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Analysis » Funktionalanalysis » Verallgemeinerung des Banachschen Fixpunktsatzes
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Universität/Hochschule Verallgemeinerung des Banachschen Fixpunktsatzes
Pinguinsalat
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-05-22

\(\begingroup\)
Im Rahmen eines Referats, dass ich halten soll, bin ich auf folgenden Satz gestoßen: (ich hoffe ich hab ihn korrekt aus dem Englischen übersetzt)


Satz: (aus Iterative Solution von Ortega und Rheinboldt)

Sei G: D \(\subset R^{n} → R^{n}\) eine Abbildung. G bildet die Teilmenge \(D_0\) von D auf sich selbst ab und für ein geeignetes p≥1 gilt:

\(||G^{kp}(x) - G^{kp}(y)|| \le q_k ||x-y||\) für alle x,y \(\in D_0\) k=1,2,...   (1)

Sei \(\beta = \sum \limits_{k=1}^{\infty} q_k < + \infty\) . Dann hat G einen eindeutigen Fixpunkt x* in \(D_0\) und für jeden Startwert \(x^{(0)} \in D_0\) konvergiert die Fixpunktiteration \(x^{(k+1)}= G(x^{(k)})\) gegen den FP x*.

Für die Fehlerabschätzung gilt:

\(|| x^{(k)}-x*|| \le \beta || x^{(k)} - x^{(k-p)} || \) k=1,2,...


Aus dem Fließtext:

Wenn für ein p<1 \(G^{p}\) die Gleichung \(||G^{p}(x)-G^{p}(y)|| \le q ||x-y|| \forall x,y \, \in D_0\) q<1 erfüllt, dann gilt für (1) :
\(q_k = q^k und \beta = \frac{q}{q-1} \)

\(G^{p}(x)=G(G^{p-1}(x))\) für alle p≥1, wobei die 0-te Potenz die Identität ist.




Mein Problem ist, dass ich mir noch nicht ganz klar darüber bin, für was ich diesen eigentlich gebrauchen kann.

 

Ganz konkret hängt es daran:

für den Fall p=1 soll ich wieder den ganz regulären BFP Satz herausbekommen.
Wie soll ich dann das k im Exponenten von Gleichung (1) verstehen?

Hätte desweiteren jemand ein Beispiel eines solchen G, das dem Satz genügt? Ich denke, das sollte dann hoffentlich Klarheit schaffen.

Gibt es ein bestimmtes Schlagwort, mit dem ich bei google auf hilfreiche Treffer stoße?






\(\endgroup\)


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darkhelmet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-22

\(\begingroup\)
2018-05-22 00:47 - Pinguinsalat im Themenstart schreibt:
für den Fall p=1 soll ich wieder den ganz regulären BFP Satz herausbekommen.
Wie soll ich dann das k im Exponenten von Gleichung (1) verstehen?

Beim BFP-Satz ist die Voraussetzung ja, dass $0<c<1$ existiert mit $\big\lVert G(x)-G(y)\big\rVert\leq c\lVert x-y\rVert$ für alle $x,y\in D_0$. Daraus folgt dann per Induktion $\big\lVert G^k(x)-G^k(y)\big\rVert\leq c^k\lVert x-y\rVert$ für alle $x,y\in D_0$ und $k\in\mathbb{N}$.

Wie genau dein Satz davon eine Verallgemeinerung ist, kann man erst sagen, wenn man weiß, wofür $q_k$ steht. Diese Information fehlt. Steht das vielleicht im Fließtext vor dem Satz o.ä.?
\(\endgroup\)


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Pinguinsalat
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-22

\(\begingroup\)
2018-05-22 10:16 - darkhelmet in Beitrag No. 1 schreibt:
2018-05-22 00:47 - Pinguinsalat im Themenstart schreibt:
für den Fall p=1 soll ich wieder den ganz regulären BFP Satz herausbekommen.
Wie soll ich dann das k im Exponenten von Gleichung (1) verstehen?

Beim BFP-Satz ist die Voraussetzung ja, dass $0<c<1$ existiert mit $\big\lVert G(x)-G(y)\big\rVert\leq c\lVert x-y\rVert$ für alle $x,y\in D_0$. Daraus folgt dann per Induktion $\big\lVert G^k(x)-G^k(y)\big\rVert\leq c^k\lVert x-y\rVert$ für alle $x,y\in D_0$ und $k\in\mathbb{N}$.

Wie genau dein Satz davon eine Verallgemeinerung ist, kann man erst sagen, wenn man weiß, wofür $q_k$ steht. Diese Information fehlt. Steht das vielleicht im Fließtext vor dem Satz o.ä.?

Wenn für ein p<1 \(G^{p}\) die Gleichung \(||G^{p}(x)-G^{p}(y)|| \le q ||x-y|| \forall x,y \, \in D_0\) q<1 erfüllt, dann gilt für (1) :
\(q_k = q^k und \beta = \frac{q}{q-1} \)

Zusammen mit deiner Antwort ist mir klar jetzt klar, warum es eine Verallgemeinerung ist und für was das k steht. Vielen Dank!


Das Einzig fehlende wäre jetzt noch ein Beispiel für eine solche Abbildung \(G^p\) mit p<1.
Gibt es da ein schnell zu berechnendes Beispiel (am Besten eins, das im Falle \(G^1\) dem normalen BNFP Satz genügt) bzw. einen Trick eine solche relativ schnell selbst zu finden?
\(\endgroup\)


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Pinguinsalat
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-25

\(\begingroup\)
2018-05-22 12:40 - Pinguinsalat in Beitrag No. 2 schreibt:

Das Einzig fehlende wäre jetzt noch ein Beispiel für eine solche Abbildung \(G^p\) mit p<1.
Gibt es da ein schnell zu berechnendes Beispiel (am Besten eins, das im Falle \(G^1\) dem normalen BNFP Satz genügt) bzw. einen Trick eine solche relativ schnell selbst zu finden?


Kann mir hier keiner weiterhelfen, oder einen Tipp geben (wo ich suchen muss bzw. wie ich selber draufkomme?)

\(\endgroup\)


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MeWi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-05-25

\(\begingroup\)
Dein Startpost ist unvollständig (das hat wohl auch darkhelmet irritiert). In deiner Definition von $\beta$ fehlt ein Summand in der Reihe, und dieses Kriterium ist natürlich entscheidend.
\(\endgroup\)


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Pinguinsalat
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-25

\(\begingroup\)
2018-05-25 10:32 - MeWi in Beitrag No. 4 schreibt:
Dein Startpost ist unvollständig (das hat wohl auch darkhelmet irritiert). In deiner Definition von $\beta$ fehlt ein Summand in der Reihe, und dieses Kriterium ist natürlich entscheidend.

Oh, das tut mir leid. Habe es vervollständigt.
Danke für den Hinweis!
\(\endgroup\)


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