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Mathematik » Analysis » Satz über Konvergenz von Fourier-Reihe
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Universität/Hochschule Satz über Konvergenz von Fourier-Reihe
X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-03-08

\(\begingroup\)
Hallo zusammen,

ich verstehe eine Kleinigkeit beim Beweis über folgenden Satz über Fourier-Reihen nicht:


Satz: Sei $f: \IR \to \IC$ eine periodische Funktion, so dass $f|[0,2\pi]$ Riemann-integrierbar ist. Dann konvergiert die Fourier-Reihe von f im quadratischen Mittel gegen f.

Beweis: Es genügt den Fall zu behandeln, dass f reellwertig ist und der Abschätzung $|f(x)| \le 1 \forall x \in \IR$ genügt.

Frage 1: Wieso genügt es für die Allgemeinheit, nur den Fall zu betrachten?

Sei $\epsilon > 0$ vorgegeben. Dann gibt es periodische Funktionen $\phi, \psi : \IR \to \IR$ mit folgenden Eigenschaften:

a) $\phi| [0, 2\pi]$ und $\psi| [0, 2\pi]$ sind Treppenfunktionen.

b) $-1 \le \phi \le f \le \psi \le 1$

c) $\int \limits_{0}^{2\pi} (\psi(x) - \phi(x))dx \le \frac{\pi}{4}\epsilon^{2}$.


Wir setzen $g := f - \phi$. Dann gilt

$|g|^{2} \le |\psi - \phi|^{2} \le 2(\psi - \phi)$,


Frage 2: Wieso sind hier die Betragstriche nötig? Der Ausdruck $\psi - \phi$ kann doch wegen $\psi \ge \phi$ niemals negativ werden, und dasselbe gilt doch auch für |g| wegen $g:= f - \phi$?


.....

q.e.d.




Wie immer wäre ich euch sehr dankbar wenn ihr mir zum Verständnis verhelfen könnt!


Viele Grüße,
X3nion
\(\endgroup\)


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egndgf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-03-08

\(\begingroup\)
Hallo,

Frage 1: Weil man den allgemeinen Fall auf diesen Spezialfall zurückführen kann, indem man den Spezialfall geeignet anwendet.
Frage 2: Wer sagt, dass sie nötig sind? (Ok, ich kann mir zwei Gründe denken, warum hier Betragsstriche stehen: Weil $g^2$ in gewissen Kontexten auch $g\circ g$ bedeuten könnte; und zweitens weil ihr wahrscheinlich die 2-Norm (das quadratische Mittel) gleich allgemein für komplexwertige Funktionen (und dann natürlich mit Betragsstrichen) definiert haben werdet und man dann direkt den Integranden aus eurer Definition von quadratisch summierbar dastehen hat.)

MfG
egndgf
\(\endgroup\)


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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-08

\(\begingroup\)
Hey egndgf und vielen Dank dir!

Wie kommt man denn vom Spezialfall auf den allgemeinen Fall einer Funktion $f: \IR \to \IC$?

Und welches von den Gründen könnte denn am plausibelsten klingen?
Das quadratische Mittel wurde über komplexwertige Funktionen eingeführt, aber hier im Beweis handelt es sich ja um reelle Funktionen?


Viele Grüße,
X3nion
\(\endgroup\)


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egndgf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-03-09


Hallo,

a) Das musst du schon selbst rausfinden.
b) Mir ist noch ein dritter Grund eingefallen: Der Ersteller des von dir Zitierten könnte einfach öfter mit dem quadratischen Mittel von komplexwertigen Funktionen zu tun haben und daher reflexhaft das Betragsquadrat nehmen ohne sich groß etwas dabei zu denken. Vielleicht hat er es auch gemacht, um die Lesbarkeit zu erhöhen: Wird das Betragsquadrat abgeschätzt, dann sieht man auf den ersten Blick, dass man damit die Größe abgeschätzt hat; hat man nur das Quadrat von etwas abgeschätzt, dann ist dem nicht mehr der Fall, den dann benötigt man noch die Zusatzinformation, dass die Größe reell ist, d.h. man muss dann auch noch ein bisschen des Textes darüber lesen muss, um den Kontext zu erhalten. Definierte ich die 2-Norm lediglich für reellwertige Funktionen, verwendete ich deshalb auch Betragsstriche, obwohl sie unnötig sind.
Jeder von uns beiden wird sich übrigens über diesen Punkt zehn mal so viele Gedanken gemacht haben wie der Ersteller des Beweises.

