Die Mathe-Redaktion - 19.09.2018 00:03 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt6 im Schwätz / Top 15
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 138 Gäste und 24 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Komplexe Zahlen » 4. Wurzel aus i
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Ausbildung 4. Wurzel aus i
Heinerich
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 20.02.2018
Mitteilungen: 58
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-04-23

\(\begingroup\)
Folgende Aufgabe:
$(2z-1+1)^4=16i$. Es bietet sich an die 4te Wurzel auf beiden Seiten zu ziehen.
$2z-1+1=2\sqrt[4]i$.

Aber was ist $\sqrt[4]i$? An sich ist eine Lösung $e^{i\frac{\pi}{8}}$, Aber das ist aus einer Schüleraufgabe..
Oder man muss wirklich $(2z-1+1)^4$ ausrechnen..

Anmerkung 1/4
In Beitrag #16 steht die korrekte Aufgabe wink

Bis dahin war alles umsonst confused
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
markusv
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.01.2017
Mitteilungen: 123
Aus: Leipzig
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-04-23

\(\begingroup\)
Hallo.

2018-04-23 15:15 - Heinerich im Themenstart schreibt:
Oder man muss wirklich $(2z-1+1)^4$ ausrechnen..
Wäre das so schwer?
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
mrdjv2
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.07.2003
Mitteilungen: 952
Aus: Aachen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-04-23

\(\begingroup\)
Naja, so schwer scheint es mir nicht,
\( (2z +1 - 1)^4  \) zu vereinfachen. Riecht verdächtig nach \(16z^4\).

Gut, das beantwortet nicht deine Frage, aber \(i^{1/4}\) ist doch auch eine Lösung.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


-----------------
Never underestimate the impossible!
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Wirkungsquantum
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 10.03.2015
Mitteilungen: 553
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-04-23

\(\begingroup\)
Hallo,
am besten du vereinfachst erstmal die linke Seite. 1-1 ergibt ja 0, sodass man als Gleichung erhält:
$16z^4=16i$

Ausmultiplizieren ist also gar nicht nötig.

Und ja das ist eine Lösung, vergiss aber nicht die anderen 3. Es sei denn es ist nur eine verlangt.

Grüße,
h

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


-----------------
$\text{h}=6,626⋅10^{-34} \text{Js}$
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Heinerich
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 20.02.2018
Mitteilungen: 58
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-23

\(\begingroup\)
2018-04-23 15:25 - mrdjv2 in Beitrag No. 2 schreibt:
Naja, so schwer scheint es mir nicht,
\( (2z +1 - 1)^4  \) zu vereinfachen. Riecht verdächtig nach \(16z^4\).

Man muesste \( (2z +1 - 1)^4  =(2z +(1 - 1))^4 \) betrachten und dann
mit $a=2z,b = 1 - 1$ nach  $(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$ aufdröseln..Vermutest du, dass da nur $a^4=16z^4$ über bleibt?
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MeWi
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.03.2011
Mitteilungen: 557
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-04-23

\(\begingroup\)
Ist das ein Typo oder fragst du wirklich, wie man $1-1$ vereinfacht?
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
cis
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.08.2002
Mitteilungen: 15205
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-04-23

\(\begingroup\)
2018-04-23 15:15 - Heinerich im Themenstart schreibt:
Folgende Aufgabe:
0. $(2z-1+1)^4=16i$.

1. Es bietet sich an die 4te Wurzel auf beiden Seiten zu ziehen.
$2z-1+1=2\sqrt[4]i$.

2a. Aber was ist $\sqrt[4]i$?
2b. An sich ist eine Lösung $e^{i\frac{\pi}{8}}$

0. 2z-1+1 = 2z ...

1. Kann man machen, dann muss man aber wissen, wie man $\sqrt[4]i$ auswertet; also die Frage 2a.

2b. Man erwartet 4 Lösungen, um das einzusehen, betrachtet man besser erstmal die "Kreisteilungsgleichung".


