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Festkörperphysik » Kristallographie » Gittersumme und nächste Nachbarn
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Universität/Hochschule J Gittersumme und nächste Nachbarn
jonasvc19
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-05-23


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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-23


Könntest Du dazusagen, was die Gittersummen A6 und A12 sind.

Ich habe in der Wikipedia hier nachgeschlagen.

Im Abstand 2R sitzen beim fcc-Gitter 12 Atome, 6 in der gleichen Ebene und je drei in der Ebene darüber und darunter.



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jonasvc19
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-23


das mit den Gittersummen ist jetzt erstmal egal hier, da ich das schon kann. Es geht mir hier wirklich nur um die Abstände und Anzahl nächster Nachbarn.

Wie sehe ich jetzt denn welche Abstände noch möglich sind und wie viele nächste Nachbarn gibt es da jeweils?  confused



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-05-24


EDIT: Die folgenden Angaben sind _falsch_.
Ich lasse sie erstmal noch stehen, damit die Entwicklung besser nachvollziehbar ist.

####################################################

Ich habe versucht, drei Schichten mal darzustellen. Alle Zahlen sind Atome in einer Schicht. In der Mitte die 0, direkt benachbart dazu die 1. Im nächsten Ring kommen zwei Abstände vor (2 und 3).

In der darüber liegenden Schicht gibt es drei direkte Nachbarn von 0 - hier mit A bezeichnet. Die Position der 0 habe ich mit "'" markiert. Darum herum sind 9 Atome platziert (B), die zu 0 den gleichen Abstand wie die 2er haben. In der dritten Schicht findet man drei weitere Punkte mit diesem Abstand (b).
Außerdem liegen dort auch drei weitere Atome (c), die den gleichen Abstand haben, wie die 3er.

Damit solltest Du jetzt ganz gut zählen können. Dabei nicht vergessen, dass es _unterhalb_ der 1. Schicht auch noch Atome gibt.
Beim fcc-Gitter ist die untere Hälfte nicht spiegelsymmetrisch zur oberen Hälfte sondern Punktsymmetrisch (zu 0), aber beim Zählen der Nachbarn ist das nicht entscheidend.

Die Darstellung ist nicht perfekt. Im untersten Bild scheinen z.B.  b ' b auf einer Höhe zu liegen. Tatsächlich sind die b aber etwas tiefer und der ' etwas höher (darum habe ich auch nicht den . genommen).

1. Schicht
    3   2   3
 
  2   1   1   2
 
3   1   0   1   3
 
  2   1   1   2
 
    3   2   3
 
2. Schicht
 
    B   B   B
 
  B   A   A   B
        '
    B   A   B
 
      B   B
 
1.+2. Schicht
    3   2   3
    B   B   B
  2   1   1   2
  B   A   A   B
3   1   0   1   3
    B   A   B
  2   1   1   2
      B   B
    3   2   3
 
 
2.+3. Schicht
 
    B   B   B
    c   b   c
  B   A   A   B
      b ' b
    B   A   B
        c
      B   B
 



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jonasvc19
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-24


ok, ich hab mir das jetzt mal ne Weile angeschaut aber ganz schlau werde ich immer noch nicht da raus,

Nimmt man mal die A und 1 zusammen, die ja den Abstand R beschreiben sollen, bekommt man 12. Das stimmt ja soweit.

Aber wenn ich mir jetzt die 2 anschaue, soll die ja den nächstgrößeren Abstand darstellen, das wäre ja wurzel(2)*R. Da müsste jetzt 6 rauskommen aber nach deiner Zeichnung kommt da 15 raus...

Ich hatte mir jetzt selber mal ein paar Skizzen gemacht und komme auf:
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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-05-24

\(\begingroup\)
OK, du hast mich überzeugt. Ich habe da einen Denkfehler. Ich muss das nochmal überarbeiten.


Ich habe versucht, drei Schichten darzustellen. Alle Buchstaben sind Atome in einem bestimmten Abstand zum Atom 0 in der Mitte.
Die Atome in der gleichen Schicht wie 0 haben Großbuchstaben, die Atome in der darüber liegenden Schicht haben Kleinbuchstaben und die Atome der dritten Schicht haben (mangels Alternativen) wieder Großbuchstaben.

1. Schicht
    D   C   D
 
  C   A   A   C
 
D   A   0   A   D
 
  C   A   A   C
 
    D   C   D
 
2. Schicht
 
    c   b   c
 
  c   a   a   c
        '
    b   a   b
 
      c   c
 
1.+2. Schicht
    D   C   D
    c   b   c
  C   A   A   C
  c   a   a   c
D   A   0   A   D
    b   a   b
  C   A   A   C
      c   c
    D   C   D
 
 
2.+3. Schicht
 
    c   b   c
    D   C   D
  c   a   a   c
      C ' C
    b   a   b
        D
      c   c
 

Die Zählung ergibt:
12 * A - Abstand $1$
 6 * B - Abstand $\sqrt{2}$
24 * C - Abstand $\sqrt{3}$
12 * D - Abstand $2$.

