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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Was ist eigentlich eine Galoisgruppe?
Thema eröffnet 2018-03-06 00:21 von
juergen007
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Universität/Hochschule Was ist eigentlich eine Galoisgruppe?
TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.40, eingetragen 2018-03-11

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2018-03-11 20:38 - juergen007 in Beitrag No. 39 schreibt:
Das ist richtig!
Jedoch enthält dieses \(\mathcal{I}:=\ker(\varphi)\) auch Polynome in $Q[X_i]$, die invariant gegen Obergruppen der Galoisgruppe von $\mathbb Q(x_i)$ sind und ich meine damit die Körpererweiterung $\mathbb Q(x_i)$.
Sie ist also zu schwach für eine hinreichende und notwendige Bedingung an eine Permutationsgruppe $H$ und eine Nullstellenmenge $M$, so dass $M^H$ = $M$ ist, meine ich.

Ich verstehe nicht, was Du hier sagen möchtest. \(\ker(\varphi)\) beschreibt einfach nur alle Relationen zwischen den Nullstellen. Mit diesen Relationen können nun die Permutation \(\sigma\in S_4\) untersucht werden, und zwar: \(\sigma\in Gal(f)\iff \forall g\in\ker(\varphi): g(X_{\sigma(1)},X_{\sigma(2)},X_{\sigma(3)},X_{\sigma(4)})\in\ker(\varphi)\).
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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.41, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-11

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2018-03-11 21:28 - TomTom314 in Beitrag No. 40 schreibt:

Ich verstehe nicht, was Du hier sagen möchtest. \(\ker(\varphi)\) beschreibt einfach nur alle Relationen zwischen den Nullstellen. Mit diesen Relationen können nun die Permutation \(\sigma\in S_4\) untersucht werden, und zwar: \(\sigma\in Gal(f)\iff \forall g\in\ker(\varphi): g(X_{\sigma(1)},X_{\sigma(2)},X_{\sigma(3)},X_{\sigma(4)})\in\ker(\varphi)\).

Ja genau so ist es richtig!
Wir meinen wohl dasselbe. Wir wissen aber $Gal(f)$ dadurch noch nicht, aber dass die g aus dem Kern(phi) auf ein anderes h aus dem kern(phi) abgebildet werden. Diese g werden aber auch durch andere Permutationen als die der $Gal(f)$ auf h in Kern(phi) abgebildet, was man man am Bsp.: $a^2-b^2+c^2-d^2$ sieht.
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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.42, eingetragen 2018-03-12

\(\begingroup\)
Nein, der entscheidende Punkt ist, dass \(g(X_{\sigma(1)},X_{\sigma(2)},X_{\sigma(3)},X_{\sigma(4)})\in\ker(\varphi)\) für alle \(g\in ker(\varphi)\) gelten soll. Damit ist dann auch \(\sigma\in Gal(f)\) entscheidbar.
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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.43, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-12

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2018-03-12 11:31 - TomTom314 in Beitrag No. 42 schreibt:
Nein, der entscheidende Punkt ist, dass \(g(X_{\sigma(1)},X_{\sigma(2)},X_{\sigma(3)},X_{\sigma(4)})\in\ker(\varphi)\) für alle \(g\in ker(\varphi)\) gelten soll. Damit ist dann auch \(\sigma\in Gal(f)\) entscheidbar.
\(g(X_{\sigma(1)},X_{\sigma(2)},X_{\sigma(3)},X_{\sigma(4)})\in\ker(\varphi)\) gilt für alle \(g\in ker(\varphi)\) und auch noch für andere $\sigma \not\in Gal(f)$, wie man an $g =X_1^2-X_2^2+X_3^2-X_4^2$ und $\sigma =(13)(24)$ sieht.
\(\endgroup\)


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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.44, eingetragen 2018-03-12

\(\begingroup\)
Um zu zeigen, dass für ein \(\sigma\in S_n\) bereit \(\sigma\not\in Gal(f)\) gilt, reicht ein Element \(g\in ker(\varphi)\) s.d. \(g(X_{\sigma(1)},X_{\sigma(2)},X_{\sigma(3)},X_{\sigma(4)})\not\in\ker(\varphi)\).

Für \(\sigma=(13)(24)\) wäre das z.B. \(g=X_1^2-5\).

