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Universität/Hochschule Faire Auktion
twinna
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-05-23 15:56


Hallo Forum,

ich habe folgendes Problem mit einer Erstpreisauktion, bei der der Gewinn, also das höchste Gebot, gleichermaßen auf die Verlierer aufgeteilt wird.

w = Wertschätzung
n = Anzahl Bieter
b = Gebot
h = höchstes Gebot der anderen Teilnehmer

meine Auszahlung, wenn ich gewinne: w - b
und wenn ich verliere: h/(n-1)

Soweit so gut.

Das Problem liegt jetzt in der Findung der dominanten Strategie. In der (fair division) Literatur finde ich wenn überhaupt Auktionen, in denen das Gebot des Gewinners auf alle Teilnehmer (und nicht wie hier gefordert auf die Verlierer) aufgeteilt wird wie zb. in Cramton, P., Gibbons R., and Klemperer P.: “Dissolving a Partnership Efficiently,”  Econometrica, 55, 1987, S. 615–632.

Könnt ihr mir hier ein wenig unter die Arme greifen?

Viele Grüße

Twinna




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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-23 17:09


Hallo twinna,

und herzlich willkommen auf dem Matheplaneten!


Ich sehe da zwei Möglichkeiten... einmal können wir uns sozusagen "from the beginning" durcharbeiten. Wie sähe eine Strategie in diesem Fall aus? Was ist eine dominante Strategie? etc.

Wenn du andersweitig Lösungen für ähnliche ( aber eben nicht gleiche ) Situationen gefunden hast, dann können wir uns die natürlich auch gemeinsam ansehen und schauen, wo die Abweichungen liegen, dh aus diesen eine Lösung für das hier konkret vorliegende Problem ableiten...

Wie ist denn den Kenntnisstand und wie weit bist du ggf. auf dem Weg zu einer eigenen Lösung schon gekommen?

Mit besten Grüssen
Gonz


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to fight! (Don Quijote de la Mancha)



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twinna
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-26 21:11


Hallo Gonz,

vielen Dank für deine Antwort
!
Mein aller erster Gedanke war, dass sich durch die Auszahlung im Falle einer Niederlage das eigene Gebot im Gegensatz zu der klassischen Erstpreisauktion verringert. Einfachstes Beispiel:
2 Bieter, w=100

klassische Auktion: w*(n-1)/n
Ich würde also 50 bieten.
Bei der hier angesprochenen Auktion mit Payoff für die Verlierer wäre ich bei einem Gebot von 50 indifferent zwischen Sieg oder Niederlage, also biete ich etwas weniger um die Auszahlung bei einem Sieg zu erhöhen. Bietet mein Gegner nun mehr als mein Gebot aber weniger als 50 habe ich meinen Nutzen nicht maximiert. Also kann das keine dominante Strategie sein.
Ich gebe  mein Gebot also so ab, dass bei einer Erhöhung durch Bieter 2, das Gebot von Bieter 2 50 beträgt.
Wo wir dann wieder bei der Strategie der klassischen Auktion wären.

Das ist jedoch rein meiner Logik entsprungen, ohne Beachtung der Wertschätzung des Gegners/ der Gegner.

Viele Grüße und ein schönes Restwochenende

Twinna



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-05-26 22:47


Ja, das wäre schon mal die Mini-Max Strategie. Denn wenn du andererseits mehr bietest, dann schmälerst du deinen Gewinn für den Fall dass du der höchstbietende ist.

Wäre noch zu prüfen, ob das wirklich eine dominante Strategie ist. ( Die muss es ja nicht unbedingt geben ).


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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-05-27 15:22


PS.:

So wie die Aufgabe gestellt ist braucht man die Wertschätzung der Gegner gar nicht zu kennen, denn für eine ( aus eigener Sicht ) dominante Strategie sind die Auszahlung an die übrigen Spieler und damit der Wert von deren Präferenz ja unerheblich. Sie würden eine Rolle spielen, wenn man zB nach einem Nash Gleichgewicht suchen würde, oder allgemeiner wenn man unterstellt, dass diese auch jeweils aus ihrer Sicht rational vorgehen...




