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Lineare Algebra » Matrizenrechnung » Gleichungssysteme über den ganzen Zahlen
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Universität/Hochschule Gleichungssysteme über den ganzen Zahlen
Tth
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-05-17


Liebe Mathematiker,

ich sollte bis in 14 Tagen eine Aufgabe lösen, wo ich im Moment nicht mal einen Ansatz finde.

Seien A ∈ fed-Code einblenden , b ∈ fed-Code einblenden

Wir interessieren uns für die Lösungen x ∈ fed-Code einblenden des inhomogenen Gleichungssystems Ax = b.

i) Zeigen Sie: wenn die Lösungsmenge nicht leer ist, dann hat sie die Form fed-Code einblenden für ein fed-Code einblenden fed-Code einblenden .

ii) Entwerfen Sie einen Algorithmus, der für gegebenes A, b die Lösungsmenge berechnet (also ein fed-Code einblenden fed-Code einblenden und eine Basis von fed-Code einblenden ).

iii) Konstruieren Sie ein A ∈ fed-Code einblenden und ein b ∈ fed-Code einblenden , so dass das System Ax = b viele Lösungen in fed-Code einblenden , aber keine Lösungen in fed-Code einblenden hat.

Ich wäre über jegliche Art von Hilfe sehr, sehr dankbar!

LG
TTh






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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-17

\(\begingroup\) \(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\)
Hallo,

Der Beweis von i) geht genauso, wie bei Vektorräumen. Was bereitet dir hier Schwierigkeiten?

Bei ii) würde ich in einem ersten Schritt das Gaußverfahren für lineare Gleichungssysteme etwas anpassen, so dass es eine Zeilenstufenmatrix liefert, bei der der erste Nichtnulleintrag in jeder Zeile aber nicht zwingend gleich 1 sein muss.

Zu iii) findet man leicht Beispiele. Denk einfach mal ein bisschen über Teilbarkeit nach.

EDIT: Ein besserer Ansatz zu ii) ist es die Smith-Normalform von $A$ zu bestimmen.
\(\endgroup\)


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Tth
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-25

\(\begingroup\)
2018-05-17 13:55 - Nuramon in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo,

Der Beweis von i) geht genauso, wie bei Vektorräumen. Was bereitet dir hier Schwierigkeiten?

Vielen Dank erstmals für deine Hilfe!

Nach Voraussetzung ist A·x=b.
Dann gilt A· fed-Code einblenden = b genau dann, wenn A · ( fed-Code einblenden − x) = 0, daher wenn fed-Code einblenden − x ∈ fed-Code einblenden gilt.

Reicht das schon als Beweis so?

2018-05-17 13:55 - Nuramon in Beitrag No. 1 schreibt:
Bei ii) würde ich in einem ersten Schritt das Gaußverfahren für lineare Gleichungssysteme etwas anpassen, so dass es eine Zeilenstufenmatrix liefert, bei der der erste Nichtnulleintrag in jeder Zeile aber nicht zwingend gleich 1 sein muss.

EDIT: Ein besserer Ansatz zu ii) ist es die Smith-Normalform von $A$ zu bestimmen.

Wäre nett, wenn du mir das näher erläutern kannst. Die Smith-Normalform ist ja eine Matrix, mit den Elementarteilern in der Diagonale. Wie hilft mir das dann weiter?

2018-05-17 13:55 - Nuramon in Beitrag No. 1 schreibt:
Zu iii) findet man leicht Beispiele. Denk einfach mal ein bisschen über Teilbarkeit nach.

Also ich hab mal A= fed-Code einblenden und b= fed-Code einblenden genommen, dann sollte über fed-Code einblenden die Lösungsmenge fed-Code einblenden und keine Lösung für fed-Code einblenden rauskommen.


\(\endgroup\)


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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-05-25

\(\begingroup\) \(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\)

Nach Voraussetzung ist A·x=b.
Dann gilt A· fed-Code einblenden = b genau dann, wenn A · ( fed-Code einblenden − x) = 0, daher wenn fed-Code einblenden − x ∈ fed-Code einblenden gilt.

Reicht das schon als Beweis so?

Nein. Du hast z.B. noch gar nicht gesagt, was $x_0$ eigentlich sein soll. (oder hast du die Rollen von $x$ und $x_0$ aus der Angabe vertauscht?)

Zu ii):
Finde quadratische ganzzahlige Matrizen $S$ und $T$ mit ganzzahligen Inversen, so dass $A=SMT$ ist für eine Matrix $T$, bei der nur auf der Hauptdiagonalen von Null verschiedene Einträge stehen. (Die Smith-Normalform liefert so eine Zerlegung, die noch zusätzliche Teilbarkeitsbedingungen erfüllt, die man für diese Aufgabe aber glaube ich gar nicht benötigt.)