Das ist elementare(!!!) Aussagelogik.
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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.45, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-12

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2018-03-12 21:15 - TomTom314 in Beitrag No. 44 schreibt:
Um zu zeigen, dass für ein \(\sigma\in S_n\) bereit \(\sigma\not\in Gal(f)\) gilt, reicht ein Element \(g\in ker(\varphi)\) s.d. \(g(X_{\sigma(1)},X_{\sigma(2)},X_{\sigma(3)},X_{\sigma(4)})\not\in\ker(\varphi)\).

Für \(\sigma=(13)(24)\) wäre das z.B. \(g=X_1^2-5\).

Das ist elementare(!!!) Aussagelogik.
Ich meine weiterhin, Gal(f) ist nicht entscheidbar am kern von $\varphi$
Interessanter sind die Aussagen von weird über Primideale und noethersche Ringe.
@weird
Kannst du das fortführen, plz?
\(\endgroup\)


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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.46, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-07

\(\begingroup\)
2018-03-12 21:15 - TomTom314 in Beitrag No. 44 schreibt:
Um zu zeigen, dass für ein \(\sigma\in S_n\) bereit \(\sigma\not\in Gal(f)\) gilt, reicht ein Element \(g\in ker(\varphi)\) s.d. \(g(X_{\sigma(1)},X_{\sigma(2)},X_{\sigma(3)},X_{\sigma(4)})\not\in\ker(\varphi)\).

Für \(\sigma=(13)(24)\) wäre das z.B. \(g=X_1^2-5\).

Das ist elementare(!!!) Aussagelogik.
wollte anmerken dass ich die Aussagen jetzt nach noch maligen durcharbeiten verstanden habe:)
Danke.
Nach einer Datei Erdorf.pdf- weiss nich mehr wie ich die fand -kann man aus den kubischen Resolvenze die Galoigruppe ablesen.
Es gab auch ein Liste von Klüners /Malle, wo zu jeder möglichen Untergruppe der S4 (und höher) ein auflösbares Polynom angegeben wurde. finde die aber leider nicht mehr..weiß jemand was ich meine?
Polynome 4. Grades sind immer auflösbar.

\(\endgroup\)


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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.47, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-07 18:12

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2018-03-11 14:26 - TomTom314 in Beitrag No. 32 schreibt:
Eine Idee zum Einsetzungshomomorphismus:

Sei \(f:=\sum_{0\leq k \leq n} a_k X^k \in\IQ[X]\) normiert und irreduzibel mit Nullstellen \(x_1,\ldots, x_n\in L\) in einem geeignetem Zerfällungskörper und Einsetzungshomomorphismus
\[\varphi:\IQ[X_1,\ldots,X_n]\to L\]
Durch eine Koeffizientenvergleich von \(\sum a_k X^k = \prod (X-x_l)\) erhält man Polynome \(\sigma_k-a_k\in\IQ[X_1-X_n]\), wobei \(\sigma_k\) ein passendes elementarsymmetrisches Polynom ist. Sei \(\mathcal{J}\subset \IQ[X_1,\ldots,X_n]\) das davon erzeugte Ideal. Dann gilt \(\mathcal{J}\subset ker(\varphi)\).


Ich hake hier nochmal nach: Beispiel $f(x)=x^4-3$.
Es sei $\alpha = \sqrt[4]{3}$
Im Falle $f=x^4-3 = (x-\alpha)(x-i\alpha)(x+\alpha)(x+i\alpha)$ sind die Nullstellen aus $\mathbb L= \mathbb Q(i,\alpha)$.
Die $a_k$ sind $\{1,0,0,0,3\}$.
Wie sieht dann dein passendes elementarsymmetrisches Polynom \(\sigma_k\) aus? Danke
\(\endgroup\)


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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.48, eingetragen 2018-07-07 22:04


Das sind schon die elementarsymmetrischen Polynome, wie z.B. bei Wikipedia definiert - bis auf eine Indexverschiebung k -> n-k.



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.49, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-08 16:56

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2018-07-07 18:12 - juergen007 in Beitrag No. 47 schreibt:
2018-03-11 14:26 - TomTom314 in Beitrag No. 32 schreibt:

Durch eine Koeffizientenvergleich von \(\sum a_k X^k = \prod (X-x_l)\) erhält man Polynome \(\sigma_k-a_k\in\IQ[X_1-X_n]\), wobei \(\sigma_k\) ein passendes elementarsymmetrisches Polynom ist. Sei \(\mathcal{J}\subset \IQ[X_1,\ldots,X_n]\) das davon erzeugte Ideal. Dann gilt \(\mathcal{J}\subset ker(\varphi)\).



n ist hier 4.
\(\sum a_k X^k = \prod (X-x_l)\)  ist hier $X^4-3=(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)(X-x_4)$.