Damit scheinen wir auf dem gleichen Stand zu sein.
Wenn ich etwas Zeit habe, versuche ich noch etwas weiter zu gehen.
\(\endgroup\)


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jonasvc19
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-25


ok, wenn ich das ganze jetzt weiterführe, komme ich für die fehlenden sqrt(5)R auf 48 nächste Nachbarn.

Evt bekommst du ja das selbe raus :)



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-05-25

\(\begingroup\)
Ich habe das ganze noch etwas weiter getrieben (bis etwa Abstand $\sqrt{10}$) und komme auf folgendes:
1. Schicht
      I   G   G   I 
 
    G   D   C   D   G
 
  G   C   A   A   C   G
 
I   D   A   0   A   D   I
 
  G   C   A   A   C   G
 
    G   D   C   D   G
 
      I   G   G   I
 
2. Schicht
        j   i   j
 
      g   e   e   g
 
    f   c   b   c   f
 
  g   c   a   a   c   g
            '
j   e   b   a   b   e   j
 
  i   e   c   c   e   i
 
    j   g   f   g   j
 
 
2. + 3. Schicht
        I   H   I
 
      G   E   E   G
 
    G   D   C   D   G
            .
  I   E   C   C   E   I
 
    H   E   D   E   H
 
      I   G   G   I
 
 
4. Schicht
        J   I   J    
 
      I   G   G   I    
 
    J   G   F   G   J    
 
      I   G   G   I    
 
        J   I   J    
 
 Die Zählung ergibt:
 12 * A - Abstand 1
  6 * B - Abstand $\sqrt{2}$
 24 * C - Abstand $\sqrt{3}$
 12 * D - Abstand 2
 24 * E - Abstand $\sqrt{5}$
  8 * F - Abstand $\sqrt{6}$
 48 * G - Abstand $\sqrt{7}$
  6 * H - Abstand $\sqrt{8}$
 36 * I - Abstand $3$
 24 * J - Abstand $\sqrt{10}$
\(\endgroup\)


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jonasvc19
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-25


perfekt. Dann Vielen Dank für deine Hilfe.
Jetzt weiß ich auch wie ich das bei ähnlichen Aufgaben demnächst angehen muss :)



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-05-25


Ich habe das ganze jetzt mal computerunterstützt ausgezählt und komme auf folgende Häufigkeiten:
Tabelle
d²      1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Anzahl 12  6 24 12 24  8 48  6 36 24 24 24 72  0 48 12 48 30 72 24

Die Folge findet man auch in der Online-Datenbank der ganzzahligen Zahlenfolgen (OEIS), siehe hier.

So im Nachhinein frage ich mich schon, warum ich das von Hand ausgezählt habe. Das Programmieren war eigentlich ein Klacks und auf die Idee die Folge nachzuschlagen, hätte man auch eher kommen können...


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-05-25


Falls es jemadnen interessiert, hier mein Matlab Quell-Code. Die Idee basiert auf einer Zerlegung in Schichten (Variable S) und die Darstellung der Atome einer Schicht als ganzzahlige Punkte in einem nicht-rechtwinkligen Koordinatensystem (dx, dy als Koordinaten). Zu beachten ist dabei, dass die drei verschiedenen Schicht-Typen gegeneinander verschoben sind (V).
Es wird davon ausgegangen, dass die Quadrate der Abstände zweier Atome immer ganzzahlig ist.
Matlab
Erg=zeros(1,100);
maxi=0;
V=[0,0; -1/2, sqrt(3)/6; 0, sqrt(3)/3];
N=20;
for S= -N : N
    S3=mod(S,3)+1;
    for dx=-N:N
        for dy=-N:N
            P=V(S3,:)+dx*[1,0]+dy*[1/2, sqrt(3)/2];
            D=S^2*2/3+P(1)^2+P(2)^2;
            if abs(round(D)-D)>0.0001
                [S, dx, dy, D]
                % Dieser Test dient der Absicherung
                % ob wirklich alle Abstandswuadrate
                % (nahezu) ganzzahlig sind.
            end
            D=round(D);
            if D>0
                if D>length(Erg)
                    Erg(D)=1;
                else
                    Erg(D)=Erg(D)+1;
                end
            end
        end
    end
end
[1:40;Erg(1:40)]



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jonasvc19
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-25


nicht schlecht :)

Ich verstehe nur nicht ganz warum meine gezählte 48 bei sqrt(5) nicht stimmen soll...



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-05-26


Wo siehst Du denn noch 5er? Es sind je sechs in den beiden Ebenen über und in den beiden Ebenen unter dem Zentral-Atom.



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jonasvc19
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-26


ich meine, wenn ich mir das Gitter vorstelle, habe ich pro Ebene 16 Punkte die den Abstand sqrt(5) zum ausgangspunkt haben und ich habe 3 Ebenen, also 3*16=48.

Aber da habe ich wohl irgendwo nen Denkfehler, weil ja mit deinen Ebenen klar ist, dass 24 rauskommen muss



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