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twinna
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-27 18:05


Hallo gonz,

in wie weit würde sich die Analyse ändern, wenn wir den Gegenspielern rationales Handeln unterstellen?

Angenommen wir bleiben bei dem Beispiel von oben.
Mein Gegner würde dann ebenfalls die Hälfte seiner (unbekannten) Wertschätzung bieten.

Jetzt hat mein Gegner eine Wertschätzung von 200 und würde dementsprechend 100 bieten.

Wenn nun beide die Wertschätzung des jeweils anderen schätzen könnten, würde ich mehr als meine halbe Wertschätzung 50 bieten um den Preis und damit meine Auszahlung zu maximieren.

Nur wie stellt man das an?

LG





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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-05-27 18:38


Naja, das kann man nun ja konkret durchspielen/rechnen.

Wenn du weisst dass einer deiner Gegenüber eine höhere Wertschätzung hast als du selbst, wirst du nichts ändern. Denn deine Auszahlung hängt ja an seinem Gebot, und das wird er an seiner Wertschätzung orientieren. Du könntest ja sonst auch aus versehen das Objekt zu einem ( aus deiner Sicht ) überhöhten Preis ersteigern.

Spannender wird es wenn du weisst, dass die Wertschätzungen deiner Gegenüber deutlich geringer sind als deine eigene. Ein konkretes Beispiel: Nur du weisst, dass das angebotene Bild ein echter Rembrandt ist, alle anderen halten es für ein unbedeutendes Werk eines seiner Schüler. Dann könntest du mit deinem Gebot heruntergehen, wenn du sicher bist, dass niemand dich überbieten würde, und würdest damit natürlich deine Gewinnspanne erhöhen.


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twinna
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-27 19:09


Ja das wäre ja dann die Situation für meinen Gegenspieler. Er hat eine doppelt so hohe Wertschätzung für das Gut wie ich. Wenn er jetzt meine Wertschätzung ansatzweise richtig schätzt kann er, mit der Annahme ich biete nach der dominanten Strategie der klassischen Erspreisauktion, sein Gebot senken um seinen Gewinn zu maximieren.

Wenn beide jetzt aber die Schätzungen der Wertschätzungen mit einfließen lassen, wird mein Gegner sein Gebot nicht senken und ich werde einen höheren Gewinn einfahren.

Oder ist das komplett falsch?



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-05-28 09:26


Das gehört jetzt in die Kategorie "wenn er weiss dass ich weiss...." Dazu gibt es ja die verschiedenen Überlegungen, wie man eine optimale Strategie bestimmt. Du hast von "dominanter" Strategie gesprochen, da müsstest du mal die genaue Definition herauskramen die ihr da verwendet und dann schauen, ob es hier eine solche gibt.

Das was du eben beschreibst wäre eher die Frage nach so etwas wie dem Nash Gleichgewicht ( das in groben Worten eine Situation beschreibt, in der beide Seiten ihr Ergebnis durch Veränderung ihrer Strategie nicht mehr verbessern können )


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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-05-28 09:41

\(\begingroup\)
O.B.d.A. haben Bieter 1 und Bieter 2 die beiden höchsten Wertschätzungen $w_1$ und $w_2$ mit $w_1> w_2$. Dann sollte Bieter 2 $(n-1)/n\cdot w_2$ bieten und Bieter 1 marginal mehr.
Bei diesen Geboten ist es Bieter 2 praktisch egal, ob er gewinnt oder nicht, da er in beiden Fällen einen Gewinn von $w_2/n$ erhält. Mit einer Erhöhung seines Gebotes würde er seinen Gewinn auf keinen Fall steigern. Eine Absenkung des Gebotes steigert den Gewinn aber auch nicht, weil damit Bieter 1 immer noch gewinnt und sich die Auszahlung nicht ändert.
Wenn Bieter 1 sein Gebot erhöht, verringert das nur seinen Gewinn, da er so oder so der Höchstbietende ist. Wenn er sein Gebot verringert fällt sein Gewinn von $w_1-(n-1)/n\cdot w_2$ auf $w_2-(n-1)/n\cdot w_2 = w_2/n$.
Beide Bieter haben also keine Veranlassung, ihr Gebot zu ändern. Es handelt sich also um ein Nash-Gleichgewicht.
Das die eventuell vorhandenen anderen Bieter nichts qualitatives am Gleichgewicht ändern, müsste man natürlich noch zeigen.