MfG
egndgf



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-09

\(\begingroup\)
Hallo nochmal und vielen Dank für die ausführlichen Erläuterungen!

1) Ist es denn so, dass der Fall für $ f: \IR \to \IR$ daraus folgt, dass man f durch ein $\lambda > 0$ teilt, sodass $|f(x)| \le 1$ und man dann den Spezialfall anwendet?
Wäre das korrekt?

2) Und ist es nun bei einer Funktion f: $ \IR \to \IC, f(x) = g(x) + i h(x)$ äquivalent zu 1), da g und h reellwertig sind?


Viele Grüße,
X3nion



\(\endgroup\)


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egndgf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-03-09


Hallo,

deine Formeln sind kaputt. Und du bist auf dem richtigen Weg, aber du musst das noch genauer begründen. (Du scheinst ja selbst noch nicht einmal davon überzeugt zu sein.)

MfG
egndgf



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-10

\(\begingroup\)
Hallo egndgf,

Nun sei $f: \IR \to \IC$ eine periodische Funktion, so dass $f|[0,2\pi]$ Riemann-integrierbar ist, also nach Definition ist f beschränkt. Dann lässt sich f schreiben als $f:= u + iv$, wobei u und v reelle Funktionen sind, die Riemann-integrierbar sind.
Gilt nun |f(x)| > 1 $\forall x \in \IR$, so existiert ein $\lambda > 0$, sodass |$\frac{f}{\lambda}| = |\frac{u}{\lambda} + i \frac{v}{\lambda}| < 1 \forall x \in \IR$ ist.

Insbesondere gilt dann |u'(x)| $< 1$ und |v'(x)| $< 1 \forall x \in \IR$, wobei u' := $\frac{u}{\lambda}$ und v' := $\frac{v}{\lambda}$

Nach dem Beweis des Satzes für Funktionen mit Betrag  $\le 1$ erhält man Fourier-Reihen von u' und v', welche gegen u' und v' im quadratischen Mittel konvergieren.

Dann konvergiert aber die Fourier-Reihe $\lambda F[u'](x)$ im quadratischen Mittel gegen u und analog $\lambda F[v'](x)$ gegen v, denn die Multiplikation mit einem Skalar ändert das Konvergenzverhalten nicht.



Soweit alles richtig? Könnte jemand mit scharfen Augen drüberschauen? smile


Viele Grüße,
X3nion
\(\endgroup\)


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egndgf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-03-11

\(\begingroup\)
Hallo,

1. f ist bereits gegeben und kann nicht noch einmal definiert werden. $f:=u+iv$ ist also deplatziert.
2. Du behandelst den Fall, dass $|f(x)|>1$ für alle x. Willst du wirklich diese Fallunterscheidung durchführen?
3. Anstelle von $\lambda F[u′](x)$ solltest du besser einfach $\lambda F[u′]$ oder $\lambda F[u′](\cdot)$ schreiben (bei ersterem muss man sich nämlich dazudenken, dass du hier eigentlich die Funktion $x\mapsto \lambda F[u′](x)$ meinst).
4. Warum sollte aus $\lambda F[u']\rightarrow u$ (analog für v, v') folgen, dass die Aussage allgemein gilt?

MfG
egndgf
\(\endgroup\)


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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-11

\(\begingroup\)
Hallo egndgf und Danke für deine Bemerkungen,

hm aber f lässt sich ja schreiben als f = u + iv mit $u,v \in \IR$, oder nicht?

Wegen der Fallunterscheidung: Man muss doch eine Funktion - falls nötig - auf $|f(x)| \le 1$ herunterskalieren, sodass man das Bewiesene anwenden kann, dachte ich?

