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Universität/Hochschule J Werte für a und b , sodass Funktionen konvex
student99
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-05-22


Hallo zusammen,
ich bräuchte bitte mal ein Feedback zu folgender Aufgabe:

fed-Code einblenden

Fühle mich da ein bisschen unsicher,
wäre nett, wenn mir jemand dazu Feedback geben könnte.

Vielen Dank und Viele Grüße, student 99



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-22


Da mußt Du nochmal ran. Neben pos./neg. definit gibt es auch noch indefinite Matrizen.

Hier hast Du zwei Möglichkeiten.
1) positiv semidefinit über ein erweitertes Minorenkriterium zu bestimmen, oder
2) (Vorzeichen der) Eigenwerte über das Charakteristische Polynom bestimmen (mein Favorit).




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student99
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-22


Hallo TomTom314,

das hatte ich am Anfang auch probiert, aber da komme ich gar nicht weiter.
Für die charakt. Polynome bekomme ich:

fed-Code einblenden

Aber wie ich davon die Nullstellen in Abhängigkeit von a berechne, weiß ich nicht. Vieleicht könntest du mir dazu einen Tipp geben?



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-05-22

\(\begingroup\)
Die genauen Nullstellen willst Du eigentlich nicht wissen (ich auch nicht smile ). Aber wenn man nun einfach ausrechnet für welche a,b 0 eine Nullstelle ist, kann man für diesen Fall bestimmen welche Vorzeichen(!) die anderen Nullstellen haben und über Stetigkeit dann entscheiden, wie es allgemein aussieht.

Bei dem quadratischen Polynom könnst Du die NST auch direkt bestimmen.

Nachtrag: Ich glaube bei \(\chi_g\) hast Du einen Rechenfehler.
\(\endgroup\)


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student99
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-23


i) Für a=0 und a=1/8 ist 0 eine Nullstelle des charakt. Pol. und die anderen Nullstellen sind dann alle >=0, somit wären dann alle Eigenwerte <=0 und Hf pos. semidefinit.
Wie du das mit der Stetigkeit meinst, versteh ich noch nicht so ganz.
Könntest du mir das noch erklären?
Vielen Dank





PS: korrigiertes fed-Code einblenden
fed-Code einblenden






 



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-05-23

\(\begingroup\)
Da das char. Polynom z.b. für a<0 niemals 0 als NST hat, kann sich dort auch die Anzahl der pos. Eigenwerte nicht verändern; d.h. Du bestimmst für z.B. a=-1, ob es neg. Nullstellen gibt, und weißt dann für alle a<0, ob \(H_f\) positiv definit ist.
\(\endgroup\)


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student99
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-23


Ach so. Ich hab jetzt folgendes:
Für a=-1 gibt es negative und pos. Nullst. des char. Pol., und wegen der Stetigkeit ist also Hf für alle a<0 indefinit.
und für alle a>=0 gibt es nur Nullst. >=0, also Hf positiv semidefinit.
D.h. f ist konvex für alle a>=0?

zur ii) hab ichs jetzt direkt versucht:
die Nullstellen des char. Pol. sind fed-Code einblenden
Damit diese >=0 sind, muss 64>=8ab, also b<=8/a .
D.h. g ist konvex für alle {(a,b):b<=8/a}?





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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-05-23


Ich hab's nicht ausgerechnet. Im Prinzip wendest Du halt dasselbe Argument auf 0<a<1/8 und 1/8<a an.

Bei ii) fehlt noch a,b>0.


(Weitere Antworten gibt erst morgen wieder.)



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student99
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-23 09:48


fed-Code einblenden



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-05-23 10:50

\(\begingroup\)
i) ist soweit vollständig.

ii) hier hatte ich ab >= 8 als Ergebnis. Für a<0 (bzw. b<0) hast Du neg. Eigenwerte.

Ich glaube wir haben mit den char. Polynomen eine etwas längliche Lösung. Soweit ich weiß, gibt es für pos. semidefinit folgendes Minorenkriterium:

Eine Matrix ist genau dann pos. semidefinit, wenn alle Minoren größer gleich null sind (also nicht nur die Hauptminoren).

Dazu finde ich gerade keine Referenz und bin mir nicht 100% sicher, ob es so richtig ist.

Konkret hättest Du dann für ii)
\(H_g\) pos. semidefinit \(\iff 8a>0\land 2b>0 \land 64ab-8>0\).

Bei i) kommt man damit auch zu demselben Ergebnis und ist auch nicht so aufwendig, da die meisten Minor unabhängig von a sind. Sorry, gestern habe ich Dir wohl die Panoramareise für die Aufgabe gezeigt. frown

\(\endgroup\)


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student99
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-23 12:19


Ok, vielen Dank. Dann wäre fast alles klar.
Nur bei der ii) verstehe ich noch nicht ganz, wie du auf den letzten Minor kommst, ich komme auf 16ab-64 (statt 64ab-8).?



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-05-23 12:33

\(\begingroup\)
Du hast natürchlich recht - mein Fehler. Ergibt dann auch ab>=4.

Richtig ist dann. \(H_g\) pos. semidefinit \(\iff 8a\geq 0\land 2b\geq0 \land 16ab-64\geq0\). ("=" ergänzt)
\(\endgroup\)


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student99
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-23 13:09


gut, dann wäre g also konvex für alle a,b >=0 mit ab>=4.
Vielen Dank für deine Unterstützung, du hast hast mir sehr geholfen.
student99



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