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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Wir lernen Galois
Thema eröffnet 2018-03-13 00:11 von
juergen007
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Universität/Hochschule Wir lernen Galois
juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.280, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-19


ok



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.281, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-19

\(\begingroup\)
Ja.
Man müsste noch versuchen $f(x)\mod2=x^5+x^3+x^2+x+1$ durch alle irreduziblen Polynome 2. Grades in  $Z_2[x]$ dividieren. Das wäre ja nur $x^2+x+1$.
$\frac{x^5+x^3+x^2+x+1}{x^2+x+1}$ ist nicht restfrei, meine ich. Also $f(x)\mod2=x^5+x^3+x^2+x+1$ irreduzibel in  $Z_2[x]$.
Woraus wir schliessen, dass  $\displaystyle f(X)=x^5+3x^3+5x^2-x+1$  irreduzibel in $Z[x]$ ist.

\(\endgroup\)


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DavidM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.282, eingetragen 2018-04-19


Richtig.



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.283, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-19

\(\begingroup\)
Thxy  smile
Dachte schon ich müsste jetzt in die Materie Galoiskörper $\mathbb GF(2^n)$ einsteigen aber das kriegen wir später.
Schönes essay zu Galoisfields:
www.fbmn.h-da.de/~ochs/mathe1/skript/galois12.pdf
\(\endgroup\)


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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.284, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-20

\(\begingroup\)
Nächste "Rechenaufgabe":

Aufgabe 3.5.10.
Sei x eine Lösung der Gleichung $\displaystyle X^4 − 2X^3 + 12X − 10 = 0$.
Drücke $\displaystyle x^6$ durch eine Linearkombination von 1, x, x2 und x3 mit rationalen Koeffizienten aus.

Müssen wir die ganzalgebraische Zahl x dazu kennen?
\(\endgroup\)


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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.285, eingetragen 2018-04-20


2018-04-20 00:40 - juergen007 in Beitrag No. 284 schreibt:
Nächste "Rechenaufgabe":

Aufgabe 3.5.10.
Sei x eine Lösung der Gleichung <math>\displaystyle X^4 -2X^3 + 12X - 10 = 0</math>.
Drücke <math>\displaystyle x^6</math> durch eine Linearkombination von 1, x, x2 und x3 mit rationalen Koeffizienten aus.

Müssen wir die ganzalgebraische Zahl x dazu kennen?


Nein, müssen wir nicht.
Es ist
<math>\displaystyle x^4 =2x^3 - 12x + 10</math>,
<math>\displaystyle x^5 =2x^4 - 12x^2+ 10x =2(2x^3 - 12x + 10)- 12x^2+ 10x</math>
<math>\displaystyle x^6 =2x^5 - 12x^3+ 10x^2 =2(2x^4 - 12x^2 + 10x)- 12x^3+ 10x^2
</math>
<math>\displaystyle
=2(2(2x^3 - 12x + 10 )- 12x^2 + 10x)- 12x^3+ 10x^2
</math>




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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.286, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-21

\(\begingroup\)
2018-04-20 00:55 - ochen in Beitrag No. 285 schreibt:
Es ist
<math>\displaystyle x^4 =2x^3 - 12x + 10</math>,
<math>\displaystyle x^5 =2x^4 - 12x^2+ 10x =2(2x^3 - 12x + 10)- 12x^2+ 10x</math>
<math>\displaystyle x^6 =2x^5 - 12x^3+ 10x^2 =2(2x^4 - 12x^2 + 10x)- 12x^3+ 10x^2
</math>
<math>\displaystyle
=2(2(2x^3 - 12x + 10 )- 12x^2 + 10x)- 12x^3+ 10x^2
</math>


Gut danke:)


Zum Thema primitives Element fragte ich mich grade:
Sei $\displaystyle\mathbb \alpha=-\frac{1+i\sqrt3}{2}$ eine primitive 3. E-wurzel.

1) $\displaystyle\mathbb Q(i)$
2) $\displaystyle\mathbb Q(\sqrt3)$
3) $\displaystyle\mathbb Q(i+\sqrt3)$
4) $\displaystyle\mathbb Q(i,\sqrt3)$
5) $\displaystyle\mathbb Q(\alpha)$
6) $\displaystyle\mathbb Q(i\sqrt3)$

Was ist die größte Körpererweiterung von Q und wie sind die teilmengen beziehungen?