Ist die Wertschätzung der anderen Bieter nicht bekannt, dann kann Bieter 1 natürlich nicht $(n-1)/n\cdot w_2$ bieten.
Mit dem Gebot $(n-1)/n\cdot w_1$ maximiert Bieter 1 zumindest seinen Mindestgewinn.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]
\(\endgroup\)


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twinna
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-10 14:58


Hallo gonz,
hallo Kitaktus,

vielen Dank für eure Antworten.

Okay, dann lassen wir das ganze "wenn er weiß, was ich weiß" außen vor und bleiben bei dem Szenario wie unter #1 beschrieben mit der zusätzlichen Annahme, dass beide Spieler rational handeln.

Mit w*(n-1)/n maximiere zumindest den Gewinn, den ich selbst beeinflussen kann. Ich bin indifferent zwischen Gewinnen und Verlieren und generiere bei der unter #1 beschriebenen Auktion mit zwei Bietern mindestens die Hälfte meiner Wertschätzung und das absolut unabhängig von der Wertschätzung und des Gebots von Spieler 2. Wie kitaktus sagt: Mein Mindestgewinn.

Was aber biete ich, wenn ich meinen Gewinn maximieren möchte?
Das kann ja nicht die selbe Funktion sein wie für den Mindestgewinn, als auch für eine klassische Erstpreisauktion.

Gibt es ein Tool mit denen ich Bietfunktionen testen und gegeneinander antreten lassen kann?

Viele Grüße und einen schönen Sonntag

twinna



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-06-10 17:27


2018-06-10 14:58 - twinna in Beitrag No. 10 schreibt:
Gibt es ein Tool mit denen ich Bietfunktionen testen und gegeneinander antreten lassen kann?

Hallo Twinna,

ich wüsste jetzt keins, aber man könnte so etwas natürlich leicht bauen ( sozusagen... als kleine Programmierübung ).




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twinna
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-10 18:25


Hallo gonz,

ja ich habe mir schon eine excel gebaut..

25000 Datensätze im Interval [0,1] zufallsverteilt.

Da habe ich schon mehrere Funktionen gegeneinander antreten lassen. Die Funktion w*(n-1)/n ist da schon am stärksten
Ich dachte nur es gibt etwas wo man es noch schneller und einfacher handhaben kann. Weil bei so vielen Datensätzen der Rechner immer etwas brauch.

Jetzt habe ich durch Tests herausgefunden, dass nach der oben genannten Funktion zu bieten den größten Erfolg bzw. Nutzen verspricht. Nun bleibt die Frage wie ich das mathematisch beweisen oder herleiten kann.







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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2018-06-10 19:51


Naja, da wäre eben erstmal die Frage, wie du "den grössten Nutzen haben" genau definierst. Dazu gibt es die Möglichkeiten

a) ich spiele so, dass ich den Gewinn, den ich sicher erzielen kann, maximiere ( eben die MiniMax Strategie ), oder

b) ich spiele so, dass ich eine Strategie wähle, bei der weder ich noch mein Gegenüber durch einseitige Änderung der Strategie mehr erreichen kann. Dann wären wir bei dem Nash Gleichgewicht.

Das wäre dann nur noch Auszurechnen, was Kitaktus in Post #9 vorgerechnet hat...

Grüsse und einen schönen Sonntagabend
Gonz


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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2018-06-10 20:06

\(\begingroup\)
Huhu zusammen,

eine andere Möglichkeit die Auktion zu untersuchen, wäre eine Modellierung als ein Bayes-Spiel; d.h. insbesondere die Annahme von Wahrscheinlichkeitsverteilungen über den Typ der anderen Spieler. Da diese hier wohl aus $\mathbb{R}^+$ stammen, wäre z.B. eine Exponentialverteilung eine mögliche Wahl für die beliefs.

lg, AK.

