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Lineare Algebra » Vektorräume » Existenz eines Untervektorraums, der zu zwei Unterräumen U_1, U_2 komplementär ist
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Universität/Hochschule Existenz eines Untervektorraums, der zu zwei Unterräumen U_1, U_2 komplementär ist
nAujla
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-05-16



ursprünglicher Beitrag schreibt:
Hallo!

Ich bin neu hier und wollte eine Frage zu folgender Aufgabe stellen.

"Es seien U1 und U2 Unterräume derselben endlichen Dimension eines Vektorraumes V. Beweise, dass es mindestens einen Unterraum T von V gibt, der sowohl zu U1 als auch zu U2 bezüglich V komplementär ist.

Hinweis: Betrachte zunächst den Sonderfall V=U1 ⊕ U2 (direkte Summe). Wähle hier eine Bijektion f ∈ L(U1,U2) (lineare Abbildung) und zeige, dass T:={u1+f(u1)∣∣u1 ∈ U1} die gewünschte Eigenschaften besitzt. Behandle daran anschließend den Fall V=U1+U2 und erst zuletzt den Fall V ≠ U1+ U_2."


Ich habe mir einmal folgendes zusammengeschrieben:

Def: Zwei Untervektorräume U1,U2 heißen komplementär in V, falls U1+U2=V und U1∩U2={0}.
Lemma & Def: Sei ∑i∈IUi⊂V Summe einer Familie (Ui)i∈I von Untervektorräumen U_I ⊂V, dann besitzt jeder Vektor u∈U eine eindeutige Zerlegung genau dann wenn ∀i∈I:Ui∩∑j≠iUj={0}. In diesem Fall heißt die Summe direkt.
Bem: Eine Summe V=∑i∈IUi ist genau dann direkt, wenn ∀i∈I:Ui,∑j≠iUj⊂V komplemente Untervektorräume sind.

Nun meine Überlegungen:
Wenn ich U1 ⊕ U2 betrachte: dh nun U1∩U2={0}, aber laut der letzten Bemerkung folgt auch das U1+U2=V, also das U1 und U2 komplementär zueinander sind.

Wenn ich die lineare Abbildung f∈(U1,U2) betrachte :f:U1→U2. Bijektiv ist die Abbildung genau dann, wenn f(U1)=U2 und ker f={0}. "Da f eine lineare Abbildung zwischen zwei endlich-dimensionalen Verträumen mit gleicher Dimension ist, reicht es zu zeigen, dass f injektiv ist." Stimmt dieser Satz? Den habe ich in einem anderen Forum gefunden.
und wenn ich nun nurmehr zeigen muss das f injektiv ist, soll ich das so zeigen?
"=>" Ist f injektiv und u1 in er f, so gilt f(u1)=0=f(0)⇒(f inj.) u1=0
"<=" Ist ker f={0} und sind u1,u1′⊂U1 mit f(u1)=f(u1′) so gilt f(u1−u1′)=f(u1)−f(u1′)=0⇒u1−u1′ in ker f={0} daher ist u1=u1′ also ist f injektiv.

T:={u1+f(u1)∣∣u1 ∈ U1}:
Das Bild von u1 doch u2 oder? Denn die Funktion f ist definiert als f:U1→U2. Das heißt es wird der gesamte Vektorraum V aufgespannt und es gilt T=V?
Mit 'gewünschte Eigenschaften' habe ich echt keine Ahnung was damit gemeint ist. Die Eigenschaft die in den eckigen Klammern steht? Die Eigenschaft das T ein Komplement ist? od die Eigenschaft das T ein Untervektorraum ist? Sorry bin echt verwirrt :S

Wenn U1+U2=V ist, dann müsste T={0} sein, denn U1 und U2 spannen schon den gesamten Vektorraum auf. Oder T=U1 oder T=U2

Wenn U1+U2≠V ist, dann muss ein T existieren, sodass U1+U2+T=V gilt

Es tut mir Leid das ich gleich so viel Frage, aber ich bin Anfänger und tue mir echt schwer diese Aufgabe zu lösen.

Danke schon mal im Voraus!

Lg



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-16


2018-05-16 13:06 - nAujla im Themenstart schreibt:
Hallo!

Hinweis: Betrachte zunächst den Sonderfall V=U1 ⊕ U2 (direkte Summe). Wähle hier eine Bijektion f ∈ L(U1,U2) (lineare Abbildung) und zeige, dass T:={u1+f(u1)∣∣u1 ∈ U1} die gewünschte Eigenschaften besitzt. Behandle daran anschließend den Fall V=U1+U2 und erst zuletzt den Fall V ≠ U1+ U_2."

Wir betrachten zunächst den Sonderfall <math>V=U_1 \oplus U_2</math> (direkte Summe). Sei <math>(a_1,a_2,a_3,\ldots, a_n)</math> eine Basis von <math>U_1</math> und <math>(b_1,b_2,b_3,\ldots, b_n)</math> eine Basis von <math>U_2</math>. Was gilt dann für den Raum mit der Basis <math>(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3,\ldots, a_n+b_n)</math> bzgl. <math>U_1</math> und <math>U_2</math>?



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-05-16


Hi nAujla,
dieselbe Frage wurde schon hier behandelt.
Gruß Buri



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nAujla
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-21


2018-05-16 18:01 - Buri in Beitrag No. 2 schreibt:
Hi nAujla,
dieselbe Frage wurde schon hier behandelt.
Gruß Buri

Vielen Dank! :)



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