$a_4=1,a_3=0,a_2=0,a_1=0,a_0=3$

$x_1=\alpha$.
$x_2=i\alpha$.
$x_3=-\alpha$.
$x_4=-i\alpha$.
Aber wie sieht meinetwegen für $k=2$ das Polynom \(\sigma_2-a_2\in\IQ[X_1-X_4]\) aus?  
Wenn $\sigma_2=X_1X_2+X_1X_3+X_1X_4+X_2X_3+X_2X_4+X_3X_4$ ist?
\(\endgroup\)


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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.50, eingetragen 2018-07-08 19:38

\(\begingroup\)
... das Polynom \(\sigma_2-a_2\in\IQ[X_1-X_4]\) ...

Das war ein Schreibfehler. Es sollte schon \(\sigma_k-a_k\in\IQ[X_1,\ldots,X_n]\) heißen.
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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.51, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-08 22:02

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2018-07-08 19:38 - TomTom314 in Beitrag No. 50 schreibt:
... das Polynom \(\sigma_2-a_2\in\IQ[X_1-X_4]\) ...

Das war ein Schreibfehler. Es sollte schon \(\sigma_k-a_k\in\IQ[X_1,\ldots,X_n]\) heißen.
ok.
aber du subtrahierst von einen elementarsymmetrischen Polynom z.B. $\sigma_2$ wie ich oben ausrechnete einen Koeffizienten $a_2$, was hier zufaellig 0 ist. Was kommt dabei raus? und dann erzeugst Du  \(\mathcal{J}\subset \IQ[X_1,\ldots,X_n]\). In dem Fall ist dann $\mathcal{J}=(X_1X_2+X_1X_3+X_1X_4+X_2X_3+X_2X_4+X_3X_4)$ ein Ideal? Dessen Bild unter dem Einsetzungshom $\varphi(\mathcal{J}) \mapsto 0\in L$ ist? Was auch für alle anderen $\sigma_k$ gilt.
Leuchtet ein, kann man hier schnell nachrechnen. Ich verstehe nur diese Subtraktion nicht.
Ich wollte auf deine


Vermutung: \(Gal(f)\cong S_n\) ist die volle Permutationsgruppe genau dann, wenn \(\mathcal{J}= ker(\varphi)\).

Falls dieses zutrifft, würde es sich ggf. lohnen den Ring \(R:=\IQ[X_1,\ldots,X_n]/\mathcal{J}\) zu untersuchen, d.h. gibt es eine Beziehung zwischen den Idealen in \(R\) und \(Gal(f)\)?
hinaus.

Anscheinend gibt es eine solche Beziehung.
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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.52, eingetragen 2018-07-08 22:14

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Da \(\IQ\) ein Unterring von \(\IQ[X_1,\ldots,X_n]\) ist, gibt es bei der Subtraktion kein Problem. Es ist wieder ein Element in \(\IQ[X_1,\ldots,X_n]\)

Zu \(Gal(f)\cong S_n \iff \mathcal{J}= ker(\varphi)\) habe ich hier einen Beweis aufgeschrieben.

Nachtrag: Das Ideal \(\mathcal{J}\) wird von allen \(\sigma_k-a_k\) erzeugt.
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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.53, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-09 16:53

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2018-07-08 22:14 - TomTom314 in Beitrag No. 52 schreibt:
Da \(\IQ\) ein Unterring von \(\IQ[X_1,\ldots,X_n]\) ist, gibt es bei der Subtraktion kein Problem. Es ist wieder ein Element in \(\IQ[X_1,\ldots,X_n]\)

Zu \(Gal(f)\cong S_n \iff \mathcal{J}= ker(\varphi)\) habe ich hier einen Beweis aufgeschrieben.