\(\endgroup\)


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twinna
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-11 18:54


Hallo gonz,

ich denke wir sind dann eher bei b) und dem Nash-Gleichgewicht. Kitaktus hat es in Post #9 für eine Auktion, in der die Bieter über die Wertschätzung der anderen Bieter bescheid wissen, ausgerechnet. Ich habe Probleme damit, dass auf den geforderte Fall anzuwenden da mir ohne Wertschätzung der Gegner die Grundlage fehlt und man sein Gebot nicht an der Wertschätzung des Gegners anpassen kann.

Hallo AnnaKath,

wenn wir eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Wertschätzung haben, wie bspw. Normalverteilt im Interval [0,1] ist es doch ein Bayes spiel oder? Wie krieg ich das jetzt in einer vernünftigen Bietfunktion auf die Kette?

Liebe Grüße
twinna



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2018-06-12 19:06


Wenn man keine Kenntnis der Auszahlungsfunktion der Mitspieler hat, lässt sich die Theorie des Nash-Gleichgewichts nicht anwenden.

Die von mir in #9 vorgeschlagene Alternative maximiert immerhin den Mindestgewinn. Das ist schon mal viel wert.

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Wertschätzung der anderen Bieter zu kennen, wäre übrigens nur die halbe Miete. Man bräuchte auch ein Modell von deren Wissen über die anderen Bieter. Wissen sie nichts und leiten ihr Gebot nur aus ihrer Wertschätzung ab, oder haben sie ihrerseits Wissen über die Wahrscheinlichkeitsverteilung der anderen Bieter usw.



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twinna
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-12 19:34


Hallo Kitaktus,

vielen Dank. Dann hatte ich es mit dem Nash-Gleichgewicht doch richtig in Erinnerung.

Bei meiner Annahme in #15 bin ich davon ausgegangen, dass alle Wahrscheinlichkeiten aus dem selben Intervall mit der selben Wahrscheinlichkeitsverteilung gezogen werden. Und das jeder Bieter davon Kenntnis hat.




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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2018-06-12 21:21


Huhu Kitaktus!

2018-06-12 19:06 - Kitaktus in Beitrag No. 16 schreibt:
Wenn man keine Kenntnis der Auszahlungsfunktion der Mitspieler hat, lässt sich die Theorie des Nash-Gleichgewichts nicht anwenden.

Aber diese ist doch bekannt! Jedenfalls lese ich die knappe Formulierung der Aufgabe so, dass die Auktion symmetrisch für alle Spieler ist.


Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Wertschätzung der anderen Bieter zu kennen, wäre übrigens nur die halbe Miete. Man bräuchte auch ein Modell von deren Wissen über die anderen Bieter. Wissen sie nichts und leiten ihr Gebot nur aus ihrer Wertschätzung ab, oder haben sie ihrerseits Wissen über die Wahrscheinlichkeitsverteilung der anderen Bieter usw.

Wenn man eine dominante Strategie sucht, sollte das Wissen der anderen Spieler* eigentlich keine Rolle spielen.

Am Rande: Wenn man den Spielern hinreichend viele Runden lang gestattet, nach Ansicht der Gebote der jeweils anderen das eigene Gebot zu ändern, sollten die Einschätzungen über die Wahrscheinlichkeitsverteilungen im übrigen common knowledge (Satz von Aumann) werden.

lg, AK.

*) wobei ich auch hier intuitiv von der üblichen Annahme ausgehen würde, dass die Natur zu Beginn des Spieles die Typen der Spieler "auslost" und jedem Spieler nur genau sein Typ bekannt ist.



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2018-06-13 11:06


Puh: Das war Glück. Ich hatte den folgenden Beitrag geschrieben, aber es gab einen Fehler beim Abschicken. Alles weg und nichts kopiert!

Dann fand ich die noch offene Vorschau. Gerettet!

----------------

Zur Klarstellung: Ich verstehe das Problem so, dass jeder genau ein Gebot abgibt.
 
 Eine dominante Strategie im engeren Sinn müsste besser sein als alle anderen Strategien, egal was die Mitspieler machen.
 So eine Strategien gibt es nicht. Wenn die Mitspieler sehr wenig bieten, sollte man knapp darüber bleiben. Wenn sie mehr bieten, sollte man auch mehr bieten und wenn sie sehr viel bieten, sollte man aussteigen.
 
