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Mathematik » Stochastik und Statistik » Frage zum Zentrallimitgesetz
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Autor
Beruf J Frage zum Zentrallimitgesetz
sulky
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 21.12.2009
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-04-22

\(\begingroup\)
Hallo Zusammen,

Ich habe eine Frage zu einem extrem zentralen Thema.

Wir haben eine -neben vielen gleichwertigen- Formlulierung des Zentrallimitgesetzes.

Unter den üblichen Bedingungen gilt für grosse n:

\(S_n:=X_1+X_2+...+X_n \rightsquigarrow \mathcal{N}(nm,n\sigma^2)\)


Nehmen wir nun beispielsweise eine Variablenfolge vom Typ Bernoulli.
\(X_k\rightsquigarrow \mathcal{P}(p)\)

Im positiven Bereich verhält sich \(S_n\) so, wie ich das erwarte.
\(S_n\) ist nach oben unbegrenzt, aber hohe Werte sind unwahrscheinlich.

Im negativen Bereich aber, da kann doch \(S_n\) keine negative Werte annehmen. Wenn jedes \(X_k\) bernoullisch ist, dann sind die Werte in \(\{0,1\}\) und die Summe ist niemals kleiner Null.


Also: \(\mathbb{P}(S_n\le -1)=0\)

Gemäss dem Satz aber:
\(\mathbb{P}(S_n\le -1)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi n}\sigma}\int_{-\infty}^{-1}e^{\frac{-(u-nm)^2}{n \sigma^2}}du\)

was  habe ich da falsch verstanden?
\(\endgroup\)


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AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 2939
Aus: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-04-24

\(\begingroup\)
Huhu Sulky,

tatsächlich hast Du hier etwas falsch verstanden.
Der zentrale Grenzwertsatz (so nennt man den Satz auf Deutsch üblicherweise) besagt für Deinen einfachen Fall folgendes:

Sind $X_n$ unabhängige, bernoulli(p)-verteilte Zufallsvariablen, so gilt $\mu=\mathbb{E}X_n=p$ und $\sigma^2=\mathrm{Var} X_n=p(1-p)$. Die Aussage des Satzes ist nun, dass $Z_n = \frac{\sum_{j=1}^{n} (X_n-\mu)}{\sigma \sqrt{n}}$ für $n\to\infty$ in Verteilung gegen eine $N(0,1)$-verteilte Zufallsvariable konvergiert.

Vergleiche das noch einmal mit Deiner "Interpretation". Berechne insbesondere einmal Erwartungswert und Varianz von $Z_n$, dann sollte Dir schnell klar werden, dass auch negative Werte für $Z_n$ möglich sind.

lg, AK.
\(\endgroup\)


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sulky
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 21.12.2009
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-26


Hallo Annakath,

Vielen Dank für die schnelle Antwort.

Ja, nun sehe ich es auch. Da sind negative Wert nicht ausgeschlossen.

Vielen Dank



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sulky hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
sulky hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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