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Mathematik » Topologie » Metrischer Raum und kompakte Mengen
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Universität/Hochschule Metrischer Raum und kompakte Mengen
Sennar
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 11.01.2018
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-05-16


Hallo lieber Matheplanet,

ich hänge zurzeit bei der folgenden Aufgabe.


Die (i) versuche ich zurzeit mit der Definiton der Kompaktheit zu beweisen. Falls es so nicht klappt oder es anders einfacher klappt  wink , wäre es nett wenn ihr mich darauf hinweisen koenntet.

Bei der (ii) habe ich einen Beweis geschrieben und würde gerne wissen ob er richtig ist.

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BlakkCube
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.02.2010
Mitteilungen: 584
Aus: Potsdam
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-16


Hallo Sennar,

zu (i): Hier bist Du auf dem richtigen Weg.

zu (ii): <math>\displaystyle {\rm {dist}}_K(x)=a</math> muss i.A. nicht nicht heißen, dass es ein <math>\displaystyle y\in K</math> gibt, mit <math>\displaystyle d(x,y)=a</math>, da nicht klar ist, ob das Infimum angenommen wird. Außerdem musst Du auch beide Richtungen zeigen:

Die Richtung <math>\displaystyle x\in K \Longrightarrow {\rm {dist}}_K(x)=0</math> ist sehr einfach und gilt auch für den Fall, dass K nicht kompakt ist. Für die Richtung <math>\displaystyle  {\rm {dist}}_K(x)=0 \Longrightarrow x\in K</math> musst Du die Kompaktheit benutzen.

Gruß
BlakkCube


-----------------
'Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.'
- Jean-Baptist le Rond d'Alembert



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Sennar
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 11.01.2018
Mitteilungen: 13
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-16


Ich bin grade echt KO im Kopf. Ich werde jetzt gleich erstmal zum Sport gehen, meinen Kopf freikriegen und es später am Abend nochmal probieren. Ich hätte aber noch ein 2 kleine Fragen die mir vllt weiterhelfen koennten.

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Eine offene Überdeckung der Menge A kann sich mit dem Komplement von
 A schneiden oder?



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BlakkCube
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.02.2010
Mitteilungen: 584
Aus: Potsdam
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-05-16


Ja und ja.


-----------------
'Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.'
- Jean-Baptist le Rond d'Alembert



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Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 8219
Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-05-16


Hallo,

es könnte helfen zu zeigen, dass <math>\text{dist}_K(x)</math> stetig ist.

Wally



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Sennar
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 11.01.2018
Mitteilungen: 13
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-16


Ok ich habs endlich.(Also ich hoffe)
Hier meine Beweise
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MeWi
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Dabei seit: 14.03.2011
Mitteilungen: 558
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-05-17

\(\begingroup\)
Der Beweis für (i) stimmt nicht. Nimm zum Beispiel $K=[0,1]$ und $x=2$ (alles bzgl. der euklidischen Metrik auf $\mathbb{R}$). Wenn du jetzt anfängst mit $U=U_1(2)$, dann ist das zwar eine offene Umgebung von $x$, die $K$ nicht schneidet, aber du hast keine Chance mehr, eine offene Umgebung $V$ von $K$ zu finden, die $U$ nicht schneidet (mach dir am besten eine Skizze davon). Der Fehler liegt an der Stelle, wo du meinst, $U\cap V=\emptyset$ gezeigt zu haben, denn $U$ hat im Allgemeinen mehr Elemente als nur $x$.

Meiner Meinung nach lässt sich (i) am einfachsten mit Hilfe von (ii) beweisen. Dafür sollte man in (ii) natürlich nicht (i) verwendet haben, aber das ist ok, da du eigentlich die Umgebung $V$ an der Stelle gar nicht brauchst. Zusätzlich solltest du Wallys Hinweis benutzen (und vorher beweisen).
\(\endgroup\)


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
wladimir_1989
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1103
Aus: Freiburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-05-17

\(\begingroup\)
Hallo allerseits,

ich glaube, man könnte Sennars Beweis zu i) vervollständigen, indem man die \(\epsilon\)-Umgebung von x noch ein wenig verkleinert.


lg Wladimir
\(\endgroup\)


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