 Man kann das Prinzip der dominanten Strategie aufweiten, in dem man z.B. nur mögliche Aktionen der Gegner berücksichtigt, die für diese sinnvoll sind. Hier spielt es dann eine Rolle, was man über diese Mitspieler weiß und es spielt sogar eine Rolle, was diese wissen.
 Der Ansatz für das Nash-Gleichgewicht besteht in der Annahme, dass alle Mitspieler alle Auszahlungsfunktionen von allen anderen kennen und auch allen klar ist, dass alle dieses Wissen haben und alle davon ausgehen, dass jeder einzelne nur seinen eigenen Gewinn maximieren möchte.
 
 Was mir jetzt erst auffällt, es gibt nicht nur ein Nash-Gleichgewicht!
 
 Schauen wir uns den Fall mit zwei Spielern A und B an. Die Wertschätzung von A sei a und die von B sei b mit a>b.
 Das höchste sinnvolle Gebot für A ist a/2. Wenn B irgendeinen Wert zwischen b/2 und a/2 bietet und A minimal darüber bietet, so liegt ein Nash-Gleichgewicht vor.
 A wird nicht mehr bieten, weil er dann unnötig viel bezahlt. Er wird auch nicht weniger bieten, weil er dann die Auktion verliert.
 Bei B ist es umgekehrt, er wird nicht mehr bieten, weil er sonst die Auktion gewinnt, was für ihn ein Verlust darstellt und er kann sich auch nicht verbessern, wenn er weniger bietet.
 
 Spätestens jetzt wird klar, dass auch ein iterierter Bietprozess nicht unbedingt Klarheit verschafft.
 Wenn A und B iterativ ihre Gebote beliebig ändern dürfen, dann
 wäre erwartbar, dass B sein eigenes Gebot solange erhöht, wie A mitmacht und ihn so auf das Gebot a/2 hochtreibt.
 Aber warum sollte A da mitspielen? Er könnte auch so tun, als wäre seine Wertschätzung niedriger als a. Sagen wir a'. Wenn a'>b ist, dann hat er damit Erfolg. Wenn a'<b ist, riskiert er, in der finalen Auktion den Kürzeren zu ziehen. A und B haben also beide Grund, sich beim Bieten bedeckt zu halten.
 Wenn A und B ihre Gebote nur erhöhen, aber nicht absenken dürfen, dann muss sich B gut überlegen, wie weit er das Gebot hochtreibt. Er erhöht damit zwar seinen Gewinn, wenn A mitzieht, riskiert aber auch einen Verlust, wenn A dann doch aussteigt.
 
 Fazit 1: Es gibt nicht nur ein Nash-Gleichgewicht, sondern ein ganzes Kontinuum.
 
 Fazit 2: Sind die Auszahlungsfunktionen nicht allgemein bekannt, dann ergibt sich eine große Bandbreite an Szenarien



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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2018-06-13 21:28

\(\begingroup\)
Huhu Kitaktus,

Du siehst das Problem eher mathematisch, ich praktisch aus der Sicht einer Wirtschaftswissenschaftlerin. Vorweg: Keine der Sichtweisen ist falsch oder unbegründet.

Ich stimme Dir zu, dass es keine dominante Strategie gibt, wenn einem Spielern tatsächlich nichts weiter als sein Typ, die Auszahlungsfunktion und die Tatsache, dass nur einmal gesteigert wird, bekannt ist. (Dies wird mich später zur Grundlagendiskussion führen).

Deiner Argumentation bzgl. des Nash-Gleichgewichts kann ich nicht zustimmen. Bietet B etwa $\frac{b}{2}+\epsilon_1$, so ist stellt ein Gebot von A in Höhe von $\frac{b}{2}+\epsilon_1 + \epsilon_2$ kein Nash-Geichgewicht dar, denn Der Strategiewechsel von A zum Gebot $\frac{b}{2}+\epsilon_1 + \frac{\epsilon_2}{2}$ würde seinen Nutzen erhöhen*; ich gebe Dir aber natürlich recht, dass dies eine theoretische Situation ist (kein realer Mensch wird 0.00001 €-Cent von 0.000005 €-Cent unterscheiden...).