\(\endgroup\)


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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.287, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-22

\(\begingroup\)
2018-04-21 19:32 - juergen007 in Beitrag No. 286 schreibt:



Sei $\displaystyle\mathbb \alpha=-\frac{1+i\sqrt3}{2}$ eine primitive 3. E-wurzel.

1) $\displaystyle\mathbb Q(i)$
2) $\displaystyle\mathbb Q(\sqrt3)$
3) $\displaystyle\mathbb Q(i+\sqrt3)$
4) $\displaystyle\mathbb Q(i,\sqrt3)$
5) $\displaystyle\mathbb Q(\alpha)$
6) $\displaystyle\mathbb Q(i\sqrt3)$

Was ist die größte Körpererweiterung von Q und wie sind die teilmengen beziehungen?

Jedenfalls sind $\displaystyle\mathbb Q(\alpha)$ und $\displaystyle\mathbb Q(i)$ disjunkt "bis auf Q" meine ich, obwohl $\displaystyle\mathbb Q(\alpha)$ "vielfache" von i enthält zB $i\sqrt3$ aber nicht $3i$ und gar keine rationalen vielfachen von i und nicht mal i selber meine ich.

Der Grad von i ist ja =4 und der von $\alpha$ ist 2.
\(\endgroup\)


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DavidM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.288, eingetragen 2018-04-22

\(\begingroup\)
Falls du mit Grad den Grad der Körpererweiterung meinst (oder den Grad des Minimlapolynoms, das ist dasselbe), dann ist der Grad von $i$ auch zwei, denn $i$ ist ja Nullstelle von $x^2+1 \in \mathbb{Q}[x]$.
Ansonsten gelten folgende Beziehungen für deine Körpererweiterungen:
$\mathbb{Q}(i \sqrt{3})=\mathbb{Q}(\alpha) \subsetneq \mathbb{Q}(i, \sqrt{3})=\mathbb{Q}(i+\sqrt{3})$
$\mathbb{Q}(i) \subsetneq \mathbb{Q}(i,\sqrt{3})$
$\mathbb{Q}(\sqrt{3}) \subsetneq \mathbb{Q}(i,\sqrt{3})$

2018-04-22 18:21 - juergen007 in Beitrag No. 287 schreibt:

Jedenfalls sind $\displaystyle\mathbb Q(\alpha)$ und $\displaystyle\mathbb Q(i)$ disjunkt "bis auf Q" meine ich, obwohl $\displaystyle\mathbb Q(\alpha)$ "vielfache" von i enthält zB $i\sqrt3$ aber nicht $3i$ und gar keine rationalen vielfachen von i und nicht mal i selber meine ich.


Richtig.
\(\endgroup\)


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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.289, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-22


a ok thx mein Missverstaendnis war dass i eine 4te primitive einheitswurzel ist aber als algebraische zahl den Grad 2 hat, was man an dem Minimalpolynom sieht



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.290, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-23

\(\begingroup\)
Aufgabe 3.6.3. Finde ein primitives Element zu i und $\sqrt[3]{2}$.

Das ist dann meine ich $i+\sqrt[3]{2}$.

Aufgabe 3.6.4. Drücke √2 und √3 als Polynome in √2+√3 mit rationalen Koeffizienten aus.
Aufgabe 3.6.5. Zeige mit elementaren Methoden direkt über den Ansatz √2 = a + b√3 mit rationalen Zahlen a und b, daß √2 keine in √3 rationale Zahl ist.

sind ähnliche Probleme.. wer möchte..

"daß √2 keine in √3 rationale Zahl ist." heisst ja dass √2 nicht in $\IQ(\sqrt3)$ enthalten ist. Der Begriff Körpererweiterung wird noch nicht benutzt. Erst in Kapitel 8 leider.

weiter:
Aufgabe 3.6.7. Sei f(X) ein Polynom rationalen Koeffizienten. Zeige, daß eine algebraische Zahl y existiert, so daß f(X) über y vollständig in Linearfaktoren zerfällt.