Nachtrag: Das Ideal \(\mathcal{J}\) wird von allen \(\sigma_k-a_k\) erzeugt.
Ja danke! Prinzipiell klar ist, dass alle möglichen  elementarsymmetrischen Polynome in $f(x)=\sum a_k X^k = \prod (X-x_l)$ invariant gegen $S_n$ sind und auch alle symmetrischen Polynome z.B. Newton Identitäten.
In LinkDiskriminantes Polynom war ich auf der Suche nach einen Polynom $q(x)\in Q[X_1,X_2,X_3,...,X_n]$, $X_n$ Nullstellen, das Invariant gegen die Elemente der Gal(f) ist aber gegen keine andere aus $Q[X_1,...,X_n]$.
Und das gilt dann auch für ein Ideal $\mathcal{J}=<q(x)>$, was meist kein Hauptideal ist, aber ein Maximalideal mit Kern 0.
Quasi als "Schnelltest" der Hypothese f(x) hat die Galoisgruppe $G_n \subset S_n$. Bin noch nicht sicher ob das vergebene Liebesmüh ist.

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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.54, eingetragen 2018-07-09 19:33

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In LinkDiskriminantes Polynom war ich auf der Suche nach einen Polynom $q(x)\in Q[X_1,X_2,X_3,...,X_n]$, $X_n$ Nullstellen, das Invariant gegen die Elemente der Gal(f) ist aber gegen keine andere aus $Q[X_1,...,X_n]$.
Das Thema möchte ich ohne eine passende Beweisidee eigentlich nicht diskutieren. Hier sehe ich aber, dass Du Polyome und deren Bild unter einem Einsetzungshomomorphismus wieder vermischst, was einfach keine gute Idee ist.

Und das gilt dann auch für ein Ideal $\mathcal{J}=<q(x)>$, was meist kein Hauptideal ist, aber ein Maximalideal mit Kern 0.
Dieser Satzt ergibt einfach keinen Sinn. Ist \(\mathcal{J}\) über q definiert oder das von den \(\sigma_k-a_k\) erzeugte Ideal? Warum soll es maximal sein und wo kommt der Kern her?

Quasi als "Schnelltest" der Hypothese f(x) hat die Galoisgruppe $G_n \subset S_n$.
Welche Hypothese?
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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.55, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-12 18:32

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2018-07-09 19:33 - TomTom314 in Beitrag No. 54 schreibt:

Quasi als "Schnelltest" der Hypothese f(x) hat die Galoisgruppe Gn⊂Sn.
Welche Hypothese?
 
Hallo
ich meinte: gibt es ein bestimmtes rationales Polynom $q(x)\in[X_i]$, das invariant gegen eine vorgegebene Gruppenoperation =vermutetete Galoisgruppe von $f(x): G_n\subseteq(S_n)$ ist und nicht gegen eine Zwischengruppe $K_n$ zwischen $G_n$ und
$S_n,G_n\subset K_n\subseteq S_n$.
 
Eine Vermutung: für f(x)=$x^4-3$ ist das Polynom $r[Xi]=X1^2−X2^2+X3^3−X4^2$ invariant gegen $G(n)$, hier $D_8$ aber nicht gegen andere $K_n\subseteq S_n,K_n\supset G_n$. Diese Polynom bezeichne ich als G-diskriminant und  $r[Xi]$ als G Invariante hier 0.
In obigen Fall ist die Invarianz nachrechenbar, aber wir wissen die Nullstellen "sowieso" und das $r[Xi]$ ist eben eine ausgekuckte D-Invariante also Invariant gegen eine Diedergruppe. Kann ich die Wahl des $r[Xi]$ irgendwie von dieser Zufälligkeit lösen?
Der Nachteil ist man braucht die Nultellen un eine Vermutung der Galoisgruppe.
So dass ich meinetwegen ein irreduzibles Polynom (mit evtl. nicht allen bekannten Nullstellen) habe und sofort die Galoisgruppen vermuten oder verwerfen/einschränken kann.