• Zur Theorie

$z^{n}= 1$    ("Kreisteilungsgleichung")
hat die Lösungen:

$z_k = e^{\frac{2\pi k}{n}i},~~\text{mit}~ k=0,1,2,\dots,n-1$

Das folgt aus dem Ansatz: $z^{n}= 1 = e^{2\pi i \cdot k}~ \text{ mit } k \in \mathbb{Z}\Rightarrow z_k = e^{\frac{2 \pi i}{n} \cdot k }$.

Das heißt unendlich viele Lösungen $z_k$.
$\Rightarrow$ Welche Lösungen sind verschieden, welche äquivalent-gleich?

Betrachte $z_{p + n} = e^{\frac{2 \pi i}{n} \cdot (p+n) } = e^{\frac{2 \pi i}{n} \cdot p } \cdot \underbrace{e^{2 \pi i} }_{= 1}. $
Also $z_p = z_{p + n} $

Damit hat man also  folgende Einteilung aller (unendlich vielen) Lösungen
$
\begin{matrix}
z_0     & z_n = z_0          & z_{2n} = z_n = z_0       & \ldots \\
z_1     & z_{n+1} = z_1      & z_{2n+1} = z_{n+1} = z_1 & \ldots \\
z_2     & z_{n+2} = z_2      & z_{2n+2} = z_{n+2} = z_2 & \ldots \\
\vdots  & \vdots             & \vdots                   & \vdots \\
z_{n-1} & z_{2n-1} = z_{n-1} & z_{3n-1}=z_{2n-1}=z_{n-1}& \ldots
\end{matrix}
$

wobei Lösungen der selben Zeile gleich, Lösungen der selben Spalte verschieden sind (ähnlich ließe sich das auch für negative, ganze Indizes betrachten).

Man wählt üblicherweise den Satz Lösungen mit den kleinsten nichtnegativen Indizes als Repräsentant: $z_0, z_1, \dots, z_{n-1}$ ("Einheitswurzeln").

• Zur Aufgabe

$(2z-1+1)^4=16i ~\Leftrightarrow~ z^4 = i = e^{\frac{\pi}{2}i} = \left( e^{\frac{\pi}{8}i}\right)^4$

Also $\left( \dfrac{z}{e^{\frac{\pi}{8}i}} \right)^4 = 1 = e^{2\pi i \cdot k}~ \text{ mit }  k \in \mathbb{Z}$, wieder eine Kreisteilungsgleichung.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]


-----------------
Wenn man alles ausgeschaltet hat, was unmöglich ist, bleibt am Ende etwas übrig, das die Wahrheit enthalten muß - mag es auch noch so unwahrscheinlich sein...
(Sherlock Holmes)
·
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 45618
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-04-23


Hi Heinerich,
wenn du die Gleichung zu z4 = i umformst, dann ergibt sich die Frage, wieviele Lösungen die Gleichung z4 = i hat.
fed-Code einblenden ist nur eine von insgesamt 4 Lösungen.
Gruß Buri

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
viertel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 26472
Aus: Hessen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-04-23


2018-04-23 15:27 - Wirkungsquantum in Beitrag No. 3 schreibt:
am besten du vereinfachst erstmal die Rechte Seite. 1-1 ergibt ja 0, …
Fragen wir doch mal den Matheplaneten-Publikumsjoker: rechte oder linke Seite razz ?


-----------------
Bild



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Wirkungsquantum
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 10.03.2015
Mitteilungen: 553
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-04-23

\(\begingroup\)
Linke, hab mich vertippt.