Kannst du mir einen Tipp geben, wie denn der allgemein Fall aus dem Spezialfall geht?


Viele Grüße,
X3nion
\(\endgroup\)


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egndgf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-03-11


Hallo,

ich glaube, du bist jetzt gerade ein bisschen verwirrt.
1. f muss nicht unbedingt konstant sein. Für nichtkonstantes f gibt es keine derartige Darstellung.
2. Ja, die Funktion müssen potentiell herunterskaliert werden. Und nun lies dir noch einmal durch, was du in #6 geschrieben hast.
3. Es gibt nur eine kleine Lücke am Ende, die es zu schließen gilt. Es könnte so trivial sein, dass du da gar nicht dran denkst.

MfG
egndgf



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-11

\(\begingroup\)
Hallo egndgf,

ja das bin ich in der Tat ein wenig, also verwirrt biggrin
 
1) Hm zu der Darstellung:  Im Lehrbuch steht am Anfang des Kapitels, dass das Integral einer komplexwertigen Funktion $\phi:= u + iv: [a,b] \to \IC$

mit $u,v: [a,b] \to \IR$

definiert ist als

<math>\int \limits_{a}^{b} (u(x) + iv(x)) dx := \int \limits_{a}^{b} u(x) dx + i \int \limits_{a}^{b} v(x) dx </math>

Kann man hier also nicht f schreiben als $f = u(x) + i v(x)$ mit u,v als reelle Funktionen? Zum Beipsiel ist doch f = cos(x) + i sin(x) eine solche Funktion?

2) In Beitrag No. 6 habe ich die Funktion f geschrieben als f = u + iv, wobei ich u(x) und v(x) als reelle Funktionen gemeint habe.
Meine Idee war, dass man dann zwei reellwertige Komponenten hat, die man herunterskaliert, sodass man den bewiesenen Satz auf diese Funktionen anwendet.

Wenn ich nun |f(x)| betrachte, so skaliere ich notfalls f mit einem $\lambda > 0$ herunter, sodass $|f(x)| \le 1$ ist.
Aber f ist dann ja keine reellwertige Funktion, wie im Beweis angenommen, sondern komplex?


Das ist noch unklar für mich


Viele Grüße,
X3nion
\(\endgroup\)


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egndgf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-03-11

\(\begingroup\)
Hallo,

1. a) die von dir zitierte Stelle des Lehrbuchs behandelt die Definition von Integralen und eigentlich setzt der Autor hier bereits voraus, dass dem Leser vollkommen klar ist (und es sollte ihm klar sein), dass jede komplexwertige Funktion als Summe $u+iv$ mit zwei reellwertigen Funktionen (mit derselben Funktionsmenge wie f) darstellbar ist.
b) Du kannst also nicht aus dieser Definition folgern, dass jedes komplexwertige f eine solche Darstellung hat. Außerdem ist die Berufung auf eine Autorität keine korrekte Schlussweise in der Mathematik.
c) Bei $f=u(x)+iv(x)$ hast du wieder etwas gemacht, was ich schon in #7 3. bemängelt habe. Hier hast du es sogar auf beiden Seiten in inkonsistenter Weise getan.
d) Wie gesagt sollte es eigentlich klar sein, warum es so ein Darstellung wie bei a) gibt. Um sicher zu gehen solltest du es aber noch einmal begründen.
e) Und jetzt wirfst du bitte einen Blick auf #8 und suchst den Unterschied zur Darstellung wie in a), um herauszufinden, was ich überhaupt bemängle.
2. Ob du f oder die Komponenten von f herunterskalierst, macht keinen echten Unterschied. Der Spezialfall der Aussage wird allerdings für reellwertige Funktionen bewiesen, also kannst du den Spezialfall nur auf die (geeignet skalierten) u' und v' anwenden. Lies dir meinen Punkt 2. aus #7 noch einmal durch, um herauszufinden, was ich an deiner Skalierung überhaupt bemängelt habe.

