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Analysis » Folgen und Reihen » Σ c_k·a_k absolut konvergent, falls (c_k) konvergent und Σ a_k absolut konvergent
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Universität/Hochschule J Σ c_k·a_k absolut konvergent, falls (c_k) konvergent und Σ a_k absolut konvergent
Physics
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-05-20


Hallo zusammen,

folgende Aufgabenstellung:
fed-Code einblenden

Mein Ansatz wäre der Folgende:
fed-Code einblenden

Könntet ihr mir sagen, ob ich auf dem totalen Holzweg bin, oder die Grundgedanken korrekt sind? So oder so wäre ich erfreut über eure Ansätze zu dieser Aufgabe.

Vielen Dank und viele Grüße,
Physics



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-20


Hallo Physics,

Du musst eigentlich nur ausnutzen, dass eine konvergente Folge beschränkt ist.

Grüße,
dromedar



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Physics
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-20


Hallo dromedar,

die Idee hatte ich auch erst, war mir dann aber unklar wie ich es umsetzen sollte, da wir hier ja ein Produkt haben.
fed-Code einblenden



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-05-20

\(\begingroup\)
2018-05-20 22:54 - Physics in Beitrag No. 2 schreibt:
[...] war mir dann aber unklar wie ich es umsetzen sollte, da wir hier ja ein Produkt haben.

Wo genau taucht denn dabei ein Problem auf? Aus $|c_k|\le C$ folgt doch sofort

    $\displaystyle
\sum_{k=1}^\infty|a_k\,c_k|\le C\cdot\sum_{k=1}^\infty|a_k|$  .
\(\endgroup\)


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Physics
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-20


Hast du für diesen Schritt die Reihe aufgesplittet oder direkt gesagt, Weil Beschränkung vorliegt muss es dann eine obere Schranke geben und dann abgeschätzt?
Kann man das denn bei einer Reihe einfach so machen ?  Ich meine ich summiere ja dann trotzdem unendlich viele Werte auf, auch wenn Beschränkung durch C vorliegt.



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-05-20

\(\begingroup\)
2018-05-20 23:07 - Physics in Beitrag No. 4 schreibt:
Kann man das denn bei einer Reihe einfach so machen ?

Warum sollte man das nicht können?

Aus $|c_k|\le C$ folgt erstmal $|a_k\,c_k|\le C\cdot|a_k|$ und daraus dann

    $\displaystyle
\sum_{k=1}^n|a_k\,c_k|\le C\cdot\sum_{k=1}^n|a_k|
\le C\cdot\sum_{k=1}^\infty|a_k|<\infty$

für endliche Teilsummen. $n\to\infty$ liefert dann

    $\displaystyle
\sum_{k=1}^\infty|a_k\,c_k|<\infty$  .

An welcher Stelle siehst Du hier ein Problem?
\(\endgroup\)


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Physics
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-20


fed-Code einblenden



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-05-20

\(\begingroup\)
2018-05-20 23:38 - Physics in Beitrag No. 6 schreibt:
Die harmonische Reihe divergiert doch aber [...]

Die harmonische Reihe kommt hier nirgendwo vor.

Es kommt nur darauf an, dass die Folge $n\mapsto c_n$ konvergent und damit beschränkt ist. Die Reihe $n\mapsto\sum_{k=1}^nc_k$ spielt überhaupt keine Rolle.
\(\endgroup\)


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Physics
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-21


Verstehe es ehrlich gesagt noch nicht auch wenn ich die Schritte nachvollziehen kann. Könntest du mir vlt. einen umständlicheren Weg zeigen? Diese straight-forward-Lösungen sind meistens etwas schwer zu verstehen für mich. Könnte man auch so argumentieren:
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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-05-21

\(\begingroup\)
2018-05-21 00:24 - Physics in Beitrag No. 8 schreibt:
Verstehe es ehrlich gesagt noch nicht auch wenn ich die Schritte nachvollziehen kann.

Dann kann ich Dir wirklich nur raten, weiter zu versuchen, den Zusammenhang der einzelnen Schritte zu verstehen.