-----------------
$\text{h}=6,626⋅10^{-34} \text{Js}$
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Heinerich
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 20.02.2018
Mitteilungen: 58
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-23

\(\begingroup\)
2018-04-23 16:40 - Buri in Beitrag No. 7 schreibt:
Hi Heinerich,
wenn du die Gleichung zu z4 = i umformst, dann ergibt sich die Frage, wieviele Lösungen die Gleichung z4 = i hat.
fed-Code einblenden ist nur eine von insgesamt 4 Lösungen.
Gruß Buri

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]

Klar hat $\sqrt[4]i$ mehrere Lösungen im komplexen nämlich:
$\displaystyle e^{\frac{2ki\pi}{16}},\quad k=1,7,9,15$ die primitiven Einheitswurzeln 16. Grades.

Diese sind ganzalgebraische Zahlen des Grades 4 meine ich, wie ja in cis' Artikel ausführlich dargelegt. Nicht ganz, denn er sagt sogar es sind unendlich viele wenn ich ihn recht versteh?

Jedoch ist das aus einer 12. Klasse Aufgabe, deswegen denk ich es gäbe einen Trick das zu vereinfachen, oder man lässt $\sqrt[4]i$ als Lösung stehen.


\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 45618
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-04-23

\(\begingroup\)
2018-04-23 17:53 - Heinerich in Beitrag No. 10 schreibt:
... oder man lässt $\sqrt[4]i$ als Lösung stehen.
Hi Heinerich,
nein, das kann man nicht gelten lassen.
Eine Möglichkeit wäre die Darstellung in Polarform:
fed-Code einblenden
Die Cosinus- und Sinuswerte von π/8 kann man noch mit Hilfe geschachtelter Quadratwurzeln ausdrücken:
fed-Code einblenden
Deine Lösungen
2018-04-23 17:53 - Heinerich in Beitrag No. 10 schreibt:
... im komplexen nämlich:
$\displaystyle e^{\frac{2ki\pi}{16}},\quad k=1,7,9,15$ die primitiven Einheitswurzeln 16. Grades.
sind nicht richtig. Man muss k=1,5,9,13 nehmen.
Gruß Buri
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
cis
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.08.2002
Mitteilungen: 15205
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-04-23

\(\begingroup\)
2018-04-23 17:53 - Heinerich in Beitrag No. 10 schreibt:
Klar hat $\sqrt[4]i$ mehrere Lösungen im komplexen nämlich:
$\displaystyle e^{\frac{2ki\pi}{16}},\quad k=1,7,9,15$ die primitiven Einheitswurzeln 16. Grades.

 confused  Warum so kompliziert?

Es ist $i = e^{i\frac{\pi}{2}+2\pi k\, i}~ \text{ mit } k \in \mathbb{Z}$.

Also $\sqrt[4]{i}
= \left (e^{i\frac{\pi}{2}+2\pi k\, i} \right)^{\frac{1}{4}}
= e^{i\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi k}{4}}$.

Und das liefert für $k=0,1,2,3$ verschiedene Werte (und für jedes $k \in \mathbb{Z}\backslash \{0,1,2,3\}$ einen zu einem dieser Werte äquivaltent-gleichen Wert).

Zum gleichen Ergebnis kommt man, wenn man das Ganze als Einheitswurzelproblem betrachtet (#6).

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
cis
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.08.2002
Mitteilungen: 15205
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2018-04-23

\(\begingroup\)
2018-04-23 16:23 - MeWi in Beitrag No. 5 schreibt:
Ist das ein Typo oder fragst du wirklich, wie man $1-1$ vereinfacht?

Tja, sehr seltsam. Irgendwoher weiß ich, dass es sich eigentlich um
$(2z +i − 1)^4 = 16i $ hätte handeln sollen.

Bei sowas ist es sinnvoll so zu substitieren, dass ein Einheitswurzelproblem entsteht, etwa $w^4 = 1$. Dann wie geschildert...


\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4113
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2018-04-24

\(\begingroup\)
2018-04-23 16:23 - MeWi in Beitrag No. 5 schreibt:
Ist das ein Typo oder fragst du wirklich, wie man $1-1$ vereinfacht?