MfG
egndgf
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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-12

\(\begingroup\)
Hallo egndgf und vielen Dank für deine Worte! Es gefällt mir, dass du so in's Detail gehst - denn nur so kann ich lernen, präzise zu formulieren! smile

Zu c) Okay also zum einen sprichst du, dass man Funktionen als Elemente der Funktionenräume notiert und nicht als Elemente der Bildräume unter u bzw. v.
Was ich nicht verstehe, wieso ich die Schreibweise auch auf der linken Seite (wo ja nur f steht) inkonsistent gewählt habe. Oder wolltest du damit sagen, dass man sich entweder für f(x) = u(x) + i v(x) oder für f = u + iv entscheiden soll?

Zu e) Der Unterschied zu meiner Notation f = u + iv $u,v \in \IR$ und deiner Aussage ist, dass man reellwertige Funktionen u, v betrachtet, und nicht Elemente aus $\IR$.



Zu 2) In Punkt 2., Beitrag No. 7 hast du mich gefragt, ob ich wirklich die Fallunterscheidung |f(x)| > 1 für alle x durchführen möchte.

Man muss ja aber für die Allgemeinheit entscheiden, ob die Skalierung durchgeführt werden muss oder nicht.
Dazu könnte man ja die Supremums-Norm $\parallel f \parallel $ betrachten, und falls $\parallel f \parallel$ > 1 ist, so betrachte man die Funktion $\frac{f}{\lambda} = \frac{u}{\lambda} + i \frac{v}{\lambda}$ mit einem geeigneten $\lambda > 0$, sodass $\parallel f \parallel \le 1$ ist. Denn daraus folgt, dass auch $\parallel u' \parallel \le 1$ und $\parallel v' \parallel \le 1$ mit $u:= \frac{u}{\lambda}$ und analog v'.


Wäre das so besser formuliert?

Viele Grüße,
X3nion
\(\endgroup\)


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egndgf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2018-03-12

\(\begingroup\)
Hallo,

c) Bei $f(x)=u(x)+iv(x)$ kann man sich noch dazudenken, dass hierbei gedanklich ein Allquantor mitgemeint ist, auch wenn er nicht da steht. Aber bei $f=u(x)+iv(x)$?
e) Genau darauf wollte ich hinaus.
2) Ich glaube, du hast meinen genauen Kritikpunkt an deiner Formulierung nicht verstanden: Du musst nicht nur im Fall, dass $|f(x)|>1$ für alle x gilt, skalieren, sondern du musst im Falle, dass für ein x (aus dem Definitionsbereich) $|u(x)|>1$  oder $|v(x)|>1$ ist, skalieren. Ich weise hier einmal gesondert darauf hin, dass die logische Negation von "Für alle x ist $|f(x)|\leq 1$" "Es existiert ein x, für das nicht $|f(x)|\leq 1$ gilt"; Letzteres ist weil die übliche Ordnung reeller Zahlen eine totale Ordnung ist äquivalent zu "Es existiert ein x, für das $|f(x)|>1$ ist". In #6 hast du den Fall, dass $|f(x)|>1$ für alle x ist, behandelt; der Fall, dass $\|f\|\leq 1$ ist, ist trivial (kein Skalieren nötig). Den Restfall hast du einfach übersehen. Unabhängig davon spricht natürlich nichts dafür, den Fall, dass für alle x $|f(x)|>1$ ist, überhaupt gesondert zu betrachten.

Ach und die schon einmal erwähnte kleine Lücke am Ende gibt es immer noch.

MfG
egndgf
\(\endgroup\)


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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-12

\(\begingroup\)
Hallo egndgf,

jetzt verstehe ich, was dir an meiner Skalierung missfallen hat - vielen Dank dir für die ausführliche Erläuterung!

Ja mit der Lücke wollte ich nochmal abwarten, bis ich die anderen Punkte verstanden habe.

1) Nun denn, betrachte man einmal den Fall, dass keine Skalierung notwendig ist. Man findet also eine Fourier-Reihe $F[u]$, die gegen u im quadratischen Mittel konvergiert und eine solche, welche analog gegen v konvergiert.

Die Fourier-Reihe $F[f] := F[u] + i F[v]$ konvergiert dann gegen f im quadratischen Mittel.