Heißt das nicht, dass alle Polynom mit rationalen Koeffizienten immer eine algebraische Lösung in irgendeinem Erweiterungskörper haben?
Was mich wieder zu der Frage bringt: sind algebraische Zahlen immer Radikale? In den Artikel sind "Radikale" "Radikalerweiterungen" und "Erweiterungskörper" nicht eingeführt. Ich lass das aber mal so stehen.




Anm.: wenn man als "irgendein Erweiterungskörper " auch $\IC$ zulässt dann gibt es natürlcih immer Lösungen nach dem Fundamentalsatz.

\(\endgroup\)


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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.291, eingetragen 2018-04-25


Hallo,

bei der ersten Aufgabe hast du vermutlich recht, aber es lässt sich bestimmt auch elementar zeigen.

2018-04-23 18:38 - juergen007 in Beitrag No. 290 schreibt:

Aufgabe 3.6.4. Drücke √2 und √3 als Polynome in √2+√3 mit rationalen Koeffizienten aus.

Sei <math>\alpha=\sqrt 2 + \sqrt 3</math>, so gilt <math>\displaystyle
\alpha^3 = 2\sqrt 2+3\cdot 2\cdot \sqrt 3 + 3\cdot \sqrt 2 \cdot 3 +3\sqrt 3 = 11\sqrt 2+9\sqrt 3.</math>

So folgt
<math>\displaystyle  11\alpha - \alpha^3 = 2\sqrt 3 </math> und <math>\displaystyle  9\alpha - \alpha^3 = -2\sqrt 2.</math>

Also ist
<math>\displaystyle  \sqrt 3 = \frac{11}{2}\alpha - \frac{1}{2}\alpha^3</math> und <math>\displaystyle \sqrt 2=\frac{1}{2}\alpha^3 - \frac{9}{2}\alpha.</math>

2018-04-23 18:38 - juergen007 in Beitrag No. 290 schreibt:

Aufgabe 3.6.5. Zeige mit elementaren Methoden direkt über den Ansatz √2 = a + b√3 mit rationalen Zahlen a und b, daß √2 keine in √3 rationale Zahl ist.

Angenommen, es gäbe rationale Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> mit <math>\sqrt 2 =a+b\sqrt 3</math>, so folgt <math>2=a^2+2ab\sqrt 3+3b^2</math> und somit <math>2-a^2-3b^2=2ab\sqrt 3</math>.
Wenn <math>ab\neq 0</math> ist, so steht links eine rationale Zahl und rechts eine irrationale.
Wenn <math>a=0</math> ist, folgt <math>b^2=\frac 23</math>. Wenn <math>b=0</math> ist, folgt <math>a^2=2</math>.



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.292, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-25


2018-04-25 11:37 - ochen in Beitrag No. 291 schreibt:
Hallo,


Sei <math>\alpha=\sqrt 2 + \sqrt 3</math>, so gilt <math>\displaystyle
\alpha^3 = 2\sqrt 2+3\cdot 2\cdot \sqrt 3 + 3\cdot \sqrt 2 \cdot 3 +3\sqrt 3 = 11\sqrt 2+9\sqrt 3.</math>

So folgt
<math>\displaystyle  11\alpha - \alpha^3 = 2\sqrt 3 </math> und <math>\displaystyle  9\alpha - \alpha^3 = -2\sqrt 2.</math>

Also ist
<math>\displaystyle  \sqrt 3 = \frac{11}{2}\alpha - \frac{1}{2}\alpha^3</math> und <math>\displaystyle \sqrt 2=\frac{1}{2}\alpha^3 - \frac{9}{2}\alpha.</math>



Ja super Lösung, sah irgendwie einfacher aus ;)

Ich stelle noch mal meine Frage ein komme mir komisch vor aber aus #290 ist mir nicht klar:


sind algebraische Zahlen immer Radikale? (geschachtelte Wurzelausdrücke)

Wahrscheinlich nicht, denn das würde Abels Nichtexistenzbeweis widersprechen oder? Wie aber sieht dann  eine algebraische Zahl aus die kein Radikal ist und logischerweise auch nicht transzendent?
Hoffe jedem ist der Begriff Radikal bekannt. sonst siehe wikipedia.

