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Differentiation » Differentialrechnung in IR » Stetige Differenzierbarkeit
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Universität/Hochschule J Stetige Differenzierbarkeit
kumquat
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-03-20

\(\begingroup\)
Hallo,

ich versuche gerade folgende Behauptung zu zeigen:

\[ f \in  C^2([0,T] \times \mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n) \Rightarrow y \in C^3([0,T], \mathbb{R}^n), T>0.\]
Wobei der Zusammenhang durch die explizite Differentialgleichung gegeben ist
\[ y'(t) = f(t,y(t)). \]
Im autonomen Fall, wo f nicht zusätzlich von t abhängt ist es mir klar, doch nicht wenn f auch noch von t abhängt.

Ich habe hier zunächst an Kettenregel gedacht, aber so richtig eine Idee will mir nicht aufkommen.

Hätte vielleicht jemand eine Idee/Tipp für mich, dafür wäre ich sehr dankbar?

Vielen Dank im Voraus!
\(\endgroup\)


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Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2013
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-03-20

\(\begingroup\)
Hey kumquat,

Wie ist denn der Zusammenhang zwischen \(f\) und \(y\)? Und wie genau lautet die Aufgabe?
\(\endgroup\)


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kumquat
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-20


Ah vielen Dank, hab völlig vergessen den Zusammenhang einzutippen.
Tut mir sehr leid.
Hab ich nun geändert.



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-03-20

\(\begingroup\)
Okay, jetzt macht es Sinn.
Kettenregel ist schon gar nicht so verkehrt. Wir definieren \(g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2\), \(g(t)=(t,y(t))\). Dann ist
\(y'(t)=f(g(t))\).
Nun gehe der Reihe nach etwa so vor:
Da \(y\) die obige Differentialgleichung erfüllt, ist \(y\) differenzierbar. Dann ist auch \(g\) differenzierbar. Nach Voraussetzung ist auch \(f\) differenzierbar, also nach der Kettenregel ist auch die Verkettung \(f \circ g\) differenzierbar. Wegen \(y'=f \circ g\) ist also \(y'\) differenzierbar und es gilt: \(y''(t)=(f \circ g)'(t)=...\).
Die ganze Argumentation musst du dann noch Mal so ähnlich für \(y'''\) machen und schließlich auch begründen, wieso \(y'''\) stetig ist.
\(\endgroup\)


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kumquat
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-07


Hallo Kampfpudel,

vielen Dank für die Hilfe.
Damit ist alles klar!



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kumquat hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
kumquat hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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