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Universität/Hochschule Injektivität, Surjektivität und Bijektivität
xpress
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-05-21





Hallo an alle, hoffe es geht allen gut :)


Die Aufgabenstellung hab ich hochgeladen und ich habe Schwierigkeiten dabei zu bestimmen ob eine Funktion Injektiv oder Surjektiv ist.

zur 2. Aufgabe zum Beispiel habe ich folgendes geschrieben: nicht injektiv, da alle Werte bis auf 0 doppelt angenommen werden und nicht surjektiv, da die negativen Werte nicht angenommen werden. Daraus folgt auch nicht bijektiv, da nicht injektiv und nicht surjektiv.

ist das so richtig?

mit den anderen hab ich irgendwie Probleme. Ich weiß die erste Funktion ist injektiv und surjektiv und somit auch Bijektiv aber warum?

ich habe verstanden, dass 7x+5 = 7y+5 aber bin mir nicht sicher ob das richtig ist --- -5 und /7 ---- x=y ist das dann injektiv ?

aber das könnte man theoretisch auch mit der zweiten machen die nicht injektiv sein kann --- 5x^2 = 5y^2 --- durch 5 teilen und Wurzel ziehen und man hätte stehen x=y oder ist das quatsch ?


ich hoffe jemand könnte mir weiter helfen. Ich weiß die Hilfe sehr zu schätzen.

Schöne Grüße  :-)



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Scheystein
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-21


Ja deine Lösung zu Aufgabe 2 ist richtig. Du könntest da aber mit einer einfachen Rechnung schöner argumentieren smile

fed-Code einblenden

Ein Beispiel reicht da schon aus, um zu zeigen, dass diese Funktion nicht injektiv ist. Und surjektiv ist diese Funktion auch nicht, da

fed-Code einblenden

Auch an dieser Stelle reicht ein Beispiel aus, um die Surjektivität zu widerlegen. Bei der ersten Funktion (die bijektiv ist) kann man so vorgehen.

fed-Code einblenden
Und damit ist die Injektivität der ersten Funktion gezeigt. Bei der zweiten kannst du nicht einfach die Wurzel ziehen!
fed-Code einblenden
Denn x könnte ja auch -4 sein. Um die Surjektivität der ersten Funktion nachzuweisen kannst du dir ein beliebiges y aus den reellen Zahlen nehmen und musst zeigen, dass es (mindestens) ein x0 aus den reellen Zahlen gibt, sodass gilt y = f(x0). Du musst allgemein hier einfach die Definitionen von Injektivität und Surjektivität nachweisen, die hast du sicherlich im Skript o.Ä. stehen  wink



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Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-05-21

\(\begingroup\)
Hallo,
zur 2 würden sogar nur zwei Gegenbeispiele reichen,
$f(-1)=f(1)=5$, aber $1 \ne -1$
Analog für Surjektivität.
Zum Injektivität Beweis-Versuch: nein hätte man nicht, beachte die negativen Wurzeln.

Zur 1:
Deine Umformung zur Injektivität ist korrekt. Du hast ja dadurch nachgewiesen: wenn zwei Elemente aus dem Bild gleich sind, dann müssen deren Urbilder gleich sein.
Für die Surjektivität musst du nachweisen, das zu jedem Element y aus dem Bild, sich ein ein passendes x findet, sodass f(x)=y gilt.

Konkret bei den Funktionen hier heißt das also nach x umstellen und nachweisen das die Gleichung für alle y aus dem Bild erfüllt ist.



Grüße,
h

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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Scheystein
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-05-22


Sind dir die Aufgaben klar geworden ?  wink



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xpress
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-22


2018-05-22 14:58 - Scheystein in Beitrag No. 3 schreibt:
Sind dir die Aufgaben klar geworden ?

jaaa ich bin gerade dabei die Aufgaben zu lösen und wollte dann danach Antworten :), vielen vielen dank für die Erklärungen sehr sehr freundlich biggrin

Paar Fragen sind mir in den Sinn gekommen:

Erste Aufgabe Injektivität hab ich verstanden. Zur Surjektivität habe ich folgendes geschrieben:
fed-Code einblenden

und jetzt kann ich für y beliebige Zahlen einsetzen und ich hätte für x immer einen Funktionswert ?

Zweite Frage: Danke für das Gegenbeispiel zweite Aufgabe, ich habe es folgendermaßen aufgeschrieben : x= -2 y=2  

fed-Code einblenden

aber das ist nicht der fall somit nicht injektiv. Das ist richtig oder ?

Zur Surjektivität : 5x^2 = y <=> x^2 = y/5 wenn ich jetzt für y eine negative Zahl einsetze dann kann ich nicht die Wurzel ziehen und somit nicht surjektiv ?

 vielen dank nochmal , schöne Grüße biggrin



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xpress
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-22


Aufgabe Nummer 3 :

Nicht injektiv weil, Gegenbeispiel: x = 0 und y = 2 -->
f(0) = 1 und f(2) = 1 daraus folgt nicht injektiv. Richtig ?

Surjektivität:
fed-Code einblenden

was mach ich jetzt ?