Thx



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DavidM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.293, eingetragen 2018-04-25

\(\begingroup\)
2018-04-25 13:26 - juergen007 in Beitrag No. 292 schreibt:

Ich stelle noch mal meine Frage ein komme mir komisch vor aber aus #290 ist mir nicht klar:


sind algebraische Zahlen immer Radikale? (geschachtelte Wurzelausdrücke)

Wahrscheinlich nicht, denn das würde Abels Nichtexistenzbeweis widersprechen oder? Wie aber sieht dann  eine algebraische Zahl aus die kein Radikal ist und logischerweise auch nicht transzendent?
Hoffe jedem ist der Begriff Radikal bekannt. sonst siehe wikipedia.

Thx



Nein, natürlich ist nicht jede algebraische Zahl durch Wurzeln darstellbar.
Gegenbeispiele sind die (komplexen) Nullstellen des Polynoms $x^5-4x+2$. Diese Nullstellen sind natürlich algebraisch und mit Galois-Theorie kann man zeigen, dass das Polynom nicht durch Radikale auflösbar ist, die Nullstellen also keine Radikale sind.

Beantwortet das deine Frage?
\(\endgroup\)


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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.294, eingetragen 2018-04-25


Hallo Jürgen,

algebraische Zahlen, die nicht durch Radikale darstellbar sind, wären dann ja zB die Lösungen der Gleichungen 5.Grades, die nicht durch radikale lösbar sind ( und die ja, von ungeradem Grad, immer mindestens eine reale Lösung haben ).

Um es eindeutig zu machen müsste man dann neben der definierenden Gleichung noch ein Intervall angeben, falls es mehrere reale Lösungen gibt. Also zB die Lösung von

fed-Code einblenden

Man kann dann ja zB mit dem Newton Verfahren eine Folge angeben, die gegen diese Zahl konvergiert.

Witzigerweise ist offenbar auch noch ungeklärt, ob pi+e algebraisch ist (siehe Wikipedia).

Grüsse aus dem Harz
Gerhard/Gonz

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.292 begonnen.]


-----------------
to fight! (Don Quijote de la Mancha)



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.295, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-25

\(\begingroup\)
2018-04-25 14:04 - DavidM in Beitrag No. 293 schreibt:
2018-04-25 13:26 - juergen007 in Beitrag No. 292 schreibt:

Ich stelle noch mal meine Frage ein komme mir komisch vor aber aus #290 ist mir nicht klar:


sind algebraische Zahlen immer Radikale? (geschachtelte Wurzelausdrücke)

Wahrscheinlich nicht, denn das würde Abels Nichtexistenzbeweis widersprechen oder? Wie aber sieht dann  eine algebraische Zahl aus die kein Radikal ist und logischerweise auch nicht transzendent?
Hoffe jedem ist der Begriff Radikal bekannt. sonst siehe wikipedia.

Thx


Nein, natürlich ist nicht jede algebraische Zahl durch Wurzeln darstellbar.
Gegenbeispiele sind die (komplexen) Nullstellen des Polynoms $x^5-4x+2$. Diese Nullstellen sind natürlich algebraisch und mit Galois-Theorie kann man zeigen, dass das Polynom nicht durch Radikale auflösbar ist, die Nullstellen also keine Radikale sind.

Beantwortet das deine Frage?

Ja an sich schon:) Wenn alle algebraischen Zahlen in Wurzeln darstellbar wären, hätten Abel Unrecht und wäre Galois überflüssig.
Jedoch dachte ich:

Sind alle komplexen Zahlen algebraische Zahlen, die nicht Radikale sind? Kaum. Oder nur eine Teilmenge von $\IC$ die sich irgendwie charakterisieren lässt?
Nach dem Fundamentalsatz der Algebra gibt es immer zumindest eine komplexe Lösung eine Polynoms mit algebraischen Koeffizienten.

Gilt aber umgekehrt auch: ist jede komplexe Zahl in diesem Sinne Lösung eine Polynoms in algebraische Zahlen?

Sicher nicht.Z.B.  $x=\sin(73^\circ)$ ist nicht algebraisch, es gibt kein Polynom mit x als Nullstelle, aber x ist reell.

Das wäre ein Beispiel einer nicht algebraischen Zahl in $\IC$ oder $\IR$

Ich weiss auch nicht ob das "wichtig" ist.

