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Mathematik » Topologie » Hausdorff Raum Definition
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Universität/Hochschule J Hausdorff Raum Definition
rmrf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-04-26


Hallo,

ich habe hier eine Aufgabe zu Hausdorff-Räumen:

Sei $X$ ein Hausdorff-Raum und $x_0, \dots, x_n \in X$ paarweise verschiedene Punkte. Zeige, dass es offene Umgebungen $U_i$ von $x_i$ gibt mit $U_i \cap U_j = \emptyset$ für $i \neq j$.

Nun weiss ich nicht genau was ich hier zeigen soll, denn unsere Definition lautet:

Ein topologischer Raum $(X,T)$ heisst Hausdorff-Raum, wenn gilt: $\forall x \neq y \exists \text{ offene Umgebungen } x \in U_x, y \in U_y \text{ s.d. } U_x \cap U_y = \emptyset$

also die Definition sagt, dass es für zwei beliebige verschiedene Punkte disjunkte Umgebungen gibt. Also gibt es auch für alle verschiedenen $x_i, x_j$ aus der Aufgabe disjunkte Umgebungen $U_i, U_j$. Ich verstehe leider nicht genau was ich zeigen soll, könnt ihr mir weiterhelfen?

lg



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-04-26


Hi rmrf,
Ui und Uj müssen disjunkt sein für alle Paare (i,j) mit i ≠ j. Es reicht nicht aus, dies für jedes Paar (i,j) einzeln zu tun.
Gruß Buri



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rmrf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-26


Hi Buri,

Ich verstehe es leider immer noch nicht.

also ich habe $x_0, x_1, \dots, x_n$ die paarweise verschieden sind.

Ich weiss doch aus der Definition, dass
$(U_0, U_1)$, $(U_0, U_2)$, ..., $(U_0, U_n)$
...
$(U_n, U_0)$, $(U_n, U_1)$, ..., $(U_n, U_{n-1})$
jeweils disjunkt sind.

Was muss ich jetzt noch zeigen?



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-04-26


Hallo,

die Umgebung die $x_0$ von $x_1$ trennt muss nicht unbedingt die gleiche sein, die $x_0$ von $x_2$ trennt, usw. Du bekommst also a priori Umgebungen $x_i\in U_{ij}$ für $i\neq j$.



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darkhelmet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-04-26


2018-04-26 17:48 - rmrf in Beitrag No. 2 schreibt:
Ich weiss doch aus der Definition, dass
$(U_0, U_1)$, $(U_0, U_2)$, ..., $(U_0, U_n)$
...
$(U_n, U_0)$, $(U_n, U_1)$, ..., $(U_n, U_{n-1})$
jeweils disjunkt sind.

Nein. Wenn du die Definition $n$-mal anwendest auf die Paare $(x_0,x_1),\ldots,(x_0,x_n)$, kommt ja zunächst nicht immer das gleiche $U_0$ raus, sondern du kriegst für jedes Paar eine andere Umgebung von $x_0$.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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rmrf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-27


OK jetzt verstehe ich es, danke!

Also dann würde ich des so machen:

Da $X$ Hausdorff ist gibt es für die Punkte $x_o, \dots, x_n$ Umgebungen

$U_0^1, \dots U_0^n$
$U_1^n, \dots U_1^n$
$\dots$
$U_n^1, \dots U_n^n$

sodass $\text{ für ein } g \in \{1, \dots n\} $ und ein $h \in \{1, \dots n\}$ gilt:

$U_i^g \cap U_j^h = \emptyset \text{ für } i \neq j $

Dann definiere ich $U_i = U_i^1 \cap \dots \cap U_i^n$ was eine offene Umgebung von $x_i$ ist und es folgt die Behauptung?

lg



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-04-27


2018-04-27 18:48 - rmrf in Beitrag No. 5 schreibt:
... und es folgt die Behauptung?
Hi rmrf,
ja, so geht es.
Gruß Buri



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