2) Sei eine Skalierung notwendig für u (für v geht dies analog) für ein $x \in \IR$. Wähle nun ein $\lambda > 0$, sodass für die Funktion $u' := \frac{u}{\lambda}$ für dieses x gilt: $|u'(x)| \le 1$. Es gibt nun eine Fourier-Reihe $F[u']$, die gegen u' im quadratischen Mittel konvergiert.
Die Fourier-Reihe $\lambda F[u']$ konvergiert dann im quadratischen Mittel gegen u und insgesamt konvergiert auch $F[f] := \lambda F[u'] + i F[v]$ gegen f. Da $x \in \IR$ beliebig war, folgt die Behauptung.

3) Dasselbe Procedere für u und v als notwendig zu skalieren für ein $x \in \IR$?


Viele Grüße,
X3nion
\(\endgroup\)


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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-16


Hallo egndgf,

könntest du nochmals drüberschauen?
Natürlich auch jeder andere von euch in der Community smile

Es war ja fast alles besprochen.
Ich wäre euch sehr dankbar!


Viele Grüße,
X3nion



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egndgf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2018-03-17

\(\begingroup\)
Hallo,

entschuldige, ich hatte dich irgendwie vergessen.
1. Die Fourierreihe von f ist bereits definiert und daher kannst du sie nicht einfach noch einmal neu definieren $F[f]:=F[u]+iF[v]$ muss also durch etwas ersetzt werden.
2. Vollkommen falsch:
a) Der Beweis des Spezialfalls setzt voraus, dass die Funktion, auf die man den Spezialfall anwendet, in der Supremumsnorm durch 1 beschränkt ist; das ist bei deiner Art zu skalieren nicht gegeben.
b) Beachte hierzu, dass die im ursprünglichen Beweis bewiesene Aussage ja nicht "Sei f eine reelle,periodische Riemann-integrable Funktion, die an einem Punkt betragsmäßig durch 1 beschränkt ist. Dann konvergiert die Fourierreihe von f im quadratischen Mittel gegen f.". Wenn das von dir benutzte Argument richtig wäre, so könnte man an vielen Stellen der Analysis die Voraussetzung, dass eine Funktion beschränkt ist, dadurch ersetzen, dass die Funktion endlich-wertig ist (in der Maßtheorie z.B. untersucht man Funktionen, die den Wert unendlich annehmen dürfen). Dem ist aber nicht so.
c) Außerdem ist die Formulierung "Es gibt nun eine Fourier-Reihe $F[u′]$, die gegen u' im quadratischen Mittel konvergiert" unglücklich: u' ist bereits definiert und damit ist auch $F[u']$ definiert. Daher solltest du eher "Nun konvergiert $F[u']$ im quadratischen Mittel gegen $u'$" schreiben. (Aussagen wie "Es gibt nun eine Fourier-Reihe $F[w]$, die gegen u' im quadratischen Mittel konvergiert" sind übrigens Abkürzungen/schlampige Formulierungen für "Es gibt eine Funktion w, deren Fourierreihe $F[w]$ im quadratischen Mittel gegen u' konvergiert". Aus welcher Funktionenmenge w kommen darf, wird entweder dazu gesagt oder ergibt sich aus dem Kontext. Du bist hier nicht in dieser Situation, denn du behauptest ja gerade, dass die Fourierreihe einer ganz bestimmten, schon bekannten Funktion gegen u' im quadratischen Mittel konvergiert.)
d) Und danach haben wir schon wieder eine "Definition".

MfG
egndgf
\(\endgroup\)


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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-17

\(\begingroup\)
Hallo nochmal kein Problem, deshalb kam ja meine Erinnerung nochmal.

Danke für deine ausführlichen Worte!
Hm ich sollte einmal anfangen mir zu überlegen, was denn konkret gegeben ist:


Gegeben ist eine eine periodische Funktion f: $\IR \to \IC$, welche auf dem Einschränkung $f|[0,2\pi]$ Riemann-integrierbar ist.

