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Mathematik » Stochastik und Statistik » Supermarktschlange/Eine Markoff-Kette
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Universität/Hochschule Supermarktschlange/Eine Markoff-Kette
Linkddd
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-04-23

\(\begingroup\)
Servus,

ich stehe aktuell vor folgender Aufgabe:

Seien $Y_0,Y_1,\cdots$ uznabhängige Zufallsgrößen mit Verteilung $q = (q_n)_{n \in \mathbb{N}}$ auf $\mathbb{N}_0$.

$X_0 := 3$, $X_{n+1} := max(0,X_n-1) + Y_{n+1}$.

Ich soll zeigen, dass
a) Prüfen sie, ob $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ die Markoff-Eigenschaft besitzt.

b) Bestimmen sie die Wahrscheinlichkeit:
$\mathbb{P}(X_{n+1} = x_{n+1} | X_0 = 3, \cdots X_n = x_n)$

c) Prüfen sie, ob  $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ die Martingal-Eigenschaft besitzt.


____

Ich hab Aufgabe a) gemacht, das war einfach.

Aufgabenteil b) kann ich aber überhaupt nicht, auch weil ich nicht verstehe, was ich mit unter der Verteilung $q$ vorstellen muss.
Wie kann ich die geforderte Wahrscheinlichkeit.

$\mathbb{P}(X_{n+1} = x_{n+1} | X_n = x_n)$ genau bestimmen? Das sehe ich nicht.

bei c) denke ich noch über ein Gegenbeispiel nach, da würde ich in den Thread noch einmal etwas posten.

Hilfreich wäre ein Tipp, für den Aufgabenteil b)

LG Linkd.
\(\endgroup\)


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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-04-24

\(\begingroup\)
Wenn Du weißt, wie groß $X_n$ war und wie groß $X_{n+1}$ sein soll, dann kannst Du daraus das  dazu nötige $Y_{n+1}$ bestimmen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $Y_{n+1}=k$ ist, ist gerade $q_k$.
\(\endgroup\)


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Linkddd
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-24

\(\begingroup\)
Hey,

danke für die Antwort. :)

Allerdings komme ich damit auch noch nicht weiter.

Also, ich habe:

$\mathbb{P}(max(\{x_n-1,0\}) + Y_{n+1} = x_{n+1} | X_n = x_n)$

Angenommen $max(\{x_n-1,0\}) = x_n-1$, dann ist ja:

$\mathbb{P}(max(\{x_n-1,0\}) + Y_{n+1} = x_{n+1} | X_n = x_n) = \begin{cases} 1 &\mbox{falls } Y_{n+1} = (x_{n+1}-x_n)+1 \\
0 & \mbox{sonst } \end{cases}$

Angenommen aber $max(\{x_n-1,0\}) = 0$, dann ist:

$\mathbb{P}(max(\{x_n-1,0\}) + Y_{n+1} = x_{n+1} | X_n = x_n) = \begin{cases} 1 &\mbox{falls } Y_{n+1} = x_{n+1} \\
0 & \mbox{sonst } \end{cases}$.

Oder missverstehe ich das Problem noch?

Und nun gilt eben:

$\mathbb{P}(Y_{n+1} = k) = q_k$?

Wie kann ich das einbauen?

LG Linkd.
\(\endgroup\)


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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-04-25

\(\begingroup\)
Mach Dir das Leben doch nicht so schwer:

$Y_{n+1}$ muss den Wert $x_{n+1}-max(x_n-1,0)$ annehmen.
\(\endgroup\)


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