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Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-05-22

\(\begingroup\)
Hallo,

2018-05-22 15:12 - xpress in Beitrag No. 4 schreibt:
Zur Surjektivität habe ich folgendes geschrieben:
fed-Code einblenden

und jetzt kann ich für y beliebige Zahlen einsetzen und ich hätte für x immer einen Funktionswert ?
Sozusagen. Nur das man keine explizite Zahl einsetzt, sondern es als y (also beliebig) lässt.

2018-05-22 17:03 - xpress in Beitrag No. 5 schreibt:
Aufgabe Nummer 3 :

Nicht injektiv weil, Gegenbeispiel: x = 0 und y = 2 -->
f(0) = 1 und f(2) = 1 daraus folgt nicht injektiv. Richtig ?
y=1 meinst du? Aber sonst korrekt.
2018-05-22 17:03 - xpress in Beitrag No. 5 schreibt:
Surjektivität:
fed-Code einblenden

was mach ich jetzt ?
Stimmt zur Hälfte. Beachte das in der Aufgabe für den Definitionsbereich $x \ge 0$ gefordert ist.  


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xpress
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-24 19:26

\(\begingroup\)


Stimmt zur Hälfte. Beachte das in der Aufgabe für den Definitionsbereich $x \ge 0$ gefordert ist.  

fed-Code einblenden


x2 fällt weg weil keine Negativen Zahlen Definiert sind ?

Sonst habe ich alles verstanden. Vielen Vielen Dank für eure Hilfe. Weiß ich sehr zu schätzen  smile
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Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-05-24 21:54

\(\begingroup\)
Ja genau.

Was hast du denn für die letzte Teilaufgabe raus?

Grüße,
h


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xpress
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-26 13:14




Was hast du denn für die letzte Teilaufgabe raus?


 Hallo, ich habe sie folgendermaßen gelöst




Surjektiv konnte ich nicht algebraisch lösen. Mir fehlt irgendwie noch Wissen glaube ich.

Ich habe eigentlich geschrieben

fed-Code einblenden


aber wie stelle ich nach x um ? nehme ich da einfach nur die Umkehrfunktion von cos ? Aber das  wirkt viel zu Simple als es richtig ist. Wenn jemand hier Hintergrundwissen hat würde ich sehr gerne zuhören :)



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Scheystein
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-05-27 13:58


Ja für die 4 das Gegenbeispiel für die Injektivität ist richtig. Allerdings benutzt man meist das Bogenmaß und nicht Gradmaß für trigonometrische Funktionen. D.h. Pi/2 statt 90. Du hast auch recht, dass die Surjektivität erfüllt ist. In der Tat wirst du das auch schlecht lösen können ... Man kann z.B. mit der analytischen Definition des Cosinus zeigen, dass das Maximum 1 und das Minimum -1 ist und diese Funktion stetig ist. Dann nimmt Cosinus jeden Wert zwischen [-1,1] an.

Lass dich von der obigen Definition des Cosinus nicht verunsichern  smile . Das wirst du für diese Aufgabe nicht wissen müssen.
Wenn du die Umkehrfunktion von der eigenschränkten (!) Cosinusfuktion suchst --> Arkuscosinus. Beachte, dass Umkehrfunktionen nur für bijektive Funktionen existieren. Hier in deiner Aufgabe würde ich in deiner Situation gar nicht versuchen den Cosinus umzustellen. Vielleicht tatsächlich über den Graphen argumentieren  razz
Siehe www.wikiwand.com/de/Zwischenwertsatz



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xpress
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-29 13:26




Ja für die 4 das Gegenbeispiel für die Injektivität ist richtig. Allerdings benutzt man meist das Bogenmaß und nicht Gradmaß für trigonometrische Funktionen. D.h. Pi/2 statt 90. Du hast auch recht, dass die Surjektivität erfüllt ist. In der Tat wirst du das auch schlecht lösen können ... Man kann z.B. mit der analytischen Definition des Cosinus zeigen, dass das Maximum 1 und das Minimum -1 ist und diese Funktion stetig ist. Dann nimmt Cosinus jeden Wert zwischen [-1,1] an

Wenn du die Umkehrfunktion von der eigenschränkten (!) Cosinusfuktion suchst --> Arkuscosinus. Beachte, dass Umkehrfunktionen nur für bijektive Funktionen existieren. Hier in deiner Aufgabe würde ich in deiner Situation gar nicht versuchen den Cosinus umzustellen. Vielleicht tatsächlich über den Graphen argumentieren  razz


Ich verstehe, vielen vielen dank!!! smile das ist sehr interessant.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-05-29 13:37

\(\begingroup\)
Hallo,
man muss sogar gar nicht graphisch argumentieren. Wenn ihr schon nachgewiesen habt das $\cos(x)$ stetig ist, dann folgt es direkt daraus (genauer folgt es aus dem Zwischenwertsatz, siehe Link von Scheystein).  

Wenn du über $\arccos(y)$ arbeiten möchtest kannst du über die Rechtsinverse argumentieren. Sehe da aber eher kaum Spielraum.

Grüße,
h


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