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Integration » Integration im IR^n » Kurvenintegral mit Potential
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Autor
Universität/Hochschule J Kurvenintegral mit Potential
vounesa
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-04-23


Hallo!

Gegeben ist dieses Beispiel:


Nun habe ich als erstes V darauf geprüft ob es ein Gradientenfeld ist.
Mein Ergebnis ist
fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
das heißt also das V kein Gradientenfeld ist. Ist das wirklich wahr oder habe ich mich da verrechnet? Denn wenn es kein Gradientenfeld ist gibt es ja kein Potential, und das kann ich mir bei diesem Beispiel nicht vorstellen...

Danke für die Hilfe,
vounesa



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endy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-04-23


Hallo.

Du hast dich verrechnet.Es existiert ein Potential.

Wenn Du mir nicht glaubst,ich habe es hier mit nachgerechnet und auch das Potential bestimmt und auch Mathematica die Probe durchführen lassen,dass das Potential korrekt berechnet worden ist.

Gruß endy



-----------------
Peter Scholze Fields Medal 2018 :
Sometimes I have some vague intuitive idea on how things should work, and I try to reconcile this with the known theory. In some cases the new perspective leads to new insights(CMI 2012).



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vounesa
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-23


Hallo!

Hm wo könnte dann der Fehler liegen? In der Formel steht ja für die letzte Zeile fed-Code einblenden

vounesa




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endy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-04-24


Du hast dich bei den Vorzeichen der Sinusterme verrechnet bzw. Sinus ist eine ungerade Funktion.
mathematica
(* In *)
 
Clear @ "Global`*"
v1 = y*z - Cos[x - y] + Cos[x + y] - x*Sin[x + y] - Sin[x + z];
v2 = x*z + Cos[x - y] - x*Sin[x + y];
D[v2, x]
D[v1, y]
test2 = D[v2, x] == D[v1, y]
 
(* Out *)
 
z - x Cos[x + y] - Sin[x - y] - Sin[x + y]
z - x Cos[x + y] - Sin[x - y] - Sin[x + y]
True
 

Dies berechnet aber unter anderem auch der Code aus meinem ersten Beitrag.

endy




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vounesa
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-24


Alles klar habe den Fehler gefunden, danke!

Wenn ich nun das Potential berechnen will, muss ich die einzelnen Komponenten integrieren. Für V1 angewendet ist das so richtig?
fed-Code einblenden

vounesa



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endy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-04-24


Ja, dies ist korrekt.Du solltest noch die Terme ausmultiplizieren,dann wird es beim differenzieren einfacher.

Zur Kontrolle :
mathematica
(* In *)
Integrate[v1,x]
 
(* Out *)
 
x y z + x Cos[x + y] + Cos[x + z] - Sin[x - y]
 

oder Wolfram Alpha : Klick mich.

endy




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vounesa
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-25


Als Gesampotential bekomme ich fed-Code einblenden
heraus, ist das richtig? Kommt mir doch sehr lang vor dieses Ergebnis...
Für die ienzelnen Komponenten krieg ich für V2 fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
und für V3 fed-Code einblenden
fed-Code einblenden

und verstehe ich das richtig, wenn ich danach mit dem Potential das Kurvenintegral berechne, einfach nur das Potential einsetzte in mein Integral aus der Angabe?

vounesa



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endy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-04-25


Hallo.

Dein Potential ist leider falsch.Wenn du den Gradienten bildest und mit deinem Vektorfeld vergleichst,ergibt sich keine Übereinstimmung.

Du solltest den Ausdruck in Beitrag 4 nach y differenzieren und mit der 2.ten Komponente deines Vektorfeldes vergleichen.Dann die entsprechende Integration für <math>\partial_y C(y,z)</math> duchführen.Damit ergibt sich ein Integrationskonstante C(z).Mit demselben Verfahren für die 3.te Komponente bestimmst du C(z) und es ergibt sich das Potential.

Das korrekte Potential hat 5 Summanden plus Integrationskonstante.

endy







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vounesa
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-25


Hallo!

Gut wenn ich den ersten integrierten Komponenten hernehme und nach y differenziere erhalte fed-Code einblenden
also genau den zweiten Komponenten. Und diesen integriere ich dann nach dy?
Ich verstehe das Vorgehen da nicht so ganz..

vounesa



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endy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-04-26


Durch den Vergleich erhält man <math>\partial_y C(y,z)=0</math>.Also folgt <math>C(y,z)=C(z)</math>. Dies wiederum in Beitrag 4 einsetzen und nach z differenzieren und mit der 3.ten Komponente des Vektorfelds vergleichen.Es ergibt sich <math>\partial_z C(z)=2z</math>.Also <math>C(z)=z^2+C</math>,wobei C eine Konstante ist.In Beitrag 4 einsetzen und du hast dein Potential.

endy



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vounesa
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-26


Nun verstehe ich es, vielen Dank!!
also erhalte ich für mein Potential fed-Code einblenden

vounesa



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endy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-04-26


Das Potential ist korrekt.

Mit dem Programm aus Beitrag 1 getestet.
mathematica
(* In *)
 
(* vounesa Kurvenintegral mit Potential *)
vectorfield = {y*z - Cos[x - y] + Cos[x + y] - x*Sin[x + y] - 
    Sin[x + z], x*z + Cos[x - y] - x*Sin[x + y], 
   x*y + 2 z - Sin[x + z]};
vars = {x, y, z};
(* Test auf Integrabilitätsbedingung *)
potentialQ[{vectorfield, vars}]
(* Potentialberechnung *)
pot = potential[{vectorfield, vars}]
(* Test ob Potential wirklich stimmt *)
test = grad[pot, vars] == vectorfield 
 
 
(* Out *)
 
True
x y z + z^2 + C[1] + x Cos[x + y] + Cos[x + z] - Sin[x - y]
True 
 

Hier noch der Link zu der Erklärung der Funktionen :

Klick mich

Du musst noch das Integral berechnen.Endpunkt und Anfangspunkt des Integrals in das Potential einsetzen und die Differenz bilden.


endy



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