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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Ein Kriterium für Gal(f)=S_n
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Universität/Hochschule Ein Kriterium für Gal(f)=S_n
Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-03-15


Hallo zusammen,

aus der Diskussion um Galoisgruppen habe ich mittlerweile zwei Aussagen mit Beweisen versehen. Hier würde ich mich über Anmerkungen, Meinungen und natürlich Korrekturen der - hoffentlich wenigen - Fehler freuen.

Sei \(f\in K[X]\) ein normiertes, separables Polynom und K ein Körper mit Charakteristik 0, L Zerfällungskörper und \(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in L\) die Nullstellen von f. Dann gibt es einen Einsetzungshomomorphismus.
\[\varphi:K[X_1,\ldots,X_n]\to L, p\mapsto p(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\]
In dieser Konstruktion lassen sich 3 Instanzen der Galoisgruppe \(Gal(f)\) wieder finden. Zunächsts \(Gal(f):=Aut_K(L)\), dann als Untergruppe der Permutationsgruppe \(Gal(f)\subset S(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\) und schließlich als Automorphismen \(Gal(f)\subset S(X_1,\ldots,X_n)\subset Aut_K(K[X_1,\ldots,X_n])\)

Aussage 1: Für ein \(\sigma\in S_n\) gilt: \(\sigma\in Gal(f)\iff\forall p\in ker(\varphi): p^\sigma\in ker(\varphi)\)

Über die Darstellung \(f=\sum a_k X^k = \prod(X-\alpha_l)\) und einen Koeffizientenvergleich wird ein Ideal \(J:=<s_0-a_0,\ldots,s_{n-1}-a_{n-1}>\subset K[X_1,\ldots,X_n]\) definiert, wobei \(s_n\) ein geeignetes elementarsymmetrisches Polynom bezeichnet, z.B. für \(f=X^3+2X^2+3\) erhält man \(J=<X_1X_2X_3-3,X_1X_2+X_1X_3+X_2X_3,X_1+X_2+X_3-2>\)

Aussage 2: \(Gal(f)=S_n\iff J=ker(\varphi)\)

Diese beiden Ausagen geben einen Hinweis darauf, dass die Struktrur von \(Gal(f)\) - oder genauer von \(S_n\backslash Gal(f)\) - sich in den Idealen zwischen \(J\) und \(ker(\varphi)\) wiederspiegelt. Daher könnte es sinnvoll sein, die Idealstruktur von \(R:=K[X_1,\ldots,X_n]/ker(\varphi)\) oder einer geeigneten Lokalisierung, die das maximale Ideal \(ker(\varphi)\) erhält, genauer zu untersuchen.


Beweis von Aussage 1:
\(\forall p\in ker(\varphi): p^\sigma\in ker(\varphi)\) läßt sich etwas schöner als \(\sigma^*(ker(\varphi))\subset ker(\varphi)\) schreiben, wobei "*" hier anzeigt, dass \(\sigma^*\in Gal(f) \subset Aut_K K[X_1,\ldots X_n]\) gemeint ist.

Zum Beweis betrachten wir folgendes Diagramm:
\[\require{xypic}
\begin{xy}
\xymatrix {
 K[X_1,\ldots,X_n] \ar[d]^\tau \ar[r]^\varphi & L \ar[d]_\sigma \\
 K[X_1,\ldots,X_n] \ar[r]^\varphi & L
}
\end{xy}\] Wenn wir mit einem \(\sigma\in Aut_K(L)\) starten, so gilt \(\sigma(\varphi(X_i))=\varphi(\sigma^*(X_i))\), d.h. für \(\tau=\sigma^*\) kommutiert das Diagramm. Daher gilt \(ker(\varphi\circ\sigma^*) = ker(\sigma\circ\varphi)=ker(\varphi)\), da \(\sigma\) injektiv ist.
Wenn wir ein \(\tau^*\in S(X_1,\ldots X_n)\) vorgeben, so erhält man aus \(\tau^*(ker(\varphi))\subset ker(\varphi)\) mittels Homomorphiesatz einen Ringhom. \(\sigma:L\to L\), der automatsich ein Körperautomorphismus ist. Eine Auswertung auf den \(X_i\) ergibt dann \(\tau*\in Gal(f)\). QED

Den vollständigen Beweis zu 2) gibt es erst morgen, daher zunächst nur ein grober Fahrplan:
\(Gal(f)=S_n\Leftarrow J=ker(\varphi)\) folgt direkt aus 1).
\(\Rightarrow\):
a) Ein \(p\in ker(\varphi)\) läßt sich als Linearkombination symmetrischer Polynome darstellen - die Koeffizient sind dabei aus dem Polynomring. Hier geht auch Char(K) = 0 ein.
b) Ein symmetrisches Polynome aus \(ker(\varphi)\) liegt bereits in \(J\)



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-16


Nun gibt es den Beweis zu 2). Dieser ist leider etwas länger ausgefallen.