Wenn ich  $\mathbb X$ den Körper aller algebraischen Zahlen nenne:

Mir fehlt da so ein Diagramm, wie sich  $\IQ,\IZ, \IR, \mathbb A, \mathbb X$ zueinander verhalten.

Eben weiss ich auch nicht ob und wie zu Zeiten Galois´ der Begriff reelle Zahl definiert war.

Es gibt also Zwischenkörper zwischen algebraischen und komplexen Zahl wie x,  in dem zB Logarithmen usw liegen.


Was hier noch fehlt ist Algebraischer Abschluss.
\(\endgroup\)


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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.296, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-26

\(\begingroup\)
ok, ich las das mal so stehen und gehe mal weiter mit

Aufgabe 4.1.5. Wieviele galoissch Konjugierte hat $x1 = \sqrt[3]{1+\sqrt2}$? (und wie sehen die aus)

Aufgabe 4.1.6. Seien p und q zwei verschiedene Primzahlen. Berechnen Sie die galoissch Konjugierten von $\sqrt{p} + \sqrt{q}$.

Um danach endlich zum Thema
4.2. Die Galoissche Gruppe einer Gleichung
zu kommen.

Eine noch recht simple Aufgabe auf Seite 130 ist

Aufgabe 4.2.2. Sei n eine natürliche Zahl. Sei σ diejenige n-stellige Permutation, welche 1 auf 2, 2 auf 3, . . . und schließlich n−1 auf n und n auf 1 abbildet. Berechne ihr Signum in Abhängigkeit von n.

Beachte auch den Unterschied Symmetriegruppen der ebenen und räumlichen
Figuren bzw. entsprechender symmetrischer Gruppen.
Ich meine unter Symmetriegruppe einer geometriwschen Figur versteht man auch die sog. Diedergruppe $\mathbb D_{2n}$. Beim Würfel ist n=8.

Löse Aufgabe 4.2.3. Berechne die Symmetriegruppe eines regelmäßigen Fünfecks in der Ebene.
\(\endgroup\)


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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.297, eingetragen 2018-04-26

\(\begingroup\)
2018-04-25 16:05 - juergen007 in Beitrag No. 295 schreibt:
Sicher nicht.Z.B.  $x=\sin(73^\circ)$ ist nicht algebraisch ...
Hi juergen007,
doch, diese Zahl ist algebraisch.
Das Minimalpolynom der Zahl hat allerdings einen ziemlich hohen Grad, vielleicht 60 oder so.
Gruß Buri
\(\endgroup\)


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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.298, eingetragen 2018-04-26


2018-04-26 20:10 - juergen007 in Beitrag No. 296 schreibt:
Aufgabe 4.2.2. Sei n eine natürliche Zahl. Sei σ diejenige n-stellige Permutation, welche 1 auf 2, 2 auf 3, . . . und schließlich n−1 auf n und n auf 1 abbildet. Berechne ihr Signum in Abhängigkeit von n.

Wir können die Permutation mit n-1 (Nachbarschafts-)Transpositionen erreichen. Das bedeutet, dass das Signum der Permutation <math>(-1)^{n-1}</math> ist.

2018-04-26 20:10 - juergen007 in Beitrag No. 296 schreibt:
Löse Aufgabe 4.2.3. Berechne die Symmetriegruppe eines regelmäßigen Fünfecks in der Ebene.
Wenn wir die Ecken von 1 bis 5 durchnummerieren, gibt es 5 mögliche Spiegelungen und 5 mögliche Drehungen (inklusive der Identität).
Erzeugt werden sie durch die Spieglung (1,2)(3,5) und die Drehung (1,2,3,4,5)



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.299, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-27

\(\begingroup\)
2018-04-26 20:48 - ochen in Beitrag No. 298 schreibt:
Wenn wir die Ecken von 1 bis 5 durchnummerieren, gibt es 5 mögliche Spiegelungen und 5 mögliche Drehungen (inklusive der Identität).
Erzeugt werden sie durch die Spieglung (1,2)(3,5) und die Drehung (1,2,3,4,5)

Genau.
In der nächsten Aufgabe 4.2.4. Berechne die Symmetriegruppe eines regelmäßigen n-Ecks in der Ebene.

