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Physik » Atom-, Kern-, Quantenphysik » Normierung einer vektorwertigen (Wellen-) Funktion
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Kein bestimmter Bereich J Normierung einer vektorwertigen (Wellen-) Funktion
Sigi7444
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-04-17


Hallo,
Habe eine kurze Frage zur Normierung von Wellenfunktionen:

Wenn man eine vektorwertige Wellenfunktion

f(x, t) = exp(x + i*t) * (cos(k*t), -i*sin(k*t))

hat und diese bezüglich x normieren will, wie macht man das? Wenn ich die L2 Norm verwende (wie es ja für skalare Wolkenfunktionen üblich ist), komme ich dann auf ein Integral mit einem Produkt von 2 Vektoren drinnen. Dieses Produkt ist ja aber kein Skalarprodukt und ich weiß nicht mehr, wie ich weiter mache.

Allgemein stellt sich die Frage, wie man eine vektorwerige Funktion normiert.

Liebe Grüße,
Sigi



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-04-17


Hallo Sigi7444,

wenn Du eine vektorwertige Wellenfunktion hast, liegt dass daran, dass in der betrachteten Situation ein vollständiger Satz von kommutierenden Observablen neben dem Ort auch noch eine weitere – und zwar diskrete – Quantenzahl wie etwa die Komponente eines Spins umfasst.

Zu der vektorwertigen Wellenfunktion $(\psi_m(x))$ gehört also der Zustand

    $\displaystyle
|\psi\rangle=\int{\rm d}x\;\sum_m\;\psi_m(x)\,|x\rangle|m\rangle$

mit $\langle x|x'\rangle=\delta(x-x')$ und $\langle m|m'\rangle=\delta_{mm'}$. Folglich lautet die Normierungsbedingung

    $\displaystyle 1=\langle\psi|\psi\rangle=
\int\sum_m\,|\psi_m(x)|^2\;{\rm d}x$  ,

und das bedeutet, dass das Produkt der Werte der beiden Wellenfunktionen an einem Ort $x$ als inneres Produkt zu lesen ist.

Völlig analog ergibt sich übrigens für das Skalarprodukt zweier vektorwertiger Wellenfunktionen

    $\displaystyle \langle\phi|\psi\rangle=
\int\sum_m\,\overline{\phi_m(x)}\,\psi_m(x)\;{\rm d}x$  .

Grüße,
dromedar



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Sigi7444
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-17


Gute Antwort, danke :) Habs jetzt verstanden.

Falls es noch jemandem hilft: Es funktioniert auch, wenn man nur das L2 Skalarprodukt verwendet und darin den Einen Vektor/ die eine Funktion, die komplex konjugiert wird auch noch transponiert, was ja auch Sinn macht, weil der Bra zu einem Ket ja der Adjungierte ist.



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