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Strukturen und Algebra » Ringe » Ringerweiterung, Index
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Universität/Hochschule J Ringerweiterung, Index
Saki17
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Aus: Fernost
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-05-20

\(\begingroup\)
Hallo,

ich will zeigen:
Sei $A\subset B$ eine ganze Ringerweiterung und der Index $[B:A]=:m$ der additiven Gruppen sei endlich. Ferner sei $k\in \IN$ mit ggT$(m,k)=1$. Dann ist der natürliche Ringhomomorphismus $A/kA\to B/kB$ ein Isomorphismus.

Ersichtlich ist $\ker(A\to B/kB)=kA$. Und $B/kB$ ist ganz über $A/kA$. Wie sollte ich die Bedingung an $k, m$ verwenden um die Surjektivität zu kriegen?
\(\endgroup\)


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kurtg
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.08.2008
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-20

\(\begingroup\)
Hi,

das stimmt nicht. Schau dir einfach mal quadratische Ringerweiterungen von $\mathbb{Z}$ an.
\(\endgroup\)


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Saki17
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.09.2015
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Aus: Fernost
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-20

\(\begingroup\)
Tut mir leid, ich hatte die Aufgabe falsch im Kopf: Die Erweiterung $A\subset B$ muss nicht ganz sein.

2018-05-20 11:47 - kurtg in Beitrag No. 1 schreibt:
das stimmt nicht. Schau dir einfach mal quadratische Ringerweiterungen von $\mathbb{Z}$ an.
Etwa $\IZ\subset \IZ[\sqrt{2}]$ mit $k=3$?
\(\endgroup\)


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kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-05-20


Ja, zum Beispiel.

Wo ist die Aufgabe her?



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kurtg
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-05-20


Siehe auch www.uio.no/studier/emner/matnat/math/MAT4250/h13/utvidelser.pdf Lemma 1.



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Saki17
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Aus: Fernost
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-20


Danke!

Ich rede mal mit meinem Übungsleiter.



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kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-05-20


Siehe auch www.math.purdue.edu/~dvb/preprints/schemesgalois5.pdf Theorem 5.3.2.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]



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kurtg
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Dabei seit: 27.08.2008
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-05-21


Du hast mir ja geschrieben, dass es um den Index der additiven Gruppen geht. Dann folgt das aus den Eigenschaften des Tensorproduktes und des Tor-Funktors.



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Saki17
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.09.2015
Mitteilungen: 463
Aus: Fernost
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-22


Momentan fehlt mir das Grundwissen über den Tor-Funktor, deshalb kann ich dein Argument leider nicht nachvollziehen.

Danke trotzdem.



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Triceratops
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Mitteilungen: 3644
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-05-22

\(\begingroup\)
2018-05-20 10:06 - Saki17 im Themenstart schreibt:
Ersichtlich ist $\ker(A\to B/kB)=kA$.
 
Wie beweist du das denn?

Die Surjektivität geht jedenfalls so:

Wähle $u,v \in \IZ$ mit $um + vk = 1$. Für $b \in B$ ist
\[b = um \cdot b + vk \cdot b.\] Der erste Summand liegt in $A$ wegen des Satzes von Lagrange.
Der zweite Summand liegt in $bK$.
Das zeigt, dass $um \cdot b$ ein Urbild von $[b] \in B/kB$ unter $A/kA \to B/kB$ ist.

Hierbei handelt es sich übrigens um keine ringtheoretische Aussage. Sie gilt für abelsche Gruppen.
\(\endgroup\)


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Saki17
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Aus: Fernost
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-23 15:46

\(\begingroup\)
Danke!

2018-05-22 22:10 - Triceratops in Beitrag No. 9 schreibt:
2018-05-20 10:06 - Saki17 im Themenstart schreibt:
Ersichtlich ist $\ker(A\to B/kB)=kA$.
 
Wie beweist du das denn?
Geht das nicht einfach mit $\ker(A\to B/kB)=A\cap \ker(B\to B/kB)=A\cap kB=kA$?
\(\endgroup\)


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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-05-23 18:43

\(\begingroup\)
$A \cap kB = kA$ muss begründet werden. Das gilt halt nicht allgemein.
\(\endgroup\)


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Saki17
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-23 21:33

\(\begingroup\)
Du hast recht.

Sei $a\in A\cap kB$, also gibt es ein $b\in B$ mit $a=kb$. Dies $b$ muss schon in $A$ sein: In der Faktorgruppe $B/A$ heißt die letzte Gleichung $k[b]=0$, ferner sind $k, m$ teilerfremd, also kann das nur gelten wenn $[b]=0$ bzw. $b\in A$. ($\text{ord}([b])\mid k \land \text{ord}([b])\mid m$)
\(\endgroup\)


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