kann man ja auch sagen: es gibt n Drehungen.
An sich so mal ganz naiv  wink gibt es ja bei geraden n 2n Spiegelungen, also an allen Eck-Diagonalen und an allen Mittelsenkrechten der n Seiten..
Ich lass das mal so stehn und suche mal n gutes Bild mit google oder wer anders.
oops ich seh grad es gibt beim 8 Eck nur 4 Spiegelungen des ersten Typs und 4 des zweiten Typs.
hat sich erledigt  biggrin

Nächste
Aufgabe 4.2.9. Seien σ und τ Symmetrien der Nullstellen $x1,\ldots,xn$ eines normierten separablen Polynoms. Zeige, daß $τ · (σ · x) = (τ ◦ σ)$x.

wobei nicht klar ist was x sein soll...jedes x des Polynomrings?

\(\endgroup\)


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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.300, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-28

\(\begingroup\)
2018-04-27 12:53 - juergen007 in Beitrag No. 299 schreibt:

Nächste
Aufgabe 4.2.9. Seien σ und τ Symmetrien der Nullstellen $x1,\ldots,xn$ eines normierten separablen Polynoms. Zeige, daß $τ · (σ · x) = (τ ◦ σ)$x.

wobei nicht klar ist was x sein soll...jedes x des Polynomrings?


würde mich freuen wenn ich eine Antwort und ein beispiel kriege.

und auf


Sind alle komplexen Zahlen algebraische Zahlen, die nicht Radikale sind? Kaum. Oder nur eine Teilmenge von $\IC$ die sich irgendwie charakterisieren lässt?

Etwa ab 4.4. Galoissche Resolventen bin ich ziemlich ratlos ob ich mich da durchwühlen kann...geb ich zu

\(\endgroup\)


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juergen007
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2018-04-28 04:58 - juergen007 in Beitrag No. 300 schreibt:
2018-04-27 12:53 - juergen007 in Beitrag No. 299 schreibt:

Aufgabe 4.2.9. Seien σ und τ Symmetrien der Nullstellen $x1,\ldots,xn$ eines normierten separablen Polynoms. Zeige, daß $τ · (σ · x) = (τ ◦ σ)$x.




Das ist in Seite 131 4.10. erklaert:

4.3. Über Invarianten der Galoisschen Wirkung.
Seien $x1,\ldots,xn$ die Nullstellen eines normierten separablen Polynoms über den rationalen Zahlen. Sei z ein in $x1,\ldots,xn$ rationaler Ausdruck, das heißt also, wir können $z = F(x1,\ldots,xn)$ (4.10) für ein Polynom $F(X1,\ldots,Xn)$ mit rationalen Koeffizienten schreiben.
Sei σ ein Element der Galoisschen Gruppe G von $x1,\ldots,xn$, das heißt eine Permutation der Nullstellen, welche alle algebraischen Relationen der Nullstellen über den rationalen Zahlen erhält.

Unter Galoisschen Wirkung ist hier, wie ich es lernte die Wirkung einer Gruppe auf eine Menge dargestellt. Hier wirkt die Galoisgruppe mittels Permutationen auf rationale Ausdrücke in den Nullstellen eines Polynoms, die einen Ring in Q bilden mit den Nullstellen als Koeffizienten. An sich ist $V[x1,\ldots,xn]$ ein Ideal in Polynomring $Q[x]$. Ich weiss nicht ob ich letzteres richtig geschrieben habe.

$τ · (σ · x) = (τ ◦ σ)$x. heisst, so verstehe ich das, nur dass wir erst 2 Permutatione der Galoisgruppe verknüpfen können und auf ein x aus $V[x1,\ldots,xn]$ anwenden oder erst die eine dann die nächste usw.Reihenfolge der  σ τ ist aber nicht beliebig. Bitte mich zu berichtigen, falls nötig wink
Nicht glasklar ist die notwendigkeit der Separabilitaet und Normiertheit, der Leitkoeffizient kann doch $a_n \ne 1 $ sein?
Ich muss mal rückwärs kucken wie er den Begriff Galoisgruppe einführte.
bitte um rege Beteiligung:)



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juergen007
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Ich krieg hier so wenig Rückmeldung dass ich nicht weiss, wo der wissensstand der Mit bewohner ist.. wink

Aufgabe 4.4.2. Gib eine Galoissche Resolvente für das Polynom $f(X) = X^2 + X + 1$ an.

