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Elementare Zahlentheorie » Zahlen - Darstellbarkeit » Pythagoreische Tripel
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Autor
Universität/Hochschule Pythagoreische Tripel
cptflint
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-05-20

\(\begingroup\)
Moin, moin,

ich hänge etwas an folgender Aufgabe:
Zu zeigen ist, dass alle pythagoreischen Tripe $a,b,c$ mit $a^2+b^2=c^2$ durch natürliche Zahlen $x,y,z$ dargestellt werden können, so dass
$a=2xyz$ und $b=(x^2-y^2)z$ sowie $c=(x^2+y^2)z$.

Als Tipp habe ich, dass zuerst für primtive Tripe - ggt(a,b,c)=1 - zu zeigen, aber da komme ich auch nicht weiter. Ich weiß, dass für solche primitiven Tripel gilt, dass entweder $a$ oder $b$ gerade ist und $c$ ungerade ist.

Anschließend soll ich noch folgern, dass eine der Zahlen durch drei, eine durch vier, und eine durch fünf teilbar ist.

Jemand vielleicht einen Tipp?


Liebe Grüße
\(\endgroup\)


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kurtg
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.08.2008
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-20


Hi,

was macht ihr gerade in der Vorlesung? (Sofern es eine Übungsaufgabe ist.)



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cptflint
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Dabei seit: 03.02.2017
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-20


Kongruenzrechnung, Chinesischer Restsatz, Restklassenringe und zuvor Euklid für den ggT.




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Saki17
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Aus: Fernost
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-05-20

\(\begingroup\)
Hi cptflint,

ich kenne zwei Ansätze.

1. Rationale Parametrisierung des Einheitskreises, ein Bild dazu:
de.wikipedia.org/wiki/Datei:Rational_parameterization_of_unit_circle.svg
(diese liefert eine Bijektion zwischen $\mathbb{S}^1\cap\IQ^2$ und $\IQ\cup\{\infty\}$)

2. Mit Hilbert Satz 90.
s. Aufgabe 6 von Boschs Algebra, Kap.4.8.
\(\endgroup\)


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cptflint
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-21


Danke für den Hinweis, ich habe den ersten Teil in Richtung Deines zweiten Ansatzes gelöst, jetzt fehlt mir noch zu zeigen, dass eine der Zahlen immer durch drei, eine immer durch vier und eine immer durch fünf teilbar ist.

Ich habe es mit dem Chinesischen Restsatz versucht, das bringt mich jedoch nicht wirklich weiter.



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-05-21

\(\begingroup\)
Hier reicht es einfach die möglichen Restklassen von \(x^2\) mod 3,4,5 zu bestimmen.
\(\endgroup\)


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