Mach Die klar, dass die zu zeigende Aussage eine Verallgemeinerung der folgenden ist: Wenn die Reihe $\sum_{k=1}^\infty a_k$ absolut konvergiert, dann gilt dies auch für jedes Vielfache $\sum_{k=1}^\infty c\,a_k$ dieser Reihe.

Die Verallgemeinerung besteht darin, die Konstante $c$ durch eine konvergente Folge $(c_k)$ zu ersetzen. Schau Dir also während des Beweises insbesondere den Spezialfall an, dass $(c_k)$ eine konstante Folge mit $c_k=c$ ist.

2018-05-21 00:24 - Physics in Beitrag No. 8 schreibt:
Könnte man auch so argumentieren:

Nein. Wenn Deine Argumentation korrekt wäre, wäre $\sum_{k=1}^\infty |c_k\,a_k|$ nicht nur endlich, sondern $=0$.
\(\endgroup\)


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Physics
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-21


Du nimmst ja anfangs an:
fed-Code einblenden
Diese Annahme kann ich treffen da Beschränkung vorliegt, es also obere und untere Schranken gibt und beim Absolutbetrag sich einfach im Falle einer negativen Folge die Schranken verlagern. Oder?
Ich denke ich verstehe jetzt aber auch die Abschätzung. Wenn man die Abschätzung mit der oberen Schranke C macht ist klar dass:
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Ist das soweit korrekt?



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-05-21

\(\begingroup\)
2018-05-21 12:24 - Physics in Beitrag No. 10 schreibt:
[...] es also obere und untere Schranken gibt und beim Absolutbetrag sich einfach im Falle einer negativen Folge die Schranken verlagern.

Mir ist leider nicht klar, was Du hier sagen willst.

Auf jeden Fall kann man aus einer Abschätzung $m\le c_k\le M$ mit unterer Schranke $m$ und oberer Schranke $M$ auf die Form $|c_k|\le C$ kommen, indem man $C:=\max\{|m|,|M|\}$ setzt.

2018-05-21 12:24 - Physics in Beitrag No. 10 schreibt:
Ist das soweit korrekt?

Ja, das passt jetzt.
\(\endgroup\)


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Physics
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-21


Dankeschön dromedar! Jetzt ist mir auch die Sache mit der Schranke klar. Habe noch eine weitere Frage, die sich direkt auf selbiges Problem bezieht:
"Zeigen Sie dass die obige Aussage falsch ist (sprich meine ursprüngliche Frage), wenn die Reihe a_k zwar konvergiert, aber nicht absolut."
Mein Ansatz wäre der Folgende:
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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2018-05-22

\(\begingroup\)
Hallo Physics,

du machst es dir unnötig schwer!
Um die Aussage zu widerlegen, dass - bei gegebener konvergenten Folge $(c_{k})_{k \in \IN}$ und nur bedingt konvergenter Reihe $\sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k}$ - die Reihe $\sum \limits_{k=1}^{\infty} c_{k} a_{k}$ absolut konvergiert, genügt ein Gegenbeispiel!

Nun bist du dran!

Wähle also eine konvergente Folge $(c_{k})_{k \in \IN}$ und eine nicht absolut konvergente Reihe $\sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k}$ mit der zugrundeliegenden Folge $(a_{k})_{k \in \IN}$.

Kleiner Tipp: von welcher Reihe weißt du, dass sie konvergiert, aber ihre Beträge nicht absolut konvergieren?

Mache dir die Wahl aus Folge und Reihe so einfach wie möglich - zweiter Tipp: was ist die trivialste konvergente Folge (jetzt mal von $(c_{k})_{k \in \IN} = \frac{1}{k}$ abgesehen)? wink


Viele Grüße,
X3nion
\(\endgroup\)


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Physics
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Hallo X3nion,

danke dir erstmal für den guten Tipp : )

Dann hätte ich das jetzt mal so versucht:

fed-Code einblenden

Nur aus Interesse: Hätte man es auch so machen können wie ich es in meinem vorherigen Post versucht habe?





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Physics
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-23


Könnte noch mal Jemand über meinen letzten Beitrag  drüberschauen?

Danke!  : )



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