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Ingenieurwesen » Technische Mechanik » Frage zum Umgang mit der Koppeltafel
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Universität/Hochschule Frage zum Umgang mit der Koppeltafel
Sasamur
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 11.03.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-03-11


Hallo,

Ich habe eine Frage zur richtigen Verwendung der Koppeltafel bei Streckenlasten.
Meine Momentenverläufe:


Wenn ich den rechten Teil der beiden Verläufe koppeln will, darf ich dann ohne weitere Untersuchung
(ich habe schon gesagt, dass der Verlauf nur so ist, wenn mein fed-Code einblenden in der Skizze der Aufgabenstellung in der eingezeichneten Richtung positiv ist)
kubische Parabel + Dreieck ( fed-Code einblenden ) verwenden?
Oder muss ich Dreieck + Dreieck ( fed-Code einblenden ) und quadratische Parabel + Dreieck ( fed-Code einblenden ) verwenden.

Wenn ich ohne weitere Untersuchung nur Dreieck + Dreieck und quadratische Parabel + Dreieck verwenden darf, muss ich dann wenn meine beiden zu koppelnden Verläufe negativ sind addieren und wenn sie positiv sind subtrahieren?

Oder immer subtrahieren wenn meine quadratische Parabel in das Dreieck hinein läuft?

Was mache ich wenn der eine positiv ist und der andere negativ ist?

Oder addiere ich immer oder habe ich bei meiner Zeichnung einen Fehler und mein grün eingezeichneter Wert müsste auch negativ sein, da ich den negativen Wert meines Dreiecks an der Stelle ja in Richtung 0 verändere?

Ich hoffe ich habe mich hier nicht zu undeutlich ausgedrückt und das ganze auch ins richtige Forum gepostet.

Grüße Sasamur



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Sasamur
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Dabei seit: 11.03.2018
Mitteilungen: 2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-11


Habe versehentlich auf das Ok-Häkchen geklickt



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civilengineer
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Dabei seit: 25.05.2011
Mitteilungen: 1692
Aus: Bayern, München
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-03-13

\(\begingroup\)
Hi Sasamur,

bei den Koppeltafeln geht es um Integrale der Art:

fed-Code einblenden

mit den Polynomfunktionen $f_i(x)$ und $f_j(x)$. Man kann alle Werte selbst ausrechnen, wenn man allgemeine Funktionen aufstellt (gerade, quadratische Parabel, kubische Parabel), miteinander multipliziert und entlang einer Länge $L$ integriert.

Beispiel:

Stell dir mal eine (erste) gerade Linie vor, die mit den zwei Punkten $( x_{A_1} , y_{A _1}) = ( 0 , 0 )$ und $( x_{B_1} , y_{B_1} ) = ( L , i )$ eindeutig festgelegt ist. Und noch eine zweite Linie mit Anfangspunkt $( x_{A_2} , y_{A _2}) = ( 0 , 0 )$ und Endpunkt $( x_{B_2} , y_{B_2} ) = ( L , j )$.

Unabhängig davon ob $i$ und/oder $j$ positiv und/oder negativ sind, kann man das Ergebnis folgendermaßen ausrechnen:

fed-Code einblenden


Bei deiner Aufgabe kommt noch hinzu, dass du die rechte Fläche beim linken Momentenverlauf (realer Momentenverlauf) in zwei Flächen (Gerade "negativ" + Parabel "positiv") splitten sollst und jeweils mit der rechten Hälfte des rechten Momentenverlaufs (virtueller Momentenverlauf) überlagern sollst.

fed-Code einblenden

Das Endergebnis für deine Aufgabe besteht daher aus drei Summanden.