Jetzt ist $Ax= b$ äquivalent zu $My = S^{-1}b$, wobei $y= Tx$ ist. Diese Gleichung kann man aber leicht nach $y$ lösen.  
\(\endgroup\)


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Tth
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-25

\(\begingroup\)
2018-05-25 16:32 - Nuramon in Beitrag No. 3 schreibt:

Nach Voraussetzung ist A·x=b.
Dann gilt A· fed-Code einblenden = b genau dann, wenn A · ( fed-Code einblenden − x) = 0, daher wenn fed-Code einblenden − x ∈ fed-Code einblenden gilt.

Reicht das schon als Beweis so?

Nein. Du hast z.B. noch gar nicht gesagt, was $x_0$ eigentlich sein soll. (oder hast du die Rollen von $x$ und $x_0$ aus der Angabe vertauscht?)

Ay ay ja ich hab da im Formeleditor anscheinend falsch kopiert und dann nicht mehr durchgelesen :/

Also:

Sei fed-Code einblenden eine Lösung von A·x=b, so gilt:

x ist genau dann ebenfalls eine Lösung von A·x=b, wenn x = fed-Code einblenden + fed-Code einblenden .

Nach Voraussetzung ist A· fed-Code einblenden =b.
Dann gilt A·x=b genau dann, wenn A · (x- fed-Code einblenden )=0, daher wenn x- fed-Code einblenden fed-Code einblenden gilt.

Besser so?

2018-05-25 16:32 - Nuramon in Beitrag No. 3 schreibt:

Zu ii):
Finde quadratische ganzzahlige Matrizen $S$ und $T$ mit ganzzahligen Inversen, so dass $A=SMT$ ist für eine Matrix $T$, bei der nur auf der Hauptdiagonalen von Null verschiedene Einträge stehen. (Die Smith-Normalform liefert so eine Zerlegung, die noch zusätzliche Teilbarkeitsbedingungen erfüllt, die man für diese Aufgabe aber glaube ich gar nicht benötigt.)

Jetzt ist $Ax= b$ äquivalent zu $My = S^{-1}b$, wobei $y= Tx$ ist. Diese Gleichung kann man aber leicht nach $y$ lösen.  

Okay, das versuche ich mal, danke!
\(\endgroup\)


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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-05-25

\(\begingroup\) \(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\)
2018-05-25 19:21 - Tth in Beitrag No. 4 schreibt:

Sei fed-Code einblenden eine Lösung von A·x=b, so gilt:

x ist genau dann ebenfalls eine Lösung von A·x=b, wenn x = fed-Code einblenden + fed-Code einblenden .

Nach Voraussetzung ist A· fed-Code einblenden =b.
Dann gilt A·x=b genau dann, wenn A · (x- fed-Code einblenden )=0, daher wenn x- fed-Code einblenden fed-Code einblenden gilt.

Besser so?

Ja, aber es muss $x\in x_0+\ker_{\mathbb Z}A$ heißen und nicht $x= x_0+\ker_{\mathbb Z}A$
\(\endgroup\)


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Tth
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-25

\(\begingroup\)
2018-05-25 16:32 - Nuramon in Beitrag No. 3 schreibt:

Zu ii):
Finde quadratische ganzzahlige Matrizen $S$ und $T$ mit ganzzahligen Inversen, so dass $A=SMT$ ist für eine Matrix $T$, bei der nur auf der Hauptdiagonalen von Null verschiedene Einträge stehen. (Die Smith-Normalform liefert so eine Zerlegung, die noch zusätzliche Teilbarkeitsbedingungen erfüllt, die man für diese Aufgabe aber glaube ich gar nicht benötigt.)

Jetzt ist $Ax= b$ äquivalent zu $My = S^{-1}b$, wobei $y= Tx$ ist. Diese Gleichung kann man aber leicht nach $y$ lösen.  

Also dieser Absatz ist mir etwas unklar, mit der Smith-Normalform zerlege ich ja meine Matrix A in diesem Beispiel, sodass $M=SAT$ und die Matrix M hat dann nur von Null verschiedene Einträge auf der Hauptdiagonalen, oder?
\(\endgroup\)


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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-05-25

\(\begingroup\) \(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\)
Zerlege $A= SMT$, dann klappt es so wie ich geschrieben habe.


die Matrix M hat dann nur von Null verschiedene Einträge auf der Hauptdiagonalen
Nicht ganz: $M$ hat nur auf der Hauptdiagonalen von Null verschiedene Einträge.
\(\endgroup\)


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