Zu zeigen ist, dass die Fourier-Reihe $F[f]$ von f im quadratischen Mittel gegen f konvergiert.

Jede Funktion $f: \IR \to \IC$ lässt sich schreiben als $f = u + iv$, wobei u und v reellwertige, nach Voraussetzung auf dem Intervall <math> [0, 2\pi] </math> Riemann-integrierbare Funktionen sind.

Die Fourier-Reihe $F[f]$ von f lässt sich also schreiben als: $F[f] = F[u] + i F[v]$, mit $F[u]$ als Fourier-Reihe von u und $F[v]$ als eine solche von v.

Betrachte nun $\parallel f \parallel_{sup}$. Gilt $\parallel f \parallel_{sup} > 1$, so betrachte die Funktion $f' := \frac{f}{\lambda}$ (äquivalent $f': = u' + i v'$ mit $u' := \frac{u}{\lambda}$ und $v' := \frac{v}{\lambda}$) mit einem geeigneten $\lambda > 0$, sodass $\parallel f' \parallel_{sup} < 1$ gilt.

Es gilt nun insbesondere $|u'(x)| < 1 \forall x \in \IR$ und $|v'(x)| < 1 \forall x \in \IR$. Im quadratischen Mittel konvergieren somit $F[u']$ gegen u' und $F[v']$ gegen v' nach Anwendung des Spezialfalls.


---


Wäre dies bis hierhin so korrekt? Ich habe ein recht gutes Gefühl bei der Formulierung, und du meintest ja eingangs, ich scheine „ja selbst noch nicht einmal davon überzeugt zu sein" was ich schreibe.


Viele Grüße,
X3nion
\(\endgroup\)


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egndgf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2018-03-17


Hallo,

jetzt sieht es sehr gut aus. Insbesondere sind dieses Mal die Definitionen tatsächlich Definitionen. Es fehlt nur eine Sache, die ich übrigens schon früher hätte bemängeln müssen: Real- und Imaginärteil einer periodischen Funktion sind wieder periodisch. Das benutzt du implizit, wenn du den Spezialfall (der diese Voraussetzung hat) anwendest.
Und zu guter letzt: Warum folgt jetzt aus dem Spezialfall der allgemeine Fall?

MfG
egndgf



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-17

\(\begingroup\)
Guten Abend!

Okay ja klar, das macht Sinn mit der Periodizität von Real- und Imaginärteil und sollte auch dazugeschrieben werden, denn dies ist zusätzlich noch eine Voraussetzung dafür, dass man den Spezialfall auf u und v anwenden kann.

Nun zum Schluss: $F[u‘]$ konvergiert also im quadratischen Mittel  gegen u‘ = <math> \frac{u}{\lambda}} </math>, somit gilt:

F[u‘] <math> = \frac{u}{\lambda}} </math>

bzw. $\lambda F[u‘] = u$.

Die Multiplikation mit einem Skalar ändert nur den Wert der Reihe, nicht das Konvergenzverhalten, also gilt:

$\lambda F[u‘] = F[u]$, wobei F[u] die gegen u im quadratischen Mittel konvergente Fourier-Reihe ist.

Selbiges gilt für v und $F[v‘]$, also

$\lambda F[v‘] = v$ und $\lambda F[v‘] = F[v]$

Genau das war zu zeigen.

——


Wäre das so okay?

Viele Grüße,
X3nion



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\(\begingroup\)
Hallo,

jetzt hast du immer noch nicht, dass auch $F[f]$ im quadratischen Mittel gegen $f$ konvergiert. Das Stichwort, auf das ich übrigens hinaus wollte, war Linearität (von $F$). Die gesamte Reduktion auf den im Beweis betrachteten Fall kann auch mit "Aus Linearitätsgründen folgt das Resultat dann auch für den Span der hier betrachteten Funktionen und das ist die Behauptung." abgekürzt werden. Wenn jemand also Probleme hat zu sehen, dass man sich oBdA auf den Fall einschränken kann, dann sollte in seiner Ausführung das Wort Linearität irgendwo auftauchen.

MfG
egndgf
\(\endgroup\)


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