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Kein bestimmter Bereich Ordnungstypen
Goswin
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Wer kennt sich mit Ordnungstypen aus? Ich verstehe nicht, wieso die zwei hier angeführten uniformen Ordnungstypen "+++-" und "++--" zum selben orientierten Matroid "++++" gehören, wo sie doch in jeder Hinsicht verschieden aussehen? Und es scheint ja durchaus uniforme Ordnungstypen (von gleichem Rang und gleicher Mächtigkeit) zu geben, die nicht zum gleichen orientierten Matroid gehören, wie hier vermerkt wird. Für die Grundmenge $E=(0,1,2,3)$ hat der uniforme Ordnungstyp $+\!+\!+-$ die Chirotopwerte $\displaystyle \chi(0,1,2)=+,~ \chi(0,1,3)=+,~ \chi(0,2,3)=+,~ \chi(1,2,3)=-; $ er hat die "Cocircuit-Menge" $\displaystyle \{~ 0\,0+\!+,~ 0+0-,~ 0+\!+0,~ +0\,0-,~ +0+0,~ +\!-0\,0\\ 0\,0-\!-,~ 0-0+,~ 0-\!-0,~ -0\,0+,~ -0-0,~ -\!+0\,0~ \}; $ und er hat die "Circuit-Menge" $\displaystyle \{~ +\!+\!-\!+,~ -\!-\!+\!-~ \}. $ Der uniforme Ordnungstyp $+\!+\!--$ dagegen (ich würde die Bennenung "++++" vorziehen) hat die Chirotopwerte $\displaystyle \chi(0,1,2)=+,~ \chi(0,1,3)=+,~ \chi(0,2,3)=+,~ \chi(1,2,3)=+; $ er hat die "Cocircuit-Menge" $\displaystyle \{~ 0\,0+\!+,~ 0+0-,~ 0+\!+0,~ +0\,0+,~ +0-0,~ +\!+0\,0\\ 0\,0-\!-,~ 0-0+,~ 0-\!-0,~ -0\,0-,~ -0+0,~ -\!-0\,0~ \}; $ und er hat die "Circuit-Menge" $\displaystyle \{~ +\!-\!+\!-,~ -\!+\!-\!+~ \}. $ Das uniforme Matroid $++++$ hat (definitionsgemäß laut hier) Chirotopwerte $\displaystyle \chi(0,1,2)=+,~ \chi(0,1,3)=+,~ \chi(0,2,3)=+,~ \chi(1,2,3)=+. $ Aus all diesem folgere ich (aber leider nur ich), dass es entweder zwei verschiedene uniforme Matroide geben sollte, oder dass die beiden Ordnungstypen irgendeine nichttriviale Gemeinsamkeit haben, die ich nicht finden kann. In welchem Sinne könnten die Ordnungstypen "+++-" und "++--" äquivalent sein? Die obigen Aussagen könnten auch Fehler haben, aber wo bloß??


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
StefanVogel
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-20

Hallo Goswin, der Inhalt vom Link steht jetzt in https://finschi.com/math/om/, der Ordnungstyp (Order Type) "+++-" und "++--" zum orientierten Matroid "++++". Über dem Menüpunkt "Catalog of oriented matroids" ist symbolisch eine Kugel dargestellt mit mehreren sich schneidenden Groẞkreisen. Wenn man diese Großkreise mit einer Zentralprojektion auf eine Ebene außerhalb der Kugel projiziert, erhält man sowas wie über dem Menüpunkt "Catalog of Point Configurations" symbolisch dargestellt. Wenn man nun die Kugel ein wenig um den Mittelpunkt dreht, so daß einer der Schnittpunkte der Großkreise hinter dem Horizont verschwindet, taucht auf der anderen Seite der antipodale Schnittpunkt auf. Dieser bildet dann eine neue Punktkonfiguration. So könnten aus einem orientiertenn Matroid mehrere verschiedene Punktkonfigurationen entstehen. Ich habe das bis jetzt nur an Beispielen probiert. Bei früheren Versuchen im Zusammenhang mit der Austauscheigenschaft von Basissystemen (hier) bin ich auch an der Stelle steckengeblieben. Viele Grüße, Stefan


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StefanVogel
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-11-27

Zwecks Beweis siehe A graph theoretical approach for reconstruction and generation of oriented matroids Seite 20 (pdf-Viewer Seite 41) Ende des ersten Absatzes "Two oriented matroids are isomorphic if and only if they have the same face lattices." und ziemlich am Anfang des gleichen Absatzes "Renaming (or relabeling) the elements of E, or reorienting the elements, i.e., interchanging + and - side, does not affect the face lattice."


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