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Moderiert von Wally haerter
Gewöhnliche DGL » Lineare DGL 2. Ordnung » DGL 2. Ordnung mit nicht-konstanten Koeffizienten und Lösungsansatz
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Autor
Universität/Hochschule J DGL 2. Ordnung mit nicht-konstanten Koeffizienten und Lösungsansatz
Flo94
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 18.04.2018
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-04-18


Hallo an alle im Forum!

Da meine erste Frage hier sehr gut und zielführend beantwortet wurde, habe ich noch eine Differentialgleichung, die ich nicht lösen kann.
Es handelt sich um eine DGL 2. Ordnung mit nicht-konstanten Koeffizienten.
Ein Lösungsansatz ist beim Beispiel gegeben.
Mit Hilfe dieses Lösungsansatzes habe ich bereits eine Lösung berechnen können. Wie kann ich aber nun die zweite Lösung ermitteln?
Die Angabe, sowie meine bisherigen Berechnungen lauten:


Zudem ist noch meine Frage, wieso Lambda 1 keine Lösung sein kann? (meine Annahme)
Oder liegt hier der Knackpunkt?

Aus WolframAlpha ist mir bekannt, dass die zweite Lösung t*e^(3t) sein muss, was auch mit der mir bekannten Lösung übereinstimmt.

Wie komme ich nun auf diese zweite Lösung?

Vielen Dank schon mal für die Bemühungen im Voraus,

lG,
Florian



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Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
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Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-04-18


Hallo, Flo,

der Ansatz setzt beim Ableiten voraus, dass keine inneren Ableitungen von <math>\lambda</math> nach <math>t</math> vorkommen, d.h. <math>\lambda</math> muss konstant sein.

Die Rechnung geht übrigens einfacher:
Deine zweite Gleichung muss für alle <math>t</math> stimmen, also auch für <math>t=0</math>. Dann folgt mit der <math>p</math>-<math>q</math>-Formel <math>\lambda=-2</math> oder <math>\lambda=8</math>.
Eine Probe zeigt, dass nur <math>\lambda=-2</math> eine Lösung liefert.

Für die zweite Lösung macht man eine Produktansatz nach d'Alembert.

Wally



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Flo94
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-19


Hallo Wally,

vielen Dank für deine Antwort!

Gut, somit macht es Sinn, dass Lambda 1 keine gültige Lösung ist...

Ja das wäre deutlich einfacher gegangen, aber von selber wäre ich da nicht drauf gekommen...

Der Satz nach d'Alambert ist nicht Teil des Stoffgebietes und kommt in den ganzen Unterlagen nicht vor, gibt es auch noch andere Lösungswege?



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Wally
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Dabei seit: 02.11.2004
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Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-04-19


Hallo, Flo,

vielleicht heißt das auch einfach nur "Produktansatz".

Man setzt <math>y(t)=C(t) e^{-2t}</math>, leitet fleißg ab, setzt ein und sortiert und bekommt eine Dgl. erster Ordnung für <math>C'(t)</math>.

Wally



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Flo94
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-19


Achso, also quasi eine Variation der Konstanten?

Ich habe den Ansatz nun abgeleitet und eingesetzt:



Wie fahre ich nun fort?



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-04-19


Der Term mit <math>C</math> fällt weg, setze <math>D:=\dot C</math> und löse die Dgl. erster Ordnung für <math>D</math>.

Wally



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Flo94
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-20


Vielen Dank für die Hilfe!

Nach langem Rechnen ist bei mir nun C(t)=k*t heraus gekommen.
Setze ich das nun in den ursprünglichen Ansatz C(t)*exp(-2t) ein, erhalte ich k*t*exp(-2t).
Soweit so gut, jedoch weiß ich, dass das Ergebnis t*exp(3t) lauten sollte.

Erstens wieso kommt bei mir eine Konstante durch das Integrieren der Rücksubstitution von
vor und bei der richtigen Lösung nicht?
Und wie kann es sein, dass der Exponent 3t sein sollte, obwohl ja unser Ansatz einen Exponent mit -2t hatte?

Danke im Voraus,
Florian



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-04-20


Hi,

da hast du dich verrechnet. Bei mir ging es.

Wally



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Flo94
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 18.04.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-20


Ok, vielen Dank, hatte am Schluss ein kleiner Rechenfehler...
Jetzt stimmt das Ergebis!
Für alle, die ein ähnliches Problem haben, hier die Lösung:

Fortsetzung



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Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
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Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-04-21


Na, sieht doch OK aus.

Wally



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Flo94
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-21


Ja finde ich auch, vielen Dank!



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