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Elementare Zahlentheorie » Zahlen - Darstellbarkeit » Pythagoreische Tripel
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Universität/Hochschule Pythagoreische Tripel
cptflint
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-05-20

\(\begingroup\)
Moin, moin,

ich hänge etwas an folgender Aufgabe:
Zu zeigen ist, dass alle pythagoreischen Tripe $a,b,c$ mit $a^2+b^2=c^2$ durch natürliche Zahlen $x,y,z$ dargestellt werden können, so dass
$a=2xyz$ und $b=(x^2-y^2)z$ sowie $c=(x^2+y^2)z$.

Als Tipp habe ich, dass zuerst für primtive Tripe - ggt(a,b,c)=1 - zu zeigen, aber da komme ich auch nicht weiter. Ich weiß, dass für solche primitiven Tripel gilt, dass entweder $a$ oder $b$ gerade ist und $c$ ungerade ist.

Anschließend soll ich noch folgern, dass eine der Zahlen durch drei, eine durch vier, und eine durch fünf teilbar ist.

Jemand vielleicht einen Tipp?


Liebe Grüße
\(\endgroup\)


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kurtg
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.08.2008
Mitteilungen: 1180
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-20


Hi,

was macht ihr gerade in der Vorlesung? (Sofern es eine Übungsaufgabe ist.)



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cptflint
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 03.02.2017
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-20


Kongruenzrechnung, Chinesischer Restsatz, Restklassenringe und zuvor Euklid für den ggT.




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Saki17
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Aus: Fernost
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-05-20

\(\begingroup\)
Hi cptflint,

ich kenne zwei Ansätze.

1. Rationale Parametrisierung des Einheitskreises, ein Bild dazu:
de.wikipedia.org/wiki/Datei:Rational_parameterization_of_unit_circle.svg
(diese liefert eine Bijektion zwischen $\mathbb{S}^1\cap\IQ^2$ und $\IQ\cup\{\infty\}$)

2. Mit Hilbert Satz 90.
s. Aufgabe 6 von Boschs Algebra, Kap.4.8.
\(\endgroup\)


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cptflint
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 03.02.2017
Mitteilungen: 80
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-21


Danke für den Hinweis, ich habe den ersten Teil in Richtung Deines zweiten Ansatzes gelöst, jetzt fehlt mir noch zu zeigen, dass eine der Zahlen immer durch drei, eine immer durch vier und eine immer durch fünf teilbar ist.

Ich habe es mit dem Chinesischen Restsatz versucht, das bringt mich jedoch nicht wirklich weiter.



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TomTom314
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Dabei seit: 12.05.2017
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-05-21

\(\begingroup\)
Hier reicht es einfach die möglichen Restklassen von \(x^2\) mod 3,4,5 zu bestimmen.
\(\endgroup\)


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Mattin15
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 10.06.2014
Mitteilungen: 525
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-09-05


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np_complete
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.03.2015
Mitteilungen: 249
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-09-09


Man braucht nur Folgendes:

a) dass im Ring der ganzen Zahlen die Primfaktorzerlegung eindeutig ist
b) dass in faktoriellen Ringen die Primelemente genau die irreduziblen Elemente sind
c) dass die Einheiten im Ring der ganzen Zahlen trivial sind
d) die dritte binomische Formel

MfG np_complete



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