Eine Nullstelle ist ja die bekannte 3 te primitive Einheitswurzel $\xi$.

Eine Galoissche Resolvente wäre ja zB $3\xi+2\xi^2$ oder beliebige andere
$m\xi+n\xi^2$.
Jedoch entgeht mir der Sinn dieser Resolventen, nur dass sie unter allen Permutationen der Nullstellen variieren. Was ist damit gewonnen?

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a-gon
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Aaaalso... ich bin noch nicht ganz soweit. Aber ich versuche es mal.

Dass die Nullstellen der gegebenen Gleichungen zwei der dritten Einheitswurzeln sind, erkennt man daran, dass

(X-1)(X^2+X+1) = X^3-1

Da die rechte Seite die dritten Einheitswurzeln als Nullstellen hat, muss der zweite Faktor auf der linken Seite beim Einsetzen der beiden anderen Einheitswurzeln Null werden (das wiederhole ich nur der vollständigkeit halber, es dürfte soweit allen klar sein, musste ich mir nur erst nochmal verdeutlichen).

Was ich noch nicht verstehe ist deine Aussage zu der Resolventen.

Also - keine Angst - ich bin noch dabei, wenn auch langsam. Es ist für mich halt eine Art "Hobby" für nebenbei.










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juergen007
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2018-05-02 14:17 - a-gon in Beitrag No. 303 schreibt:
Aaaalso... ich bin noch nicht ganz soweit. Aber ich versuche es mal.

Dass die Nullstellen der gegebenen Gleichungen zwei der dritten Einheitswurzeln sind, erkennt man daran, dass

(X-1)(X^2+X+1) = X^3-1

Da die rechte Seite die dritten Einheitswurzeln als Nullstellen hat, muss der zweite Faktor auf der linken Seite beim Einsetzen der beiden anderen Einheitswurzeln Null werden (das wiederhole ich nur der vollständigkeit halber, es dürfte soweit allen klar sein, musste ich mir nur erst nochmal verdeutlichen).

Was ich noch nicht verstehe ist deine Aussage zu der Resolventen.

Also - keine Angst - ich bin noch dabei, wenn auch langsam. Es ist für mich halt eine Art "Hobby" für nebenbei.

Alles ok freu mich pber Rückmeldung!

Der Begriff Galoissche Resolvente wurde so eingeführt:

Proposition 4.12. Seien x1, . . . , xn die Nullstellen eines normierten separablen Polynoms f(X). Ist dann $V(X1,\ldots, Xn)$ ein derartiges Polynom, daß die Werte $t_σ = V (xσ(1),\ldots,xσ(n))$ für jede n-stellige Permutation σ unterschiedlich sind, so ist $t =V (x1,\ldots,xn)$ ein primitives Element zu $x1,\ldots, xn$.

Ein solches Polynom $V(X1,\ldots, Xn)$ heißt Galoissche Resolvente von f(X).

Mir ist auch der Unterschied nicht ganz klar Galoissche Resolvente von f(X). bzw primitives Element zu $x1,\ldots,xn$.

Bei $f(x)=(x^2-3)(x^2-2)$ sind die Nullstellen $\pm\sqrt2,\sqrt\pm3$ und ein primititivese element zu diesen ist $\sqrt2+\sqrt3$ aber auch  $\sqrt2-\sqrt3$. Es gibt mehrere.
Was jetzt "die" Galoissche Resolvente von f(X) ist und ob die eindeutig ist, hab ich auch nich verstanden.
Eine Galoissche Resolvente könnte im obigen Beispiel sein $f(x)=(x-m\xi)(x-n\xi^2)(x-p)$ wenn ich das recht verstand...ausser $m,n,p=1$.
Wäre dankbar, wenn da jemand anders was zu sagen könnte.

Galoissche Resolvente sind offenbar die rationalen Ausdrücke die nicht festbleiben unter Operationen der Galoigruppen...
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juergen007
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Mangels Interesse und ausbleibenden Antworten beende ich diesen Thread
Danke
Euer Jürgen
PS Habe viel über algebraische Zahlen u.a. gelernt.



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a-gon
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Schade.



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juergen007 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
juergen007 hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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