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Moderiert von Buri Gockel
Mathematik » Strukturen und Algebra » Anzahl Elemente bestimmter Ordnungen in endlichen Gruppen
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Universität/Hochschule J Anzahl Elemente bestimmter Ordnungen in endlichen Gruppen
BachBach
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-03-13

\(\begingroup\)
Hallo,

mir ist leider nicht klar wie ich die Anzahl der Elemente in einer endlichen Gruppen der Form \(\mathbb{Z}_{n_1} \times \mathbb{Z}_{n_2} \times \ldots  \mathbb{Z}_{n_t} \), wobei \(t \in \mathbb{Z}_{> 0}\) bestimme. Dabei ist \(n_i\) nicht unbedingt eine Primzahl.

Hierbei ist mir nicht ganz klar ob ich jede Gruppe einzeln betrachte oder gemeinsam?
Normalerweise wenn ich eine Gruppe gegeben habe, schaue ich mir die p-Sylowuntergruppen an und versuche das kombinatorisch zu lösen. Dabei sind die Gruppen allerdings immer in der Form \(\mathbb{Z}_n \)

Konkretes Beispiel fuer mein Problem:
\( \mathbb{Z}_{105} \times \mathbb{Z}_{135}\)
Bestimme die Anzahl der Elemente der Ordnung 5.

Zur Verfügung stehen mir die (ich nehme an) Standardsätze (Sylow, Lagrange,..).

Viele Gruesse BachBach
\(\endgroup\)


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darkhelmet
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Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-03-13

\(\begingroup\)
Hi,

das kannst du dir leicht selbst beantworten:

Sei $(x,y)\in\mathbb{Z}_{105}\times\mathbb{Z}_{135}$. Dann gilt: $(x,y)$ hat Ordnung $5$ $\Leftrightarrow$ $(x,y)\neq 0$ und $5\cdot(x,y)=0$. Die letzten zwei Bedingungen kannst du leicht in äquivalente Bedingungen für $x$ und $y$ getrennt umschreiben.
\(\endgroup\)


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BachBach
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-13

\(\begingroup\)
Hallo darkhelmet,

Danke fuer die Antwort.

Das heisst ich bestimme zunächst die Anzahl der Elemente der Ordnung 5 in beiden Gruppen und kombiniere diese dann?

Als Beispiel habe ich in \(\mathbb{Z}_{105}\): eine 5-Sylowgruppe und damit abzüglich des neutralen Elementes 4 Elemente der Ordnung 5.

Dasselbe mache ich fuer  \(\mathbb{Z}_{135}\). Jetzt habe ich also in jeder Gruppe 4 Elemente der Ordnung 5. Jetzt kann ich die miteinander kombinieren und erhalte 16 (?) Elemente der Ordnung 5 in \(\mathbb{Z}_{105} \times \mathbb{Z}_{135}\). Ist das korrekt (Habe das Gefühl da passt was noch nicht)?

EDIT: ich muss auch noch jeweils die \((x, 0)\) und \((0, y)\) zählen denke ich mal, das liefert mir dann bereits 24 Elemente.
\(\endgroup\)


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darkhelmet
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Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-03-14

\(\begingroup\)
2018-03-13 19:41 - BachBach in Beitrag No. 2 schreibt:
Als Beispiel habe ich in \(\mathbb{Z}_{105}\): eine 5-Sylowgruppe und damit abzüglich des neutralen Elementes 4 Elemente der Ordnung 5.

Das habe ich jetzt nicht überprüft (ist zu lange her bei mir).

2018-03-13 19:41 - BachBach in Beitrag No. 2 schreibt:
EDIT: ich muss auch noch jeweils die \((x, 0)\) und \((0, y)\) zählen denke ich mal, das liefert mir dann bereits 24 Elemente.

Genau.
\(\endgroup\)


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