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Funktionentheorie » Holomorphie » Überprüfung auf holomorphe Funktion
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Universität/Hochschule Überprüfung auf holomorphe Funktion
Flo94
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 18.04.2018
Mitteilungen: 20
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-04-26


Hallo an alle im Forum!

Bei der Vorbereitung auf eine Mathematik-Prüfung bin ich auf das folgende Problem gestoßen, welches ich nicht in der Lage bin zu lösen.
Es soll überprüft werden, ob die Funktion cos(2z) eine holomorphe Funktion ist.
Ich habe die Annahme getroffen, dass z=x+jy ist.
Meines Wissens muss ich die Funktion zuerst in einen Realteil u(x,y) und einen Imaginärteil v(x,y) aufteilen, damit ich die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen berechnen kann.
Es müsste eine holomorphe Funktion vorliegen, wenn


Sollten diese Annahmen stimmen, lautet mein bisheriger Ansatz folgendermaßen:



Nun komme ich aber leider nicht weiter und habe keine Ahnung wie ich den Term in einen Real- und einen Imaginärteil aufteilen soll...

Ich hoffe jemand von euch kann mir helfen.

Danke schon mal für die Bemühungen im Voraus,

lG,
Florian



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Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 45499
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-04-26


Hi Flo94,
die Funktion cos(2z) ist komplex differenzierbar, die Ableitung lautet wie im Reellen -2sin(2z). Komplexe Differenzierbarkeit ist äquivalent zur Holomorphie. Man kann die Gültigkeit der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen nachweisen.
Gruß Buri



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Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 928
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-04-26

\(\begingroup\)
Hallo Florian,

wenn die Prüfung kurz bevor steht, habt ihr doch bestimmt schon Sätze zur Verfügung, wie:



Für dein Beispiel nutze dann einfach die Definition:

\(\displaystyle \cos(z)=\frac{1}{2}\left(e^{iz}+e^{-iz}\right)\)

\(\displaystyle \cos(2z)=\frac{1}{2}\left(e^{2iz}+e^{-2iz}\right)\)

Nun reicht es also die Funktionen \(z\mapsto e^{iz}\) und \(z\mapsto e^{-iz}\) zu untersuchen. Für die erste folgt z.B. mit \(z:=x+iy\)

\(\displaystyle \exp(i(x+iy))=\exp(ix-y)=\exp(-y)\exp(ix)=\exp(-y)(\cos(x)+i\sin(y)) \)

Darauf kannst du nun CR anwenden.

Zu deiner Rechnung. Es fehlt irgendwie der Faktor 2 in deiner Rechnung. Zur Trennung nutzt man denn wie gewohnt \(e^z=e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y )\). Woher weißt du überhaupt, dass das Additionstheorem für den Kosinus auch für komplexe Argumente gültig ist? Habt ihr das bewiesen? Dann hat man doch aber auch die Hyperbelfunktionen und kann direkt mit \(\cos z=\cos x\cosh y-i\sin x \sinh y\) trennen.

Gruß,

Küstenkind

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Flo94
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 18.04.2018
Mitteilungen: 20
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-26


@Buri

vielen Dank für deine Antwort!
Dies gilt aber nur für diesen Speziellen Fall oder?
Weiter zur Aufgabenstellung ist nämlich noch gefragt, ob cos(z+z_quer), 2*cosh(z) und -3*sin(z) holomorphe Funktionen sind und da kann ich nicht einfach differenzieren oder?

@Kuestenkind

danke für die Antwort!
Das ist eine gute Frage, aber aufgrund der Menge an Stoff habe ich mich in das vorhandene Buch aus zeitlichen Gründen nicht eingelesen...

Habe garnicht daran gedacht beide Funktionen isoliert zu untersuchen.
Ich werde so vorgehen wie von dir beschrieben, danke.
Das weiß ich nicht, ob das Theorem gilt, das war eine Annahme...



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Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 928
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-04-26

\(\begingroup\)
2018-04-26 18:35 - Flo94 in Beitrag No. 3 schreibt:
Das ist eine gute Frage, aber aufgrund der Menge an Stoff habe ich mich in das vorhandene Buch aus zeitlichen Gründen nicht eingelesen...

Dann ist es natürlich schwierig zu helfen, wenn man nicht weiß, was benutzt werden darf. Ich würde dir dann erstmal empfehlen, dich zu informieren. Möglicherweise darfst du ja auch benutzen, dass die exp-Funktion eine ganze Funktion ist. Dann reicht es die Funktion \( z\mapsto iz \) und \( z\mapsto -iz \) zu untersuchen, das sind aber Polynome und die sind auch ganz. Die Verkettung von ganzen Funktionen ist aber wieder ganz.

Gruß,

Küstenkind
\(\endgroup\)


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Flo94
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Dabei seit: 18.04.2018
Mitteilungen: 20
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-28


Hallo Kuestenkind,

vielen Dank für die Hilfe.

Ich glaube das mit der Untersuchung des Exponentialansatzes müsste der richtige Weg sein.
Das Thema scheint wohl vorallem eine Definitionssache zu sein...



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