Ohne Koppeltafel kann man ganz normal analytische Terme für die Funktionsverläufe aufstellen bzw. ausrechnen, miteinander multiplizieren und über die Balkenlänge integrieren. Das ist umständlich, aber man erhält dadurch einen tieferen Einblick in das, was eigentlich dahinter steckt. Dieser umständliche Weg läuft für deine Aufgabenstellung so ab:

Zunächst betrachte den linken Bereich "vor dem Knick":

Der reale Momentverlauf ist:

fed-Code einblenden

Der virtuelle Momentenverlauf ist:
fed-Code einblenden

Der erste Summand im Endergebnis ergibt sich somit zu:

fed-Code einblenden

Mit der Koppeltafel viel schneller:

fed-Code einblenden

Für den zweiten Bereich brauchst du nun zwei Funktionen, die zusammenaddiert den realen Momentenverlauf ergeben. Die erste Funktion ist die der Geraden:

fed-Code einblenden

(Die Koordinate $\tilde{x}_{2}$ und die Aufteilung des realen Momentenverlaufs im rechten Bereich sind dem vorletzten Bild dieses Beitrags zu entnehmen)

Und die zweite ist die Funktion der Parabel, die durch die folgenden drei Punkte festgelegt ist: $P_0 = (0,0)$,$P_1 = \left(\frac{a}{2},\frac{q_0 \cdot a^2}{8}\right)$ und $P_2 = (a,0)$ (Diese Punkte sind mithilfe der zweiten x-Koordinate angegeben, nachdem man die quadratische Parabel flächentreu auf die horizontale Balkenachse projiziert, siehe vorletzte Abbildung unten). Damit lautet die zweite Funktion des realen Momentenverlaufs:

fed-Code einblenden

Der reale Momentenverlauf im zweiten Bereich ergibt sich somit zu:

fed-Code einblenden

Und der virtuelle Momentenverlauf im zweiten Bereich ist:

fed-Code einblenden

Die Überlagerung beider Verläufe ergibt:

fed-Code einblenden

Mit der Koppeltafel viel schneller:

fed-Code einblenden

Das Endergebnis ist:

fed-Code einblenden

mit den drei Summanden
fed-Code einblenden

Dieses Endergebnis vereinfacht sich zu:
fed-Code einblenden

Um also die zeitaufwendige Integration zu vermeiden, hat man immer wiederkehrende Integralausdrücke in einer Koppeltafel zusammengefasst. Um deine Aufgabe zu lösen brauchst du lediglich zwei Werte (Faktoren) nachschauen. In diesem Fall ergeben sich beide Faktoren zu 1/3. Das kann man sich gut merken. "Dreieck + Dreieck = 1/3". "Dreieck + Parabel = 1/3".



Die Aufteilung bzw. das Splitten funktioniert skizzenhaft wie folgt:



... Soweit zu deiner Aufgabe ... Jetzt zurück zu der Koppeltafel: als Beispiel werden jetzt zwei Trapeze miteinander überlagert: Der erste trapezförmige Verlauf ist nichts anders als eine Gerade zwischen einem Anfangspunkt $( x_{A_1} , y_{A _1}) = ( 0 , j_{1} )$ und einem Endpunkt $( x_{B_1} , y_{B_1} ) = ( L , j_{2} )$. Unabhängig davon ob $ j_{1} $ und/oder $ j_{2} $ positive oder negative Zahlenwerte sind, kann dieser gerade Verlauf im allgemeinen als Geradengleichung wie folgt angegeben werden:

fed-Code einblenden

Analog dazu lässt sich der zweite trapezförmige Verlauf zwischen den Punkten  $( x_{A_2} , y_{A _2}) = ( 0 , k_{1} )$ und $( x_{B_2} , y_{B_2} ) = ( L , k_{2} )$ wie folgt angeben ($k_1$ und/oder $k_2$ können wie auch $j_1$ oder/und $j_2$ positiv oder/und negativ sein):

fed-Code einblenden

Die Überlagerung von $f_{j}(x)$ mit $f_{k}(x)$ lässt sich wie folgt berechnen:

fed-Code einblenden




Beachte: die in der Koppeltafel auftretenden Variablen j und/oder k sind wie der Name schon sagt: Variablen. Diese können positive oder/und negative Zahlenwerte annehmen.

Gruß

CE
\(\endgroup\)


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Sasamur hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Sasamur hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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