Beweis zu 2): \(J\subset ker(\varphi)\) ist immer gegeben. Da \(J\) von symmetrischen Polynomen erzeugt wird, folgt mit 1) aus \(J=ker(\varphi)\) bereits \(Gal(f)=S_n\). Sei also im folgenden \(Gal(f)=S_n\) und \(J\subset ker(\varphi)\), zu zeigen \(J=ker(\varphi)\).

Für eine symmetrisches Polynom \(p\in K[X_1,\ldots,X_n]^{S_n}\cap ker(\varphi)\) gibt es Polynome \(q,q'\in K[Y_1,\ldots,Y_n]\), s.d. \(p(X_1,\ldots,X_n)=q(s_0,\ldots,s_{n-1}) = q'(s_0-a_0,\ldots,s_{n-1}-a_{n-1})\). Sei \(c\in K\) der konstante Term von q'. Aus \(q'(s_0-a_0,\ldots,s_{n-1}-a_{n-1})-c\in J\subset ker(\varphi)\) und \(q'(s_0-a_0,\ldots,s_{n-1}-a_{n-1})=p\in ker(\varphi)\) folgt \(c\in ker(\varphi)\). Mit \(ker(\varphi)\neq K[X_1,\ldots,X_n] \Rightarrow ker(\varphi)\cap K =\{0\}\) erhält man \(c=0\), d.h. \(p\in J\)

Nun zum allgemeinen Fall: z.z.:\(p\in ker(\varphi)\Rightarrow p\in J\). Den Beweis führe ich über vollständige Induktion nach \(grad(p)\). Aus \(ker(\varphi)\cap K =\{0\} = J \cap K\) folgt der Induktionsanfang.

Induktionsschritt: Aus \(Gal(f)=S_n\) folgt \(p^\sigma\in ker(\varphi)\ \forall \sigma\in S_n\). \(p\) läßt sich darstellen als(\(char(K)=0\)):
\[ n!\cdot p = \sum_{\sigma\in S_n} p^\sigma - \sum_{\sigma\in S_n}(p-p^\sigma)\]
\(\sum_{\sigma\in S_n} p^\sigma\) ist symmetrisch und somit bereit in \(J\). Es bleibt z.z. \(p-p^\sigma\in J\). Eine Permutation läßt sich als Produkt von Transpositionen schreiben. Daher erhält man zu einem gegebenen \(\sigma\) eine Folge von Permutationen \(id_{S_n}=\sigma_0,\ldots,\sigma_l=\sigma\), s.d. zwei benachbarte Permutationen sich nur um eine Transposition unterscheiden, und folgende Gleichung:
\[p-p^\sigma = \sum_{k=0}^{l-1}(p^{\sigma_k}-p^{\sigma_{k+1}})\] Die einzelnen Summanden haben die Gestalt \(q-q^{(ab)}\). Durch Betrachtung der Monome ((\(X^n-Y^n)/(X-Y)\) ist wieder ein Polynom) erhält man die Darstellung \(q-q^{(ab)}=(X_a-X_b)\cdot q'\) mit \(grad(q')<grad(q)\). Aus der Separabilität von f folgt \(X_a-X_b\not\in ker(\varphi)\). Da \(ker(\varphi)\) ein Primideal ist, gilt \(q'\in ker(\varphi)\).

Jetzt können wir die Induktionsvorraussetzung anwenden und erhalten \(q'\in J\Rightarrow p-p^\sigma\in J\Rightarrow p\in J\).QED

Bemerkung zum Beweis. Im Fall von zwei Variablen fällt der - mittlerweile doch etwas längliche Beweis - zu einem Einzeiler zusammen, d.h. hier hat man die Gleichung \(2p=(p+p^{(12)})-(p-p^{(12)})\) und \(\frac{p-p^{(12)}}{X_1-X_2}\) ist bereits ein symmentrisches Polynom. Mir ist es nicht gelungen, diese Formel in einer halbwegs einfachen Art und Weise auf n Variablen zu übertragen. Insbesondere bin ich daher sehr an einer Vereinfachung des Beweises interessiert.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-09-18


Weil dir nach 1,5 Jahren immer noch keiner geantwortet hat, mache ich das halt. :)

2018-03-15 22:40 - TomTom314 im Themenstart schreibt:
Sei \(f\in K[X]\) ein normiertes, separables Polynom und K ein Körper mit Charakteristik 0,

In Char. 0 bekommt man Separabilität gratis.