Wenn man sich im Kreise dreht, sollte man die Grundlagen noch einmal ansehen: Schlicht, wir wissen zu wenig über das Spiel (die Auktion). Wenn man eine auktoriale Analyse versuchte, müsste man bestimmen, wie die Natur die Spielertypen (d.h. hier: ihre "Wertschätzung") festlegt. Sie kann es nicht "zufällig" (im Sinne von "gleichverteilt") tun, denn es gibt keine (stetig) gleichverteilte ZVe auf $\mathbb{R}^+$. Sie tut es also nach irgendeinem Mechanismus.

Man mag nun sagen, dass zu wenig über das Problem bekannt sei, um es zu analysieren. Oder einen praktischen Vorschlag machen, wie Du es lobenswert in #9 getan hast.

Oder man unterstellt der Natur irgendein Verfahren zur Typauswahl (wie es reale Menschen m.E. tun), z.B. glaubt man zu wissen, dass das zu versteigernde Gut keinem Menschen auf der Welt mehr als $M$ wert sein kann (z.B. weil man den 100€-Schein zur Not für 100€ unabhängig von der Auktion erwerben könnte; oder weil man annimmt, dass - selbst wenn die Top 3 der Forbes-Liste mitbieten - kein Gebot höher als 200 Mrd. sein kann; oder weil man einfach sagt: Ich glaube, dass der "Grenznutzen" von Geld linear ist (oder schwächer konkav abnimmt) ist, als der Nutzen eines jeden Gutes) - dann kann man mit der Gleichverteilung operieren.

Wenn ein Mensch/Spieler so argumentiert, unterstellt er der Natur einen gewissen Mechanismus (eine W'keitsverteilung), die Typen der Spieler zu ermitteln. Mithilfe dieser beliefs** kann man das Spiel "lösen", und eine den erwarteten Nutzen maximierende Strategie finden.

Mehr als dies wollte ich nichts ins Feld führen; es sind natürlich viele Unklarheiten (aka "Interpretationsspielräume") in der Problemstellung (aus Mathematiker-Sicht), welche sich aus der Sicht einer Wirtschaftswissenschaftlerinnen, die ein "Standard-Setting" vor Augen hat, etwas relativieren.

Bei einer iterierten Auktion ergeben sich natürlich viele weitere Möglichkeiten. Spielt man nur genau einmal, so ist es natürlich schwieriger.

Trotzdem möchte ich anhand eines Beispiels illustrieren, wieso es sinnvoll sein kann (und praktisch auch ist!), seinen eigenen Typ und seine beliefs in die Strategie einfliessen zu lassen:
Ich sei Billine Gates und verfüge über 100 Mrd. (die ich bar mit mir führe), verdurste aber gerade. Der andere Auktionsteilnehmer kommt gerade aus dem Freibad (ich sehe seine Badehosen/den Bikini...). Er ist also nicht durstig.
Der Besitzer des Dorfbrunnens (ich bin auf Safari fernab der Zivilisation***) versteigert heute genau einen Krug Wasser.
Da ich eine gewisse Chance sehe, noch Flüssigkeit binnen der nächsten Tage zu finden, aber auch nicht ganz sicher bin, messe ich dem Wasserkrug einen Wert von 100 000 € bei (das sind gerade mal 0.0001% meines Bargelds!). Trotzdem bin ich ja Kapitalistin und messe dem Geld ebenfals großen Nutzen zu.
Ist es in so einer Situation sinnvoll, 50 000 € zu bieten? Eher nicht (und das ohne W'keitsverteilung...).

Langes Beispiel, kurzer Sinn - es ist m.E. unrealistisch, nicht weitere Umstände in Betracht zu ziehen. Wenn man mir so weit folgt, ist es aber generell sinnvoll, Annahmen über die Typen der Mitspieler bzw. deren Verteilung zu treffen.

Und dann sind wir bei einem Bayes-Spiel. Welche Annahme man trifft, hängt sicher vom Kontext ab und ist in der Problemformulierung nicht gegeben. Die "natürliche" Wahl der Gleichverteilung scheidet aus; somit sind wir beim gleichen Mutmaßen, wie auch Du, Kitaktus, es implizit verwendest.