PS ich habe noch kein Beweis, dass  es so ein Polynom immer gibt, und man ein Verfahren angeben kann das ein $r[Xi]$ berechnet.
Jedenfalls ist die Strutur aller $r[Xi]\in D[X]$ ein Ideal und $Ker(\varphi)$, was du oben ja auch angabst.
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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.56, eingetragen 2018-07-13 13:10

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2018-07-12 18:32 - juergen007 in Beitrag No. 55 schreibt:
Jedenfalls ist die Strutur aller $r[Xi]\in D[X]$ ein Ideal und $Ker(\varphi)$, was du oben ja auch angabst.
Das habe ich nicht gezeigt und ist auch falsch, wobei hier wieder unklar ist, wass $D[X]$ sein soll und was Du mit den eckigen Klammern bei $r[Xi]$ meinst.
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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.57, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-13 18:58

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2018-07-13 13:10 - TomTom314 in Beitrag No. 56 schreibt:
2018-07-12 18:32 - juergen007 in Beitrag No. 55 schreibt:
Jedenfalls ist die Strutur aller $r[Xi]\in D[X]$ ein Ideal und $Ker(\varphi)$, was du oben ja auch angabst.
Das habe ich nicht gezeigt und ist auch falsch, wobei hier wieder unklar ist, wass $D[X]$ sein soll und was Du mit den eckigen Klammern bei $r[Xi]$ meinst.

Ich meinte an sich $Q[X_i]$, und ein $r[X_i]$ ist ein Polynom im dem Polynomring $D[X_i]$, einem Teilring von $Q[X]$ über den Nullstellen $\{X_1,...,X_n\}$ eines $f(x)$, das Invariant gegen irgendeine Permutationsgruppe $G_n$ ist.
Alle diese denkbaren Polynome $r[X_i]$ bilden eine Struktur. Das mit dem Ideal hab ich falsch formuliert.
Aber das Bild der $r[X_i] \in Q[X]$ ist null unter dem Einsetzungshomomorphismus $\varphi: r[X_i] \to L$, also ein Teil des Kerns $(\varphi)$ oder der ganze Kern..
Ich hoffe ich habe das formal richtig mit gross und klein x gemacht und
das wort Einsetzungshomomorphismus recht genutzt.
Kann man es so sagen :
$q(X_i)=X_1X_2+X_1X_3+X_1X_4+X_2X_3+X_2X_4+X_3X_4$ ist ein Polynom, und $q(x_i)=x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4 =0$ eine Zahl aus dem Zerfällungskörper?
\(\endgroup\)


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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.58, eingetragen 2018-07-13 23:01

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Ich meinte an sich $Q[X_i]$
Nein, meinst Du nicht. Wenn dann \(\IQ[X_1,\ldots,X_n]\), \(\IQ[X_i]\) ist ein anderer Ring.

Die Bezeichnungen \(r[X_i],D[X_i]\) sind ausgesprochen schlecht gewählt. In dem Kontext, in dem wir uns hier bewegen, bezeichnet \(A[B]\) im allgemeinen einen Ring, der aus dem Ring \(A\) durch hinzufügen von Elementen \(B\) ensteht. Wie das genau funktioniert, kannst Du in allen Algebra- und auch vielen Lin.Alg.-Büchern nachlesen(!!!).

ein Polynom im dem Polynomring $D[X_i]$, einem Teilring von $Q[X]$ über den Nullstellen $\{X_1,...,X_n\}$ eines $f(x)$, das Invariant gegen irgendeine Permutationsgruppe $G_n$ ist.
Bei dieser Beschreibung kann ich bestenfalls vermuten, was D sein soll. Ist es eine Teilemenge von \(L,\IQ[X]\) oder \(\IQ[X_1,\ldots,X_n]\)? Wenn Du ein neues Objekt einführst, mußt Du dieses auch richtig definieren.

Alle diese denkbaren Polynome $r[X_i]$ bilden eine Struktur.
Ich nehme an, dass Du \(r\in\IQ[X_1,\ldots,X_n]^G\) meinst, wobei \(G\subset S_n\) eine passende Untergruppe von \(S_n\) ist. Dazu mußt Du Dir noch Gruppenoperationen \(G\times X\to X\) und die Definiton von \(X^G\) anschauen.

Aber das Bild der $r[X_i] \in Q[X]$ ist null unter dem Einsetzungshomomorphismus $\varphi: r[X_i] \to L$, also ein Teil des Kerns $(\varphi)$ oder der ganze Kern.
Abgesehen von den Fehlern, die ich schon erwähnt habe, hast Du nun als Definitionsbereich von \(\varphi\) ein einzelnes Element, was nun wirklich keinen Sinn ergibt. Nach meiner angenommen Definiton der \(r\) und dem Einsetzungshomomorphismus, den ich definiert habe, liegen die \(r\)'s nicht immer(meistens nicht) in \(ker(\varphi)\).
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