Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Gockel Dune
Mathematik » Topologie » Fundamentalgruppen mittels Seifert/van Kampen
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Fundamentalgruppen mittels Seifert/van Kampen
expectopatronum
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 01.04.2018
Mitteilungen: 2
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-04-01


Guten Abend,

ich habe eine Aufgabe, an der ich nicht weiterkomme und hoffe, dass mir jemand weiterhelfen kann :). Und zwar geht es um die Berechnung von Fundamentalgruppen mithilfe des Seifert/van Kampen Theorems. Die Aufgabe ist die folgende: Gegeben ist ein topologischer Raum $X=Y\cup Z$ mit $Y\cong \{pt.\}$, $Z\cong S^1\vee S^1\vee S^1$, $Y\cap Z\cong S^1$ und Inklusionen $i_{Y}:Y \longrightarrow X$ und $i_{Z}:Z\longrightarrow X$ bzw. entsprechenden Gruppenhomomorphismen der jeweiligen Fundamentalgruppen $i_{Y}^*$ und $i_{Z}^*$. Jetzt soll die Fundamentalgruppe von $X$ ausgerechnet werden, d.h. in Form von Erzeugenden und Relationen angegeben werden.

Meine Idee bislang: Da $\pi (X)$ von den Bildern von $i_{Y}*$ und $i_{Z}*$ erzeugt wird und $i_{Y}$ die triviale Abbildung ist, gilt nach dem Homomorphiesatz $\pi (X) = \pi (Z)/ker(i_{Z}^*)$, d.h. dass $\pi (X)=\langle a,b,c \rangle$ modulo gewisser Relationen von $a,b,c$, welche im Kern von $i_{Z}^*$ sind. Stimmt das so? Und wenn ja, wie kann ich diese Relationen bestimmen?

Viele Grüße
expectopatronum



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4319
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-04-01


Zunächst: Es müssen Annahmen gemacht werden, damit der Satz anwendbar ist, z.B. dass $Y$ und $Z$ offen in $X$ sind.
 
Also der Satz liefert, alleine mit der Information $\pi_1(Y)=\{1\}$:
$$\pi_1(X) = \pi_1(Y) \ast_{\pi_1(Y \cap Z)} \pi_1(Z) = \{1\} \ast_{\pi_1(Y \cap Z)} \pi_1(Z) = \pi_1(Z) / \langle\langle \pi_1(Y \cap Z) \rangle\rangle,$$wobei hier das normale Erzeugnis gemeint ist (deine Beschreibung hingegen kann ich nicht nachvollziehen). Mit der Information $\pi_1(Z) = \IZ * \IZ * \IZ$ und $\pi_1(Y \cap Z) = \IZ$ kommt man nun allerdings nicht weiter. Denn es hängt davon ab, welche Einbettung
$$\IZ \hookrightarrow \IZ * \IZ * \IZ$$vorliegt. Vermutlich wollte der Aufgabensteller darauf hinaus, dass die Einbettung $Y \cap Z \hookrightarrow Z$ unter den Homotopieäquivalenzen zu einer der drei kanonischen Einbettungen
$$S^1 \hookrightarrow S^1 \vee S^1 \vee S^1$$korrespondiert. Dann ist die Quotientengruppe natürlich $\IZ * \IZ$. Wenn man aber z.B. eine $S^1$ hier $n$-mal durchläuft, bekommt man $\IZ/n\IZ * \IZ * \IZ$.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
expectopatronum
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 01.04.2018
Mitteilungen: 2
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-02


Ja, die Annahmen hatte ich (ziemlich lapidar) implizit vorausgesetzt, richtigerweise hätte ich das dazuschreiben müssen :) Vielen Dank für deine Antwort, die Dinge sind mir jetzt klarer.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
expectopatronum hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
expectopatronum hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
expectopatronum wird per Mail über neue Antworten informiert.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]