Belassen wir es (aus meiner Sicht) dabei, auch wenn ich die Aufgabe unter der Annahme einer Exponential- oder Weibull-Verteilung gerne einmal gelöst sähe...

Interessant bzw. typisch ist die Frage aus Sicht eines Mechanismus-Designs. Bringe ich die Spieler bei dieser Auktion dazu, "taktisch" zu setzen (wie Deine Strategie in #9) oder meinen wahren Typ zu offenbaren (offensichtlich nicht)? Welcher Wohlfahrtsverlust entsteht den Spielern durch das uneffiziente Design (im Vergleich zu einer VCG-Auktion) im Mittel (je nach Verteilung des Naturspielzuges)...

lg, AK.


*) vorausgesetzt, die Nutzenfunktion ist monoton wachsend im Finanziellen...
**) und unter der Annahme, dass das Verfahren der Auktion jedem Spieler bekannt, ihm aber nur genau sein eigener Typ bekannt und diese Situation auch allen bewusst ist
***) Freibäder haben sie aber...

\(\endgroup\)


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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, eingetragen 2018-06-13 21:54


Nachtrag, einem Hinweis von Em folgend:
Da der Begriff "Typ" schon von AnnaKath eingeführt wurde, habe ich nun von "Arten" von zu versteigernden Objekten gesprochen. Verschiedene Objekte derselben Art haben für die Mitspieler jeweils denselben Wert ( der sich natürlich von Mitspieler zu Mitspieler unterscheiden kann).


Guten Abend :)

ich kann mich aktuell auch nicht zwischen den beiden Sichtweisen entscheiden. Vielleicht kann man es einfach mal praktisch erproben?

Mich würde folgendes Szenario reizen es mal zu untersuchen ( oder - praktisch durchzuspielen ), vielleicht ist es eine halbwegs realistische Situation :

Wir betrachten eine iterierte Auktion, dh die immer gleichen "Mitspieler" treffen sich zu immer neuen Auktionsterminen , um auf ein jeweils angebotenes Objekt zu bieten. Es gibt eine bestimmte Anzahl von Arten angebotener Objekte ( zB sagen wir, es ist eine Kunstauktion, und es kommen Bilder verschiedener Stilepochen oder Künstler zum Angebot, für die die einzelnen Mitspieler unterschiedliche ( aber immer wieder gleiche ) Wertschätzung haben.

Bei jeder neuen Auktion kennt jeder der Mitspieler die "Vorgeschichte", er weiss welche Objekte welcher Art von wem ersteigert wurden und für welchen Preis ( wir könnten annehmen, es wird nach dem Öffnen der Umschläge mit den Geboten nur das Höchstgebot genannt ). Er kann also versuchen, aus den vorherigen Geboten auf die Wertschätzung der übrigen Teilnehmer zu schliessen.

Wenn man es modellieren wollte, dann würde man die Wertschätzungen der einzelnen Mitspieler für die einzelnen Arten von Objekten zu Beginn zufällig festlegen, vielleicht so, dass die Summe für jeden Spieler gleich ist.

Grüsse
gonz

PS.: Das Problem mit dem "etwas grösseren" Gebot könnte man ja dadurch Lösen, dass Gebote immer nur in ganzen Talern abgegeben werden können...





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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2018-06-14 19:56


Hallo AnnaKath,

ich sehe keinen wirklichen Widerspruch zwischen unseren Sichtweisen.

Der Einwand bzgl. des "Nicht-Nash-Gleichgewichts" bei unendlich feiner Granularität des Geldes ist aus rein theoretischer Sicht berechtigt. Rein praktisch ist Geld nicht beliebig teilbar und allein die Kosten, die mir entstünden, wenn ich einen Betrag von 107,341245854 Euro exakt bezahlen müsste, würden mich davon abhalten so ein Gebot abzugeben.

Natürlich kann man seinen erwarteten Gewinn (potentiell) steigern, wenn man halbwegs stimmige Annahmen über die Wertschätzungen der Mitspieler einfließen lässt. Worauf ich lediglich hinaus wollte, ist die Feststellung, dass die Kenntnis einer exakten Wahrscheinlichkeitsverteilung allein nicht ausreicht, um alle Fragen zu klären. Das Ergebnis hängt auch davon ab, was die Mitspieler "wissen".

