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Mathematik » Analysis » Taylorpolynom
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Universität/Hochschule J Taylorpolynom
MisterBrown
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-03-18


Hallo,

bei meinem Beispiel habe ich eine Funktion gegeben:

fed-Code einblenden

nun soll ich a) diese Funktion durch ein Taylorpolynom ersetzen: Angabe dazu: P2(x,1) ich denke das soll 2ten Grades am Punkt 1 sein.

Dazu habe ich folgendes Ergebniss:

fed-Code einblenden

ich glaube das müsste stimmen - insofern ich das richtig verstanden habe.

Nun lautet es des weiteren:

b) und schätzen Sie den Fehler im angegeben Bereich ab:

dazu habe ich: fed-Code einblenden

nun weiß ich nicht wirklich, wie ich da vorgehen soll/muss.

meine Idee:

ich kann ja das Restglied zu der Folge bilden:

fed-Code einblenden

nun bin ich mir aber nicht sicher, wie ich weiter machen soll ich kann aus:


fed-Code einblenden

richtig?

nun hätte ich jetzt die Randpunkte untersucht, weil da ja die größte Abweichung sein sollte? :

fed-Code einblenden

jetzt weiß ich aber wirklich nicht, wie ich die Abweichung für den ganzen Bereich abschätzen kann?

Eventuell maximale Abweichung vor und nach meinem Entwicklungspunkt und dann kann ich ja auch den Mittelwert berechnen?

Naja... wäre um einen kurzen Tipp sehr erfreut



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-03-18

\(\begingroup\)
Hallo MisterBrown,

dein Taylor-Polynom 2.ter Ordnung stimmt, wobei man das natürlich schöner aufschreiben könnte:

Sei $f(x) = (1+x^{2}) arctan(x)$


=> Die Taylor-Approximation von f an der Stelle a = 1 lautet:
f(x) = $\frac{\pi}{2} + (1 + \frac{\pi}{2})(x-1) + \frac{1 + \frac{\pi}{2}}{2!}(x-1)^{2} + R_{2+1}(x)$

wobei $R_{2+1}(x) = \frac{1}{2!} \int \limits_{1}^{x} (x-t)^{2}f^{(2+1)}(t)dt$

bzw. mit der Lagrange'schen Form des Restgliedes:

f(x) = $\frac{\pi}{2} + (1 + \frac{\pi}{2})(x-1) + \frac{1 + \frac{\pi}{2}}{2!}(x-1)^{2} + R_{2+1}(x)$

mit $R_{2+1}(x) = \frac{f^{(2+1)}(\xi)}{(2+1)!}(x-1)^{2+1}$

mit einem $\xi$ zwischen 1 und x.


Könntest du uns die gesamte Aufgabenstellung einmal in einem Rutsch aufschreiben? So bröckelhaft ist es nicht leicht zu sehen, was gefordert ist.


Viele Grüße,
X3nion
\(\endgroup\)


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MisterBrown
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-18


Also die gesamte Aufgabe lautet:

Ersetzen Sie folgende Funktionen durch ihre Taylorpolynome Pn(x,xo) des angegebenen Grades, und schätzen Sie den Fehler im angegebenen Bereich ab:

a) f(x)=(1+x^2)*arctan(x) durch P2(x,1) in fed-Code einblenden



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-03-19

\(\begingroup\)
Hallo MisterBrown,

nun betrachten wir $\left| R_{3}(x) \right| = \left| \frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}(x-1)^{3} \right|$ mit einem $\xi \in [1, x]$ bzw. $\xi \in [x, 1]$

Die 3. Ableitung der Funktion f berechnest du als Übung. Der Funktionsterm dieser 3. Ableitung besitzt ein Supremum und ein Infimum, diese gibst du nun auch als Übung an.

Nun nutzen wir folgende Abschätzung:

$|f^{(3)}(\xi)| \le sup(f^{(3)})$.

Damit ist dann:

$\left| R_{3}(1.1) \right| = \left| \frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}(1.1-1)^{3} \right| \le \left| \frac{sup(f^{(3)})}{6} * (0.1)^{3} \right| = \left| sup(f^{(3)}) * \frac{1}{6000} \right| $

Selbiges ergibt sich aber für $\left| R_{3}(0.9) \right|$ aufgrund der Betragstriche.

Hier sieht man nun auch, dass der Fehler an den Randpunkten maximal wird, denn je weiter wir uns Richtung 1 begeben desto kleiner wird der Term $(x-1)^{3}$



Viele Grüße,
X3nion
\(\endgroup\)


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MisterBrown
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-19


ok super vielen Dank



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MisterBrown hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
MisterBrown hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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