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Universität/Hochschule Normtopologie verschieden von Initialtopologie
Davils
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-03-17


Seid gegrüßt! Ich habe folgende Aufgabe gestellt bekommen!

fed-Code einblenden



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-03-17


Tipp: Bezüglich der Norm ist jede Translation stetig.



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Davils
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-17


Hmmm, danke fürs mitgrübeln...

Wenn ich also ein Element aus X um y verschiebe hab ich, dass die zusammensetzungen dieser Funktionen (also der Norm und der Translation) stetig ist und somit auch eine Initialtopologie erzeugen... aber ich weis nicht wie ich daraus folgern soll, dass die Topologien verschieden sind.



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-03-17


Hallo Davils,

\(\tau\) wird hier nur durch eine Abbildung definiert. Daher ist das Spiel mit der Subbasis nicht notwendig. Hast Du Dir schon überlegt, wie eine "typische" offene Menge in \(\tau\) aussieht?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-03-18


Fortsetzung meines Tipps: Ist auch jede Translation bezüglich der initialen Topologie stetig?



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Davils
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-18


Hallo TomTom

Hab ich in der Tat, aber ich dachte weil der Raum so allgemein ist, lässt sich schwer sagen wie eine offene Menge genau aussieht. Ist halt das Urbild eines offenen Intervalls bzgl der Norm. Oder gehts spezifischer?
 Mit freundlichen Grüßen Davils



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Davils
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-18


Hallo Triceraptos.  Sie müsste doch grnau dann stetig sein wenn die zusammensetzung von norm und translation stetig ist. Ich weis aber nicht worauf du hinaus willst :(
Mit freundlichen Grüßen davils



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-03-18


Mir geht es darum, dass Du eine Vorstellung von \((X,\tau)\) bekommst. Die Aufgabe ist natürlich etwas allgemein gehalt. Wenn Du nun z.B. \(X=\IR^n\) mit der euklidischen Norm und \([0,\infty)\) mit der gewöhnlichen Topologie nimmst, kann man explizit offene Mengen von \((X,\tau)\) aufschreiben, welche für die allgemeine Situation recht nützlich sind. Hinweis: \((X,\tau)\) ist sehr weit von einem  Hausdorff-Raum entfernt.



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Davils
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-18


Ja wenn man die Trivialen Mengen außer acht lässt sind das alle Mengen der Bauart: fed-Code einblenden

Wie kann ich mir das im Allgemeinen Fall zu Nutze machen?



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-03-18


Nicht so direkt. Es führt zunächst nur zu eine Lösung der Aufgabe, falls \([0,\infty)\) mit der gewöhnlichen Topologie ausgestattet ist. Hier habe ich auch eher an die Mengen \(\{x\in\IR^n|\ r_1<||x||<r_2\}; r_1,r_2\in\IR\) gedacht. Diese bilden eine Basis von \(\tau\). Was haben all diese Mengen gemeinsam? Wo liegt der Unterschied zu einer Basis der Normtopologie?



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Davils
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-18


Ja da hast du Recht, hab ich wohl nicht daran gedacht.
Ich hab jetzt eine Lösung gefunden zu der Aufgabe. Ich denke da wird auch das beredet worauf du hinaus wolltest. Das in den Mengen sowohl x als auch -x enthalten sind und in der Normtopologie nicht unbedingt. Ich danke dir für den Aufwand den du gemacht hast! Hoffe man hört sich bald wieder :)!
mfg Davils




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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-03-18


Nicht ganz. Ich hatte eine schärfere Variante im Sinn. Für ein \(x_0\in X\) mit \(r:=||x||\) und \(U\in \tau\) gilt:
\[x_0\in U\Rightarrow \{x\in X|\ ||x||=r\}\subset U\] Das schließt natürlich \(x\in U\Rightarrow -x\in U\) ein.

... und weil Deine Arbeit mein Vergnügen ist: \((X,\tau)\) läßt sich auch als topologischen Kegel schreiben:
\[(X,\tau)\cong (\{||x||=1\}\times [0,\infty))/\sim\] wobei die Äquivalenzrelation \(\{||x||=1\}\times\{0\}\) auf einen Punkt zusammenzieht und \(\{||x||=1\}\) hier mit der trivialen Topologie ausgestattet wird.



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