Ein Beispiel: Es gibt zwei Spieler. Die subjektive Wertschätzung des Objektes ist für jeden Spieler eine gerade Zahl zwischen 0 und 18, jede davon mit Wahrscheinlichkeit 1/10. Man darf nur ganzzahlige Beträge setzen und im Fall eines Gleichstands, erhält jeder die Hälfte des Objektes (die ihm auch genau die Hälfte der ursprünglichen Wertschätzung "wert" ist).
1. Fall: Der Gegner hat eine Wertschätzung von 2y und bietet genau die Hälfte seiner Wertschätzung.
Meine eigene Wertschätzung ist 2x. Mehr als x werde ich also nicht bieten. Welchen Gewinn erziele ich bei einem Gebot g im Durchschnitt?
Tabelle
Gegnerisches Gebot: 0    1    2    3    4    5    6    7    8    9   Summe
g=0                 x    1    2    3    4    5    6    7    8    9   45+x
g=1                2x-1  x    2    3    4    5    6    7    8    9   43+3x
g=2                2x-2 2x-2  x    3    4    5    6    7    8    9   38+5x
g=3                2x-3 2x-3 2x-3  x    4    5    6    7    8    9   30+7x
g=4                2x-4 2x-4 2x-4 2x-4  x    5    6    7    8    9   19+9x
g=5                2x-5 2x-5 2x-5 2x-5 2x-5  x    6    7    8    9    5+11x
g=6                2x-6 2x-6 2x-6 2x-6 2x-6 2x-6  x    7    8    9  -12+13x
g=7                2x-7 2x-7 2x-7 2x-7 2x-7 2x-7 2x-7  x    8    9  -32+15x
g=8                2x-8 2x-8 2x-8 2x-8 2x-8 2x-8 2x-8 2x-8  x    9  -55+17x
g=9                2x-9 2x-9 2x-9 2x-9 2x-9 2x-9 2x-9 2x-9 2x-9  x  -81+19x

Jetzt kann man das optimale Gebot in Abhängigkeit von der Wertschätzung ablesen:
Tabelle
x     =   0   1   2   3   4   5  6   7   8   9
g_opt =   0  0/1  1   2  2/3  3  4  4/5  5   6

Die Angabe 0/1 bedeutet dabei, dass beide Gebote den gleichen erwarteten Gewinn ergeben.

2. Fall
Was passiert nun, wenn der Gegner so denkt, wie man selbst im ersten Fall. Bei einer eigenen Wertschätzung von 2*5 also nicht 5 sondern nur 3 bietet?
Die Auszahlungen bleiben gleich, aber die Gewichte für die Gebote ändern sich. Gebot 0 wird in 15% der Fälle gesetzt, ebenso die Gebote 1, 2, 3, 4 und 5 und auf Gebot 6 entfallen noch 10%. Höhere Gebote gibt der Gegner nicht ab, weil sie für ihn mit den Überlegungen aus Fall 1) nicht optimal sind.
Die Veränderungen sind gering. Nur wenn die eigene Wertschätzung 2*9 ist, ändert sich etwas. Nun ist das Gebot 6 nicht mehr alleine optimal, sondern auch 5.
Passt man die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Gebote an -- 5 kommt jetzt in 20% der Fälle vor, dafür 6 nur in 5% -- so ergeben sich wieder kleine Änderungen. Ist die eigene Wertschätzung 2*7, so ist das Gebot 4 nicht mehr optimal, sondern nur noch 5.

3. Fall
Wie sieht es aus, wenn der Gegner eine andere Annahme über die Wahrscheinlichkeitsverteilung trifft, z.B. eine stark fallende Exponentialverteilung?
Dann würde er selbst tendenziell weniger setzen, weil er vermutet, dass meine Wertschätzung eher gering ist.
Das beeinflusst wiederum mein eigenes Setzverhalten, ich setze tendenziell auch weniger.


Ich hoffe, es wurde verständlich, worauf ich hinaus will ...



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