In dieser Konstruktion lassen sich 3 Instanzen der Galoisgruppe \(Gal(f)\) wieder finden. Zunächsts \(Gal(f):=Aut_K(L)\), dann als Untergruppe der Permutationsgruppe \(Gal(f)\subset S(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\) und schließlich als Automorphismen \(Gal(f)\subset S(X_1,\ldots,X_n)\subset Aut_K(K[X_1,\ldots,X_n])\)

Besser wäre es, von genau einer Galoisgruppe auszugehen, und die anderen Identifikationen dann auch zu benennen (wird ja auch im Beweis weiter unten benötigt). Also für $\sigma \in \mathrm{Gal}(f) := \mathrm{Aut}_K(L)$ etwa die Einschränkung auf $N=\{\alpha_1,\dotsc,\alpha_n\}$ mit $\sigma|_N$ zu bezeichnen, und die Fortzsetzung auf den Polynomring mit $\overline{\sigma}$. Die zu $\mathrm{Gal}(f)$ isomorphe Untergruppe von $\mathrm{Aut}_K(K[X_1,\dotsc,X_n])$ sei dann entsprechend $\overline{\mathrm{Gal}(f)}$.

Aussage 1: Für ein \(\sigma\in S_n\) gilt: \(\sigma\in Gal(f)\iff\forall p\in ker(\varphi): p^\sigma\in ker(\varphi)\)

Über die Darstellung \(f=\sum a_k X^k = \prod(X-\alpha_l)\) und einen Koeffizientenvergleich wird ein Ideal \(J:=<s_0-a_0,\ldots,s_{n-1}-a_{n-1}>\subset K[X_1,\ldots,X_n]\) definiert,

Zum Verständnis hätte es mir geholfen, wenn du hier gesagt hättest, dass man im Koeffizientenvergleich die $ \alpha_l$ durch $X_l$ ersetzt.

Außerdem scheint es mir, dass du hier Vorzeichen vergessen hast. Es gilt ja $s_i(\alpha_1,\dotsc,\alpha_n) = (-1)^i a_i$.

Aussage 2: \(Gal(f)=S_n\iff J=ker(\varphi)\)

Das ist zumindest intuitiv einleuchtend, weil ja die Galoisgruppe die algebraischen Relationen zwischen den Nullstellen wiederspiegelt, die Relationen in $J$ aber sowieso gelten. Die Galoisgruppe ist also genau dann die volle symmetrische Gruppe, wenn es keine weiteren Relationen gibt.

Diese beiden Ausagen geben einen Hinweis darauf, dass die Struktrur von \(Gal(f)\) - oder genauer von \(S_n\backslash Gal(f)\) - sich in den Idealen zwischen \(J\) und \(ker(\varphi)\) wiederspiegelt.
 
Ja. Es wäre schön, wenn man hieraus noch eine genauere Aussage machen könnte. Spontan weiß ich aber auch nichts.

Daher könnte es sinnvoll sein, die Idealstruktur von \(R:=K[X_1,\ldots,X_n]/ker(\varphi)\) oder einer geeigneten Lokalisierung, die das maximale Ideal \(ker(\varphi)\) erhält, genauer zu untersuchen.

Dieses $R$ ist ja $L$ und damit ein Körper (du sagst ja selbst, dass der Kern ein maximales Ideal ist), sodass die Idealstruktur wenig bietet. Oder meinst du $R := K[X_1,\dotsc,X_n]/J$? Es scheint mir $R$ eine Art Zerfällungsalgebra von $f$ zu sein.

Beweis von Aussage 1:

Du sagst hier nichts zur Richtung $\Longrightarrow$ scheint mir, aber die ist ja einfach. Aber die Richtung $\Longleftarrow$ ist wirklich nur der Homomorphiesatz.

Ich würde Aussage 1 (mit meinen Notationen oben) so aufschreiben und beweisen:

Für $\tau \in \mathrm{Aut}_K(K[X_1,\dotsc,X_n])$ gilt $\tau \in \overline{\mathrm{Gal}(f)}$ genau dann, wenn $\tau(\ker(\phi)) \subseteq \ker(\phi)$.