Warum reiten hier eigentlich alle auf der Vereinfachung $1-1=0$ herum? Denkbar wäre ja schließlich auch noch, dass Heinerich einfach an der Klammernsetzung

$2z-1+1=2z-\underbrace{(1-1)}_0$

oder auch an dem nachfolgenden Rechenschritt

$2z-0=2z$

gescheitert ist.  biggrin
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
DerEinfaeltige
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.02.2015
Mitteilungen: 1641
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2018-04-24

\(\begingroup\)
2018-04-23 22:08 - cis in Beitrag No. 13 schreibt:

Tja, sehr seltsam. Irgendwoher weiß ich, dass es sich eigentlich um
$(2z +i − 1)^4 = 16i $ hätte handeln sollen.


Diese Vermutung hatte ich ja ebenfalls.
Ich hatte mich nur nicht getraut, sie öffentlich zu äußern.


-----------------
Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Heinerich
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 20.02.2018
Mitteilungen: 58
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-24

\(\begingroup\)
2018-04-23 15:15 - Heinerich im Themenstart schreibt:
Folgende Aufgabe:
$(2z-1+1)^4=16i$. Es bietet sich an die 4te Wurzel auf beiden Seiten zu ziehen.
$2z-1+1=2\sqrt[4]i$.


O sorry Übertragungsfehler ...
Alles auf Anfang die Aufgabe war $(2z-1+i)^4=16i$

\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
cis
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.08.2002
Mitteilungen: 15205
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2018-04-24

\(\begingroup\)
2018-04-24 10:25 - Heinerich in Beitrag No. 16 schreibt:
Alles auf Anfang die Aufgabe war $(2z-1+i)^4=16i$

$16i = (2z-1+i)^4 =: 16i\, w^4.$
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Heinerich
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 20.02.2018
Mitteilungen: 58
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-24

\(\begingroup\)
2018-04-23 18:13 - Buri in Beitrag No. 11 schreibt:
2018-04-23 17:53 - Heinerich in Beitrag No. 10 schreibt:
... oder man lässt $\sqrt[4]i$ als Lösung stehen.
Hi Heinerich,
nein, das kann man nicht gelten lassen.
Eine Möglichkeit wäre die Darstellung in Polarform:
fed-Code einblenden
Die Cosinus- und Sinuswerte von π/8 kann man noch mit Hilfe geschachtelter Quadratwurzeln ausdrücken:
fed-Code einblenden
Deine Lösungen
2018-04-23 17:53 - Heinerich in Beitrag No. 10 schreibt:
... im komplexen nämlich:
$\displaystyle e^{\frac{2ki\pi}{16}},\quad k=1,7,9,15$ die primitiven Einheitswurzeln 16. Grades.
sind nicht richtig. Man muss k=1,5,9,13 nehmen.
Gruß Buri

Ja das ist richtig! Danke für das aufschlüsseln in Wurzelausdrücke
HH



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.15 begonnen.]
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Heinerich
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 20.02.2018
Mitteilungen: 58
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-24

\(\begingroup\)
Man muesste wohl, um das finale z zu finden tatsäclich \((2z +(1 - 1))^4 =16i\) betrachten und dann mit $a=2z,b = 1 - 1$ nach  $(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$ aufdröseln..was ein Polynom 8. Grades mit ganzen Koeffizienten ergibt.

\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 45618
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2018-04-24

\(\begingroup\)
2018-04-24 10:25 - Heinerich in Beitrag No. 16 schreibt:
... die Aufgabe war $(2z-1+i)^4=16i$
Hi Heinerich,
dies behandelt man mit einer Variablensubstitution: y = 2z-1+i.
Dann bestimmt man y aus der Gleichung y4 = i, un schließlich muss man nach z auflösen. Es kommen keine Polynome 8. Grades vor.
Gruß Buri
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Heinerich hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2018 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]