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Differentiation » Mehrdim. Differentialrechnung » Ableitung der Determinante einer 2x2-Matrix
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Universität/Hochschule J Ableitung der Determinante einer 2x2-Matrix
Kekks
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-05-20


Hallo,

Ich soll die Ableitung in I (Einheitsmatrix) der Determinante von 2x2 Matrizen bestimmen.

Bei meinen bisherigen Aufgaben habe ich immer die partiellen Ableitungen gebildet und diese dann in die Jacobi-Matrix geschrieben. Diese habe ich dann in die Definition der totalen Differenzierbarkeit eingesetzt und geschaut, ob der Ausdruck gegen 0 konvergiert.

Ich habe hier mal die Richtungsableitung gebildet: Das ist die Summe der Diagonalelemente, also die Spur.

Aber wie bilde ich damit jetzt meine Ableitung?
Wenn ich eine Matrix in die Ableitung einsetze, müsste doch eigentlich eine Zahl rauskommen, oder? Dann muss die Ableitung aber eine Funktion sein, die aus Matrizen Skalare macht. Die Jacobi-Matrix ist es also sicherlich nicht.

Hat jemand einen Tipp für mich?



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Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-20

\(\begingroup\)
Hey Kekks und willkommen!

Wir haben die Abbildung \(f:\mathbb{R}^{2 \times 2} \to \mathbb{R}\), \(f(M)= \det(M)\).

Per Definition ist die Ableitung (sofern sie denn existiert) von \(f\) an einer Stelle \(M \in \mathbb{R}^{2 \times 2}\) eine lineare Abbildung (nennen wir sie \(A\)) von \(\mathbb{R}^{2 \times 2}\) nach \(\mathbb{R}\), sodass

\(f(M+H) = f(M) + A(H) + R(H)\), wobei \(\frac{R(H)}{\Vert H \Vert_{\mathbb{R}^{2 \times 2}}} \to 0\) für \(\Vert H \Vert_{\mathbb{R}^{2 \times 2}} \to 0\).

Was du also tun musst ist offenbar folgendes:
Setze \(M=I\), schreib den Term \(f(I+H)\) hin und forme diesen Term um, bis du etwas der Form \(f(H) + \text{irgendwas lineares in}~H + \text{irgendeinen Rest} \) hast und zeigst, dass der Restterm durch die Norm von \(H\) wie oben beschrieben gegen \(0\) geht.
\(\endgroup\)


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Kekks
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-20


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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-05-20

\(\begingroup\)
2018-05-20 17:38 - Kekks in Beitrag No. 2 schreibt:
fed-Code einblenden

Die Definition von Linearität verlangt noch mehr als "nur" \(A(2H + K)=2A(H) + A(K)\) zu zeigen. Du musst \(A(aH + bK)=a \cdot A(H) + b \cdot A(K)\) für beliebige \(a,b \in \mathbb{R}\) und \(H,K \in \mathbb{R}^{2 \times 2}\) zeigen (was natürlich genauso einfach zu sehen ist).
In der Tat ist \(A(H)=h_{11} + h_{22}= \text{tr}(H)\).

2018-05-20 17:38 - Kekks in Beitrag No. 2 schreibt:
fed-Code einblenden

Das ist auch nicht verwunderlich. Wenn \(f\) an einer Stelle \(M\) (hier ist ja \(M=I\)) differenzierbar ist (man schreibt für die Ableitung an der Stelle \(M\) dann auch \(Df(M)\), wobei hier anzumerken ist, dass ich schon gefühlt 1000 unterschiedliche Schreibweisen dafür gesehen habe), dann ist die Richtungsableitung von \(f\) an der Stelle \(M\) in Richtung \(H\) nichts anderes \(H\) in die totale Ableitung von \(f\) an der Stelle \(M\) eingesetzt, also nichts anderes als \(Df(M)(H)\). Im Fall \(M=I\) also \(Df(I)(H)= tr(H)\).



2018-05-20 17:38 - Kekks in Beitrag No. 2 schreibt:
fed-Code einblenden

Das ist so natürlich etwas vage. Die Maximumsnorm zu nehmen ist aber schon mal gut. Dann kann man doch z.B. einfach
\(|\frac{h_{11} h_{22}}{\Vert H \Vert}| \leq \frac{|h_{11} h_{22}|}{|h_{11}|}=|h_{22}| \to 0\)
rechnen.
(Oder alternativ auch
\(|\frac{h_{11} h_{22}}{\Vert H \Vert}| \leq \frac{\Vert H \Vert^2}{\Vert H \Vert} = \Vert H \Vert \to 0\))

2018-05-20 17:38 - Kekks in Beitrag No. 2 schreibt:
fed-Code einblenden

Ja, das sind sie. Man ersetze einfach \(x\) durch \(x_0+h\) und lasse statt \(x \to x_0\) nun \(h \to 0\) laufen. Umgekehrt kann man natürlich auch \(x_0+h\) durch \(x\) ersetzen und statt \(h \to 0\) nun \(x \to x_0\) laufen lassen. Daher sind offenbar alle drei Definitionen äquivalent.
\(\endgroup\)


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Kekks
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-20

\(\begingroup\)
2018-05-20 19:56 - Kampfpudel in Beitrag No. 3 schreibt:

Die Definition von Linearität verlangt noch mehr als "nur" \(A(2H + K)=2A(H) + A(K)\) zu zeigen. Du musst \(A(aH + bK)=a \cdot A(H) + b \cdot A(K)\) für beliebige \(a,b \in \mathbb{R}\) und \(H,K \in \mathbb{R}^{2 \times 2}\) zeigen (was natürlich genauso einfach zu sehen ist).
In der Tat ist \(A(H)=h_{11} + h_{22}= \text{tr}(H)\).

Ja, wieso ich die 2 genommen habe und das auch nur für eine der beiden Matrizen weiß ich um ehrlich zu sein gerade auch nicht. Dass das keinen Sinn macht ist mir eigentlich klar.

2018-05-20 19:56 - Kampfpudel in Beitrag No. 3 schreibt:

Das ist so natürlich etwas vage. Die Maximumsnorm zu nehmen ist aber schon mal gut. Dann kann man doch z.B. einfach
\(|\frac{h_{11} h_{22}}{\Vert H \Vert}| \leq \frac{|h_{11} h_{22}|}{|h_{11}|}=|h_{22}| \to 0\)
rechnen.
(Oder alternativ auch
\(|\frac{h_{11} h_{22}}{\Vert H \Vert}| \leq \frac{\Vert H \Vert^2}{\Vert H \Vert} = \Vert H \Vert \to 0\))


Das setzt ja voraus, dass eines der Diagonalelemente das Maximum ist. Was passiert allerdings, wenn es das nicht ist? Für
fed-Code einblenden
kann ich ja nicht einfach kürzen.
\(\endgroup\)


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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-05-20

\(\begingroup\)
2018-05-20 21:12 - Kekks in Beitrag No. 4 schreibt:

Das setzt ja voraus, dass eines der Diagonalelemente das Maximum ist. Was passiert allerdings, wenn es das nicht ist? Für
fed-Code einblenden
kann ich ja nicht einfach kürzen.


Das ist gar nicht nötig, da ich einfach die Abschätzung \(|h_{11}| \leq \Vert H \Vert\) benutze.
\(\endgroup\)


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Kekks
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-20


Ah, jetzt hab ich die Abschätzung erst kapiert.

Vielen Dank für deine ausführliche Hilfe :)



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Kampfpudel
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Gerne :)



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