel, da Null laut Test keine natürliche Zahl ist.



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2018-03-04 11:51 - banzai in Beitrag No. 13 schreibt:
Ich glaube, mein Hauptproblem bei Mengen ist, dass ich noch nicht so ganz verstanden hab, wann von "irgendeiner" Menge oder "jeder" Menge die Rede ist. Gibt's da ein Patentrezept?

Das hat nur indirekt mit Mengen zu tun.
Du sprichst hier ein Problem mit Quantoren an.

Überlege einfach einmal selbst, ob die Formulierungen "Etwas gilt für ein beliebiges $x$" und "Etwas gilt für alle $x$" einen inhaltlichen Unterschied machen.

Anschließend kannst du ja mal überlegen, welcher Zusammenhang zwischen "Es gibt ein $x$, sodass $A_1(x)$ gilt" und "Für jedes $x$ gilt $A_2(x)$" besteht.


Dein obiger Post lässt übrigens weiterhin vermuten, dass du Probleme mit dem Konzept der Rekursion hast. Denn $\{1;2;3;6\}$ ist keine korrekt gebildete Menge $B$, sondern bestenfalls eine willkürliche gewählte Teilmenge davon.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.13 begonnen.]


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banzai
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Vielen Dank euch beiden. Ich glaub, der Groschen ist gefallen.

@DerEinfaeltige: es ist gut, dass ich mit euch darüber rede, denn nur so lerne ich die Exaktheit der Mathematik. Ich hätte wohl besser z.B. ist $B = ...$ schreiben sollen :)



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banzai hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
banzai hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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