Beweis: $\tau \in \overline{\mathrm{Gal}(f)}$ bedeutet, dass es ein $\sigma \in \mathrm{Gal}(f) = \mathrm{Hom}_K(L,L)$ gibt mit $\tau = \overline{\sigma}$, also $\sigma \circ \phi = \phi \circ \tau$. Weil $\phi$ surjektiv ist, gilt dies nach dem Homomorphiesatz (für $K$-Algebren) genau dann, wenn $\ker(\phi) \subseteq \ker(\phi \circ \tau)$. Nun gilt aber $\ker(\phi \circ \tau) = \tau^{-1}(\ker(\phi))$, und die behauptete Äquivalenz folgt. $\checkmark$

Zu deinem Beweis von Aussage 2 komme ich später.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-18


Der Beweis von Aussage 2 ist soweit in Ordnung, und nebenbei gesagt erstaunlich einfallsreich.

Hast du schon herausgefunden, ob die Aussage in Charakteristik $p>0$ überhaupt richtig ist?

Eine Kleinigkeit:

2018-03-16 12:38 - TomTom314 in Beitrag No. 1 schreibt:
$\displaystyle n!\cdot p = \sum_{\sigma\in S_n} p^\sigma - \sum_{\sigma\in S_n}(p-p^\sigma)$

Es gilt $\displaystyle n!\cdot p = \sum_{\sigma\in S_n} p^\sigma + \sum_{\sigma\in S_n}(p-p^\sigma)$. Der restliche Beweis bleibt davon unberührt.

$2p=(p+p^{(12)})-(p-p^{(12)})$

Hier entsprechend: $2p=(p+p^{(12)}) + (p-p^{(12)})$.



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-18


Vielen Dank!

In Char. 0 bekommt man Separabilität gratis.
Soweit ich das sehe, habe ich nirgends "$f$ irreduzibel" verwendet und daher separabel als schwächere Bedingung gefordert.

Die Umbenennung der Gruppen ist eine gute Idee. Bei $\tau \in \mathrm{Aut}_K(K[X_1,\dotsc,X_n])$ bin gedanklich ein wenig darüber gestolpert, dass $\tau(\ker(\phi)) \subseteq \ker(\phi)$ bereits eine Permutation der $X_k$ induziert.


Aussage 1: Für ein \(\sigma\in S_n\) gilt: \(\sigma\in Gal(f)\iff\forall p\in ker(\varphi): p^\sigma\in ker(\varphi)\)

Über die Darstellung \(f=\sum a_k X^k = \prod(X-\alpha_l)\) und einen Koeffizientenvergleich wird ein Ideal \(J:=<s_0-a_0,\ldots,s_{n-1}-a_{n-1}>\subset K[X_1,\ldots,X_n]\) definiert,

Zum Verständnis hätte es mir geholfen, wenn du hier gesagt hättest, dass man im Koeffizientenvergleich die $ \alpha_l$ durch $X_l$ ersetzt.

Außerdem scheint es mir, dass du hier Vorzeichen vergessen hast. Es gilt ja $s_i(\alpha_1,\dotsc,\alpha_n) = (-1)^i a_i$.
Hier habe ich mit einer sehr unorthodoxen Definition der $s_k$ gearbeitet.  Das angefügte Beispiel hat auch Vorzeichenfehler. Ich wollte eigentlich mit dem "Koeffizientenvergleich" auf $J\subset \ker \varphi$ verweisen. Weiter unten sollte es dann \(R:=K[X_1,\ldots,X_n]/J\) heißen. Eine mögliche Richtung wäre, alle $R$ für Polynome vom Grad n simultan über $K^n$ zu betrachten - habe ich nicht weiter verfolgt.

Der Beweis von Aussage 2 ist soweit in Ordnung, und nebenbei gesagt erstaunlich einfallsreich.
Einrahmen und aufhängen! biggrin

Hast du schon herausgefunden, ob die Aussage in Charakteristik $p>0$ überhaupt richtig ist?
Bedaure nein, aber ein gute Frage, um es wieder hervorzuholen. Soweit ich das sehe, benötige ich Char(K)=0 nur in
\[ n!\cdot p = \sum_{\sigma\in S_n} p^\sigma - \sum_{\sigma\in S_n}(p-p^\sigma)\] Für $char(K)\not| \deg(f)$ wäre ein möglicher Ansatz $S_n$ durch  zyklischen Vertauschungen zu ersetzen und irgendwie Frobenius anzuwenden, um den Grad von p zu reduzieren.



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